पहली और दूसरी डिग्री समीकरण प्रणाली

समीकरणों की प्रणाली रणनीतियों से ज्यादा कुछ नहीं है जो हमें करने की अनुमति देती है समस्याओं का समाधान और ऐसी परिस्थितियाँ जिनमें एक से अधिक चर और कम से कम दो समीकरण शामिल हों। यदि सिस्टम में मौजूद समीकरणों में केवल शामिल है इसके अलावा और यह घटाव अज्ञात के बारे में, हम कहते हैं कि यह एक है पहली डिग्री समीकरण प्रणाली. हम इस प्रणाली को दो तरीकों से हल कर सकते हैं: ग्राफिक प्रतिनिधित्व या बीजगणितीय रूप से। बीजीय रूप में, हमारे पास दो विकल्प हैं, की विधि इसके अलावा या से प्रतिस्थापन.

ए के मामले में गुणा अज्ञात के बीच या, बस, उनमें से एक प्रतिपादक शक्ति के रूप में दिखाई दे रहा है 2, हम कहते हैं कि सिस्टम में 2 डिग्री समीकरण भी शामिल हैं। ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए, रणनीतियाँ वही हैं जो ऊपर बताई गई हैं, लेकिन इस मामले में और भी समाधान हो सकते हैं।

आइए पहली और दूसरी डिग्री समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कुछ उदाहरण देखें:

पहला उदाहरण:

ध्यान दें कि, इस उदाहरण में, समीकरण एक्स · वाई = 15 अज्ञात के बीच एक उत्पाद प्रदान करता है एक्स तथा आप, तो यह 2 डिग्री समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए इसका उपयोग करें प्रतिस्थापन विधि. दूसरे समीकरण में, हम अलग करेंगे एक्स:

2x - 4y = - 14
2x = 4y - 14
एक्स = 4y - 14
2
एक्स = 2y - 7

अब हम बदलेंगे एक्स = 2y - 7 पहले समीकरण में:

एक्स · वाई = 15
(2y - 7)·y = 15
2y² - 7y - 15 = 0

के लिए संभावित मान खोजने के लिए वाई, हम भास्कर के सूत्र का प्रयोग करेंगे:

Δ = बी² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

वाई = - बी ±Δ​
2

वाई = – (– 7) ± √169
2.2

वाई = 7 ± 13
4

आप1 = 7 + 13 4 आप1 = 20 4 आप1 = 5

आप2 = 7 – 13 4 आप2 = – 6 4 आप2 = – 3 2

अब हम पाए गए मानों को बदल सकते हैं आप में एक्स · वाई = 15 के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक्स:

एक्स1 · आप1 = 15 एक्स1 · 5 = 15 एक्स1 = 15 5 एक्स1 = 3

एक्स2 · आप2 = 15 एक्स2 · (– 3) = 15 2  एक्स2 = 15. (– 2) 3 एक्स2 = – 10

हम कह सकते हैं कि समीकरण के प्रकार के दो हल हैं (एक्स, वाई), क्या वो: (3, 5) तथा (– 10, ^{– 3}/₂).

दूसरा उदाहरण:

इस प्रणाली को हल करने के लिए, हम उपयोग करेंगे जोड़ विधि. ऐसा करने के लिए, आइए पहले समीकरण को से गुणा करें – 2. हमारा सिस्टम इस तरह दिखेगा:

(-2x² + 2x²) + (-4y² - 3y²) = (-178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7y² = 28
य = 28
7
वाई = ±√4
आप₁ = + 2
आप₂ = – 2

अब हम पाए गए मानों को बदल सकते हैं आप के मान प्राप्त करने के लिए पहले समीकरण में एक्स:

x² + 2y1² = 89 x² + 2.(2)² = 89 x² + 8 = 89 एक्स² = 81 एक्स = ±√81 एक्स1 = + 9 एक्स2 = – 9

x² + 2y2² = 89 x² + 2.(- 2)² = 89 x² + 8 = 89 एक्स² = 81 एक्स = ±√81 एक्स3 = + 9 ​एक्स4 = – 9

हम कह सकते हैं कि समीकरण के चार हल हैं: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) तथा (– 9, – 2).

तीसरा उदाहरण:

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने में, हम उपयोग करेंगे: प्रतिस्थापन विधि. दूसरे समीकरण में, आइए अलग करें एक्स:

2x - 3y = 2
2x = 3y + 2
एक्स = 3y + 2
2
एक्स = ३ वर्ष + 1
2

हम प्रतिस्थापित करेंगे एक्स पहले समीकरण में:

x² + 2y² = 1
(^{३ वर्ष}/₂ + 1)² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4

हम पूरे समीकरण को से गुणा करेंगे 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12y = 0

के लिए संभावित मान खोजने के लिए वाई, आइए भास्कर के सूत्र का उपयोग करें:

Δ = बी² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
वाई = - बी ±Δ​
2
वाई = – 12 ± √144
2.17
वाई = – 12 ± 12
34

यू1 = – 12 + 12 34 आप1 = 0 34 आप1 = 0

आप2 = – 12 – 12 34 आप2 = – 24 34 आप2 = – 12 17

के लिए पाए गए मानों को बदलना आप में 2x - 3y = 2, हम के मूल्यों को निर्धारित कर सकते हैं एक्स:

2x - 3y1 = 2 2x - 3·0 = 2 2x - 0 = 2 एक्स = 2 2 एक्स1 = 1

2x - 3y2 = 2 2x - 3·(^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 एक्स2 = – 1 17

हम कह सकते हैं कि समीकरण के प्रकार के दो हल हैं (एक्स, वाई), क्या वो: (1, 0) तथा (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm