नियमित बहुभुज: यह क्या है, परिमाप, कोण

नियमित बहुभुज और यह उत्तल बहुभुज जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और सभी आंतरिक कोण समान हों, अर्थात् भुजाओं का माप समान हो और अंतः कोणों का माप भी समान हो। समबाहु त्रिभुज और वर्ग कुछ ज्ञात नियमित बहुभुज हैं।

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नियमित बहुभुज के बारे में सारांश

• बहुभुज नियमित वह है जिसमें सर्वांगसम भुजाएँ और कोण हों।

• एक नियमित बहुभुज का परिमाप भुजाओं की संख्या से भुजाओं की लंबाई गुणा होता है:

\(पी = एन ⋅l \)

• नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(α=\frac{S_i}n\)

• एक नियमित बहुभुज के बहिष्कोण की माप निम्न सूत्र द्वारा दी गई है:

\(ई=\frac{360}n\)

• एक नियमित बहुभुज का अंतःत्रिज्या एक परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के माप के बराबर होता है।

• एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\(A=a⋅p\)

• जबकि नियमित बहुभुज की सभी भुजाएँ और कोण सर्वांगसम होते हैं, अनियमित बहुभुज की सभी भुजाएँ सर्वांगसम नहीं होती हैं या सभी कोण सर्वांगसम नहीं होते हैं।

नियमित बहुभुजों पर वीडियो पाठ

नियमित बहुभुज क्या हैं?

नियमित बहुभुज हैं उत्तल बहुभुज जो समबाहु और समभुज हैं

, अर्थात्, उनकी सर्वांगसम भुजाएँ होती हैं और होती भी हैं एंगल्स उसी उपाय से। याद रखें कि बहुभुज उत्तल होते हैं जब कोई भी रेखा खंड जिसके अंत बिंदु अंदर होते हैं, बहुभुज के भीतर पूरी तरह समाहित होता है। हे समान भुजाओं वाला त्रिकोण और यह वर्ग नियमित बहुभुजों के मामले हैं, लेकिन अन्य बहुभुजों के बीच पेंटागन, षट्कोण हैं, जो नियमित भी हैं।

नियमित बहुभुज का परिमाप

गणना करने के लिए परिमाप एक नियमित बहुभुज का, बस इसकी भुजा की माप को इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या से गुणा करें. चूंकि यह समबाहु है, नियमित बहुभुज की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\(पी=n⋅l\)

• एन → बहुभुज की भुजाओं की संख्या

• एल → बहुभुज की भुजा की लंबाई

उदाहरण:

एक समपंचभुज का परिमाप क्या है जिसकी भुजाएँ 8 सेमी मापी गई हैं?

संकल्प:

परिधि की गणना करना, यह जानना कि पेंटागन नियमित है, हमारे पास है:

\(पी=5⋅8=40\ सेमी\)

एक नियमित बहुभुज के आंतरिक कोण

एक नियमित बहुभुज समकोणीय होता है, अर्थात सभी आंतरिक कोणों का माप समान होता है। इसलिए, हम कर सकते हैं प्रत्येक कोण के मूल्य की गणना करने के लिए आंतरिक कोण सूत्र के योग का उपयोग करें और बहुभुज की भुजाओं की संख्या से विभाजित करें.

सामान्य तौर पर, बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग के मान की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(S_i=180⋅(n-2)\)

• \(S_i\) → बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग

• एन → बहुभुज की भुजाओं की संख्या

हम जानते हैं कि एक समबहुभुज में सभी कोण सर्वांगसम होते हैं। इसलिए, एक नियमित बहुभुज के प्रत्येक कोण के माप की गणना करने का सूत्र है:

\(a_i=\frac{180⋅(n-2)}{n}\)

• \(वहाँ\) → बहुभुज के आंतरिक कोण का माप

उदाहरण:

एक सम अष्टभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई कितनी होती है?

संकल्प:

की जगह एन = 8 सूत्र में, हमारे पास है:

\(a_i=\frac{180⋅(8-2)}{8}\)

\(a_i=\frac{180⋅6}{8}\)

\(a_i=\frac{1080}8\)

\(a_i=135°\)

एक नियमित बहुभुज के बाहरी कोण

किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है। एक नियमित बहुभुज के प्रत्येक बाहरी कोण के माप की गणना करने के लिए, बस 360° को इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या से विभाजित करें.

\(a_e=\frac{360}n\)

उदाहरण:

एक समबाहु त्रिभुज के बहिष्कोण का माप कितना होता है?

संकल्प:

की जगह एन = 5 सूत्र में:

\(a_e=\frac{360}3\)

\(a_e=120°\)

नियमित बहुभुज का एपोटेम

एक नियमित बहुभुज का अंतःत्रिज्या है a की त्रिज्या के माप के बराबर परिधि घिरा, जहां अंतःत्रिज्या उस खंड की लंबाई है जो बहुभुज के केंद्र से किनारे तक जाता है, जो 90° का कोण बनाता है।

एक वर्ग और एक नियमित षट्भुज के एपोटेम्स।

नियमित बहुभुज क्षेत्र

मौजूदा बहुभुज-विशिष्ट सूत्रों के अतिरिक्त, नियमित बहुभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए, एक सूत्र है जिसका उपयोग हम प्रत्येक नियमित बहुभुज के लिए कर सकते हैं:

\(A=a⋅p\)

• → अंतःकरण

• पी → अर्द्धपरिधि (आधी परिधि)

उदाहरण:

एक पेंटागन की भुजाएं 4 सेमी और अंतःत्रिज्या 2.75 सेमी है। आपके क्षेत्र का मूल्य क्या है?

संकल्प:

हम वह जानते हैं:

\(A=a⋅p\)

परिधि की गणना:

पी = \(4⋅5\)

पी = 20

तो अर्धपरिधि है:

20: 2 = 10

इसलिए, क्षेत्र की गणना करने के लिए, हमारे पास है:

\(A=a⋅p\)

\(ए=2.75⋅10\)

\(ए=27.5\ सेमी^2\)

नियमित बहुभुज और अनियमित बहुभुज के बीच अंतर

एक नियमित बहुभुज एक बहुभुज है जो एक ही समय में समबाहु और समबाहु होता है। अन्यथा, बहुभुज अनियमित होगा। तब, एक अनियमित बहुभुज वह होता है जिसकी सभी भुजाएँ सर्वांगसम नहीं होती हैं या सभी कोण सर्वांगसम नहीं होते हैं।.

चूँकि अनियमित बहुभुज की कम से कम एक भुजा भिन्न माप के साथ होती है, गुण ढूँढने हैं प्रत्येक आंतरिक कोण या प्रत्येक बाहरी कोण का माप, उदाहरण के लिए, नियमित बहुभुज के लिए मान्य नहीं है।

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नियमित बहुभुज अभ्यास

एक बहुभुज जिसमें 12 भुजाएँ होती हैं, एक डोडेकेगन के रूप में जाना जाता है। यदि यह बहुभुज नियमित है, तो इसके प्रत्येक आंतरिक कोण का माप है:

ए) 100 डिग्री

बी) 125 डिग्री

सी) 150 डिग्री

डी) 175 डिग्री

ई) 200 डिग्री

संकल्प:

वैकल्पिक सी

प्रत्येक आंतरिक कोण की माप की गणना करने पर, हम जानते हैं कि एन = 12:

\(a_i=\frac{180⋅(12-2)}{12}\)

\(a_i=\frac{180⋅10}{12}\)

\(a_i=\frac{1800}{12}\)

\(a_i=150°\)

प्रश्न 2

बहुभुज को नियमित माना जाता है यदि:

A) एक दूसरे के समानांतर भुजाएँ होती हैं।

बी) एक समबाहु बहुभुज है।

C) एक समबाहु बहुभुज है।

D) एक समबाहु और समबाहु बहुभुज है।

E) अलग लंबाई के कम से कम एक भुजा वाला बहुभुज है।

संकल्प:

वैकल्पिक डी

एक बहुभुज नियमित होता है यदि यह समबाहु और समकोणीय दोनों हो, अर्थात, यदि इसकी भुजाएँ एक दूसरे के सर्वांगसम हों और कोण एक दूसरे के सर्वांगसम हों।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित शिक्षक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poligono-regular.htm