द्विभाजक और यह लंबवत रेखा एक खंड के लिए जो इसके मध्यबिंदु को काटता है। रूलर और परकार की सहायता से हम एक वृत्तखंड के लंब समद्विभाजक की रचना कर सकते हैं। एक पर त्रिकोण, समद्विभाजक भुजाओं की लंबवत रेखाएँ होती हैं जिनमें उनके मध्य बिंदु होते हैं। इस प्रकार, एक त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजक होते हैं। जिस बिंदु पर ये समद्विभाजक मिलते हैं उसे परिकेन्द्र कहा जाता है और त्रिभुज से परिबद्ध वृत्त का केंद्र बनता है।
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लंबवत द्विभाजक के बारे में सारांश
द्विभाजक है सीधा मध्यबिंदु से गुजरने वाले खंड के लंबवत।
लंबवत द्विभाजक के अंक खंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर हैं।
लम्ब समद्विभाजक रूलर और कम्पास के साथ बनाया जा सकता है।
खंड के अंत बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर लंबवत द्विभाजक का समीकरण निर्धारित किया जा सकता है।
एक त्रिभुज में तीन लम्ब समद्विभाजक होते हैं, प्रत्येक भुजा के संबंध में एक।
त्रिभुज के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को परिकेन्द्र कहा जाता है। यह बिंदु त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।
त्रिभुज का द्विभाजक माध्यिका, द्विभाजक और त्रिभुज की ऊँचाई से भिन्न होता है।
मेडिएट्रिक्स क्या है?
एक खंड दिया गया है, लम्ब समद्विभाजक रेखा के लम्बवत् है खंड जो आपका अवरोधन करता है मध्य.
इस परिभाषा का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि लंबवत द्विभाजक पर सभी बिंदु खंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर हैं. गणितीय सहजीवन में, यदि AB एक खंड है और बिंदु P द्विभाजक से संबंधित है, तो PA = PB है।
द्विभाजक का निर्माण कैसे करें?
एक खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करने के लिए, हमें केवल शासक और कम्पास की आवश्यकता है. निर्माण के चरण इस प्रकार हैं:
स्टेप 1: एक खंड एबी दिया गया है, कम्पास को आधे से अधिक खंड के साथ खोलें। संकेत: एक संभावना स्वयं खंड की लंबाई का उपयोग करने की है।
चरण दो: एक खींचो परिधि खंड के एक छोर पर केंद्र के साथ और चरण 1 में चुने गए माप के साथ त्रिज्या।
चरण 3: खंड के दूसरे छोर के लिए चरण 2 को दोहराएं।
चरण 4: वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिन्दुओं को रूलर से मिलाइए।
द्विभाजक समीकरण कैसे खोजें?
चूंकि लम्ब समद्विभाजक एक सीधी रेखा है, इसलिए हम निर्धारित कर सकते हैं समीकरण जो आपकी बातों का वर्णन करता है, जा रहा है आर वह रेखा जिसमें एक खंड होता है अब दे दिया गया, एस इस खंड के द्विभाजक और पी (एक्स, वाई) लंबवत द्विभाजक पर कोई बिंदु।
यह मानते हुए कि बिंदुओं के निर्देशांक ए यह है बी ज्ञात हैं, हम कोणीय गुणांक प्राप्त कर सकते हैं एन सीधे का आर. जैसा आर यह है एस लंबवत हैं, ढलान एम सीधे का एस (लम्ब समद्विभाजक) भी पाया जा सकता है, क्योंकि यह के गुणक व्युत्क्रम के विपरीत है एन. रेखा के मूल समीकरण के व्यंजक का प्रयोग करने पर, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), किस पर \(म(x\_0,y\_0)\) का मध्यबिंदु है अब, हमने द्विभाजक समीकरण पूरा कर लिया है।
उदाहरण:
अंक ए (1,2) और बी (3,6) द्वारा निर्धारित खंड के द्विभाजक समीकरण का निर्धारण करें।
संकल्प:
सबसे पहले, चलो ढलान प्राप्त करें एन सीधे का आर जिसमें खंड शामिल है अब:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
अब हम खंड के मध्यबिंदु M की तलाश करते हैं अब:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
याद रखें कि लंबवत द्विभाजक एस वांछित रेखा के लंबवत है आर (जिसमें खंड शामिल है अब). फिर, कोणीय गुणांक एम सीधे का एस और कोणीय गुणांक एन सीधे का आर निम्नानुसार संबंधित हैं:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
इसलिए, \( m_s=\frac{-1}2\).
अंत में, हम समद्विभाजक s को निर्धारित करने के लिए रेखा के मौलिक समीकरण का उपयोग करते हैं, एक रेखा जिसका ढलान बराबर है \(-\frac{1}2\) और बिंदु (2,4) से गुजरता है:
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
त्रिभुज का द्विभाजक
एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ रेखाखंड हैं। इस प्रकार, "त्रिभुज का द्विभाजक" शब्द इस ज्यामितीय आकृति के पक्षों में से एक के द्विभाजक को संदर्भित करता है। इसलिए, त्रिकोणतीन द्विभाजक हैं. नीचे देखें:
त्रिभुज के समद्विभाजक जिस बिंदु पर मिलते हैं उसे परिकेन्द्र कहते हैं।, चूँकि यह त्रिभुज से परिबद्ध वृत्त का केंद्र है (अर्थात वह वृत्त जो त्रिभुज के तीन शीर्षों से होकर गुजरता है)।
महत्वपूर्ण:चूँकि परिकेन्द्र तीन लंब समद्विभाजकों के लिए उभयनिष्ठ बिंदु है, प्रत्येक शीर्ष से इसकी दूरी समान होती है। गणितीय सहजीवन में, यदि डी त्रिभुज का परिकेन्द्र है एबीसी, तब \(AD=BD=CD\).
त्रिभुज के समद्विभाजक, माध्यिका, समद्विभाजक और ऊंचाई के बीच अंतर
समद्विभाजक, माध्यिका, समद्विभाजक और त्रिभुज की ऊँचाई अलग-अलग अवधारणाएँ हैं। आइए प्रत्येक को व्यक्तिगत रूप से और फिर एक साथ देखें।
त्रिभुज का द्विभाजक: किसी एक भुजा पर लंब रेखा है जो इसके मध्य बिंदु को काटती है।
त्रिभुज की माध्यिका: त्रिभुज के एक शीर्ष पर समापन बिंदुओं वाला खंड है और शीर्ष के विपरीत भुजा के मध्य बिंदु पर है।
त्रिभुज का द्विभाजक: वह खंड है जो आधे एक में विभाजित होता है एंगल्स त्रिभुज की भुजाएँ, एक शीर्ष पर और विपरीत दिशा में समापन बिंदुओं के साथ।
त्रिभुज की ऊँचाई: भुजाओं में से किसी एक के लंबवत खंड है जिसका अंत भुजा के विपरीत कोण पर है।
निम्नलिखित छवि में, हम त्रिभुज के खंड BC के संबंध में, ऊँचाई (नारंगी में बिंदीदार रेखा डैश) को हाइलाइट करते हैं, द्विभाजक (बैंगनी में धराशायी रेखा), माध्यिका (हरे रंग में बिंदीदार रेखा) और लंबवत द्विभाजक (ठोस रेखा लाल)।
महत्वपूर्ण: एक पर समान भुजाओं वाला त्रिकोणअर्थात्, जिसकी तीन भुजाएँ और तीन कोण बराबर हों, समद्विभाजक, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और ऊँचाइयाँ संपाती हों। नतीजतन, द त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु (circumcenter, barycenter, incenter और orthocenter) भी संपाती हैं। नीचे दी गई छवि में, हम एक निरंतर काली रेखा में खंड BC, द्विभाजक, माध्यिका, द्विभाजक और ऊँचाई के संबंध में प्रकाश डालते हैं। इसलिए हाइलाइट किया गया बिंदु E त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र, बेरीसेंटर, अंत: केंद्र और लंबकेन्द्र है।
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समद्विभाजक पर हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1
नीचे दिए गए कथनों पर विचार करें।
मैं। एक त्रिकोण का द्विभाजक वह खंड है जो एक शीर्ष पर शुरू होता है और विपरीत दिशा के मध्यबिंदु को पार करता है।
द्वितीय। त्रिभुज के समद्विभाजक जिस बिंदु पर मिलते हैं उसे परिकेन्द्र कहते हैं। यह बिंदु त्रिभुज से परिबद्ध वृत्त का केंद्र है और शीर्षों से समान दूरी पर है।
तृतीय। एक खंड का द्विभाजक वह लंब रेखा है जो खंड को मध्य बिंदु पर काटता है।
किस विकल्प में सही विकल्प हैं?
ए) मैं, केवल।
बी) द्वितीय, केवल।
सी) III, केवल।
डी) मैं और द्वितीय।
ई) द्वितीय और तृतीय।
संकल्प:
वैकल्पिक ई
कथन I एकमात्र गलत है, क्योंकि यह त्रिभुज की माध्यिका का वर्णन करता है।
प्रश्न 2
(एनेम - अनुकूलित) हाल के वर्षों में, टेलीविजन ने दर्शकों के साथ छवि गुणवत्ता, ध्वनि और अन्तरक्रियाशीलता के मामले में एक सच्ची क्रांति की है। यह परिवर्तन एनालॉग सिग्नल के डिजिटल सिग्नल में रूपांतरण के कारण होता है। हालाँकि, कई शहरों में अभी भी यह नई तकनीक नहीं है। इन लाभों को तीन शहरों में लाने की कोशिश में, एक टेलीविजन स्टेशन एक नया ट्रांसमिशन टावर बनाने का इरादा रखता है जो इन शहरों में पहले से मौजूद एंटेना ए, बी और सी को सिग्नल भेजता है। कार्टेशियन विमान में एंटीना स्थानों का प्रतिनिधित्व किया जाता है:
टावर को तीन एंटेना से समान दूरी पर स्थित होना चाहिए। इस मीनार के निर्माण के लिए उपयुक्त स्थान निर्देशांक बिंदु से मेल खाता है
ए) (65, 35)।
बी) (53, 30)।
सी) (45, 35)।
डी) (50, 20)।
ई) (50, 30)।
संकल्प:
वैकल्पिक ई
ध्यान दें कि टावर का स्थान बिंदु A, B और C से बने त्रिभुज का परिकेन्द्र होना चाहिए, क्योंकि यह तीन एंटेना की समदूरस्थ स्थिति है।
टी टावर के लिए निर्देशांक हैं\((x_t, y_t )\). चूंकि टी एबी के द्विभाजक से संबंधित है (लाइन x = 50 द्वारा दिया गया है), टावर का क्षैतिज स्थान होना चाहिए \(x_t=50\).
क्षैतिज समन्वय निर्धारित करने के लिए \(y_t\) टावर के लिए, हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए अभिव्यक्ति का दो बार उपयोग कर सकते हैं। चूंकि टावर समान दूरी पर है, उदाहरण के लिए, शीर्ष A और C (AT = CT) से, हमारे पास:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
सरलीकरण, हम प्राप्त करते हैं \(y_t=30\).
मारिया लुइज़ा अल्वेस रिज़ो द्वारा
गणित शिक्षक