क्षेत्र की गणना हम सभी के जीवन में एक दैनिक गतिविधि है। हम हमेशा खुद को किसी न किसी स्थिति में उलझा हुआ पाते हैं, जहां एक सपाट ज्यामितीय आकार के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होती है। चाहे भूमि के अधिग्रहण में, किसी संपत्ति के नवीनीकरण में या पैकेजिंग लागत को कम करने की तलाश में, क्षेत्रों की गणना में ज्ञान का उपयोग मौजूद है। यह एक बहुत ही सरल गतिविधि है, लेकिन कभी-कभी हम कुछ मुद्दों को अनदेखा कर देते हैं।
एक गणित शिक्षक ने समतल ज्यामिति कक्षा के दौरान अपने छात्रों से निम्नलिखित प्रश्न पूछा: हमारे पास x वर्ग मीटर के क्षेत्रफल वाला एक आयत है। यदि हम इस आयत की भुजाओं के माप को दुगुना कर दें, तो क्षेत्रफल मान का क्या होगा? छात्रों में से एक ने तुरंत उत्तर दिया: क्षेत्रफल का आकार दोगुना हो जाएगा, अर्थात यह 2x वर्ग मीटर होगा! शिक्षक ने तुरंत उत्तर दिया: किसी भी तरह से यह दोगुने से अधिक नहीं होगा।
आइए इस तथ्य की व्याख्या देखें।
सबसे पहले, हम आयत के मापों को जानने के लिए एक उदाहरण बनाएंगे, फिर हम सामान्यीकरण करेंगे।
उदाहरण 1। नीचे दिए गए आयत पर विचार करें:
आपका क्षेत्र होगा:
1 = 10 x 3 = 30 सेमी
अब, पार्श्व माप को दोगुना करते हैं।
इस नए आयत का क्षेत्रफल होगा:
2 = 20 x 6 = 120 सेमी2
ध्यान दें कि आयत की भुजाओं के माप को दुगुना करने से उसका क्षेत्रफल दुगुने से भी अधिक, वास्तव में चौगुना हो जाता है। लेकिन क्या यह किसी आयत के लिए होता है?
आइए अब प्रत्येक आयत के लिए इस गुण की जाँच करने के लिए एक सामान्य मामले को देखें।
आइए आधार b और ऊँचाई h के एक आयत पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
आपका क्षेत्र किसके द्वारा दिया गया है: A1 = एक एक्स एच
अब, आपके माप को दोगुना करते हैं, इसलिए आधार 2b होगा और ऊंचाई 2h होगी।
इस आयत का क्षेत्रफल किसके द्वारा दिया जाएगा: A2 = 2बी x 2एच = 4(बी एक्स एच) = 4ए1.
ध्यान दें कि किसी भी आयत के लिए, यदि हम उसकी भुजाओं के माप को दोगुना कर दें, तो क्षेत्रफल चौगुना हो जाएगा।
आइए अन्य सपाट आंकड़ों के लिए इस स्थिति का विश्लेषण करें।
परिधि:
त्रिज्या r के एक वृत्त पर, क्षेत्रफल होगा: r2.
यदि हम त्रिज्या माप को दोगुना कर दें, अर्थात त्रिज्या 2r है, तो क्षेत्रफल होगा: π(2r)2 = 4r2 = 4πr2.
हम देख सकते हैं कि त्रिज्या के मान को दोगुना करने पर वृत्त का क्षेत्रफल भी चौगुना हो जाता है।
समान भुजाओं वाला त्रिकोण
भुजा L वाले एक समबाहु त्रिभुज में इसका क्षेत्रफल होगा:
जब हम भुजा की माप को दुगुना करते हैं, अर्थात त्रिभुज की एक भुजा की माप 2L है, तो उसका क्षेत्रफल होगा:
हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के माप को दुगुना करने पर उसका क्षेत्रफल चौगुना हो जाता है।
सामान्य तौर पर, निष्कर्ष यह है कि, जब एक सपाट आकृति के आयामों के माप को दोगुना किया जाता है, तो उसके क्षेत्रों का मूल्य दोगुने से अधिक हो जाता है।
मार्सेलो रिगोनाट्टो द्वारा
सांख्यिकी और गणितीय मॉडलिंग में विशेषज्ञ
ब्राजील स्कूल टीम
समतल ज्यामिति - गणित - ब्राजील स्कूल
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-area-dos-poligonos.htm