अंकगणितीय प्रगति: यह क्या है, शब्द, उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति (एपी) है संख्यात्मक अनुक्रम जिसका उपयोग हम गणित में कुछ विशेष परिघटनाओं के व्यवहार का वर्णन करने के लिए करते हैं। एक पीए में, वृद्धि या क्षय हमेशा स्थिर रहता हैअर्थात् एक पद से दूसरे पद में अन्तर सदैव समान रहेगा और इस अन्तर को कारण कहते हैं।

के परिणामस्वरूप प्रगति का अनुमानित व्यवहार behavior, आप इसका वर्णन एक सूत्र से कर सकते हैं जिसे के रूप में जाना जाता है सामान्य कार्यकाल. इसी कारण से, एक विशिष्ट सूत्र का उपयोग करके पीए की शर्तों के योग की गणना करना भी संभव है।

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एक पीए क्या है?

यह समझना कि PA शब्दों का एक क्रम है जिसमें किसी पद और उसके पिछले पद के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है, एक सूत्र से इस प्रगति का वर्णन करने के लिए, हमें प्रारंभिक पद ज्ञात करना होगा, या वह है, एक प्रगति का पहला पद, और उसका कारण, जो कि के बीच यह निरंतर अंतर है शर्तें।

सामान्यतया, पीए को इस प्रकार लिखा जाता है:

(द₁, ए₂,द₃, ए₄,द₅, ए₆,द₇, ए₈)

पहला टर्म a. है₁और, इससे, से तक जोड़ना द रीज़न आर, आइए उत्तराधिकारी शब्द खोजें।

₁ + आर = ए₂
₂ + आर = ए₃
₃+ आर = ए₄

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इसलिए, समांतर श्रेणी को लिखने के लिए, हमें यह जानना होगा कि इसका पहला पद कौन है और क्यों।

उदाहरण:

आइए एक एपी के पहले छह पदों को यह जानते हुए लिखें कि इसका पहला पद 4 है और इसका अनुपात 2 के बराबर है। जानना₁=4 और r = 2, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यह प्रगति 4 से शुरू होती है और 2 से बढ़कर 2 हो जाती है। इसलिए, हम इसकी शर्तों का वर्णन कर सकते हैं।

₁ = 4

₂ = 4+ 2 = 6

₃ = 6 + 2 = 8

₄ = 8 + 2 = 10

₅= 10 + 2 = 12

₆ = 12 + 2 =14

यह बीपी (4,6,8,10,12,14…) के बराबर होता है।

एक PA. का सामान्य पद

सूत्र से PA का वर्णन करना हमारे लिए इसकी किसी भी शर्त को खोजना आसान बनाता है। AP का कोई भी पद ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

_{नहीं न}=ए₁ + आर · (एन -1)

N→ पद की स्थिति है;

₁→ पहला पद है;

आर → कारण।

उदाहरण:

इसे खोजें पीए की सामान्य अवधि (१,५,९,१३,…) और ५वीं, १०वीं और २३वीं अवधि।

पहला कदम: कारण खोजें।

अनुपात ज्ञात करने के लिए, बस दो क्रमागत पदों के बीच अंतर की गणना करें: 5 - 1 = 4; तो, इस स्थिति में, r = 4 ।

दूसरा चरण: सामान्य शब्द ज्ञात कीजिए।

हम कैसे जानते हैं कि₁= 1 और r = 4, आइए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

_{नहीं न}=ए₁ + आर (एन -1)

_{नहीं न}= 1 + 4 (एन -1)

_{नहीं न}=1 + ४एन - ४

_{नहीं न}= 4n - 3 → PA का सामान्य पद term

तीसरा चरण: सामान्य पद को जानते हुए, आइए 5वें, 10वें और 23वें पद की गणना करें।

5वाँ पद → n = 5
_{नहीं न}=4एन - 3
₅=4·5 – 3
₅=20 – 3
₅=17

१०वाँ पद → n = १०
_{नहीं न}=4एन - 3
₁₀=4·10 – 3
₁₀=40 – 3
₁₀=37

२३वाँ पद → n = २३
_{नहीं न}=4एन - 3
₂₃=4·23 – 3
₂₃=92 – 3
₂₃=89

अंकगणितीय प्रगति के प्रकार

पीए के लिए तीन संभावनाएं हैं। यह बढ़ रहा है, घट रहा है या स्थिर हो सकता है।

बढ़ रही है

जैसा कि नाम से पता चलता है, एक अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है जब, जैसे-जैसे शब्द बढ़ते हैं, उनका मूल्य भी बढ़ता है।, अर्थात्, दूसरा पद पहले से बड़ा है, तीसरा दूसरे से बड़ा है, और इसी तरह आगे भी।

₁ 2 3 4 < …. नहीं न

ऐसा होने के लिए, अनुपात सकारात्मक होना चाहिए, अर्थात, PA बढ़ रहा है यदि r> 0 है।

उदाहरण:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

उतरते

जैसा कि नाम से पता चलता है, एक अंकगणितीय प्रगति अवरोही हो रही है, जब, जैसे-जैसे शर्तें बढ़ती हैं, उनका मूल्य घटता जाता है, अर्थात्, दूसरा पद पहले से छोटा है, तीसरा दूसरे से छोटा है, और इसी तरह आगे भी।

₁ > द₂ > द₃ > द₄ > …. >द_{नहीं न}

ऐसा होने के लिए, अनुपात ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात, यदि r <0 हो तो PA बढ़ रहा है।

उदाहरण:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

लगातार

एक अंकगणितीय प्रगति स्थिर है जब, जैसे-जैसे शर्तें बढ़ती हैं, मान वही रहता है।, अर्थात्, पहला पद दूसरे के बराबर है, जो तीसरे के बराबर है, और इसी तरह।

₁ = द₂ = द₃ = द₄ = …. =ए_{नहीं न}

PA के स्थिर होने के लिए, अनुपात शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात r = 0।

उदाहरण:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

यह भी देखें: पीजी की शर्तों का उत्पाद - सूत्र क्या है?

एक पीए के गुण

पहली संपत्ति

PA के किसी भी पद को देखते हुए, औसत अंकगणित इसके उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती के बीच उस पद के बराबर है।

उदाहरण:

प्रगति (-1, 2, 5, 8, 11) और पद 8 पर विचार करें। 11 और 5 के बीच का औसत 8 के बराबर होता है, यानी PA में किसी संख्या के पूर्ववर्ती के साथ उत्तराधिकारी का योग हमेशा इस संख्या के बराबर होता है।

दूसरी संपत्ति

समदूरस्थ पदों का योग सदैव बराबर होता है।

उदाहरण:

पीए की शर्तों का योग

मान लीजिए कि हम ऊपर दिखाए गए छह बीपी शब्द जोड़ना चाहते हैं: (16,13,10,7,4,1)। हम केवल उनकी शर्तों को जोड़ सकते हैं - जिस स्थिति में कुछ शब्द हैं, यह संभव है - लेकिन यदि यह है एक लंबी स्ट्रिंग, आपको संपत्ति का उपयोग करना चाहिए. हम जानते हैं कि समदूरस्थ पदों का योग हमेशा बराबर होता है, जैसा कि हमने गुण में देखा, इसलिए यदि हम इसे करते हैं एक बार जोड़ें और आधे शब्दों से गुणा करें, हमारे पास पहले छह शब्दों का योग है पैन.

ध्यान दें कि, उदाहरण में, हम पहले और आखिरी के योग की गणना करेंगे, जो कि 17 के बराबर है, इसे आधे शब्दों से गुणा किया जाता है, यानी 17 गुना 3, जो 51 के बराबर है।

का सूत्र पीए की शर्तों का योग यह गणितज्ञ गॉस द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में इस समरूपता को महसूस किया। सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

रों_{नहीं न} → n तत्वों का योग

₁ → प्रथम पद

_{नहीं न} → अंतिम अवधि

n → पदों की संख्या

उदाहरण:

1 से 2000 तक विषम संख्याओं के योग की गणना कीजिए।

संकल्प:

हम जानते हैं कि यह क्रम एक PA (1,3,5,…. 1997, 1999). योग का प्रदर्शन करना बहुत काम होगा, इसलिए सूत्र काफी सुविधाजनक है। 1 से 2000 तक, आधी संख्याएँ विषम होती हैं, इसलिए 1000 विषम संख्याएँ होती हैं।

डेटा:

एन→ 1000

₁ → 1

_{नहीं न} → 1999

साथ ही पहुंचें: एक परिमित पीजी का योग - यह कैसे करना है?

अंकगणितीय माध्यों का प्रक्षेप

अंकगणितीय प्रगति के दो गैर-अनुवर्ती पदों को जानने के बाद, इन दो संख्याओं के बीच आने वाले सभी पदों को खोजना संभव है, जिसे हम जानते हैं अंकगणितीय साधनों का प्रक्षेप।

उदाहरण:

आइए 13 और 55 के बीच 5 अंकगणितीय माध्यों को प्रक्षेपित करें। इसका मतलब है कि 13 और 55 के बीच 5 संख्याएं हैं और वे एक प्रगति बनाते हैं।

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

इन संख्याओं को ज्ञात करने के लिए कारण ज्ञात करना आवश्यक है। हम पहले पद (the .) को जानते हैं₁ = १३) और ७वाँ पद भी (the)₇= 55), लेकिन हम जानते हैं कि:

_{नहीं न} = द₁ + आर · (एन -1 )

जब n = 7 → a_{नहीं न}= 55. हम a. का मान भी जानते हैं₁=13. तो, इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह करना होगा:

55 = 13 + आर · (7 - 1)

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

आर = 42:6

आर = 7.

कारण जानने के बाद, हम 13 से 55 के बीच के पद ज्ञात कर सकते हैं।

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

1 से 10 तक का अनुक्रम अनुपात 1 की समांतर श्रेणी है।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (एनेम २०१२) - ताश खेलना एक ऐसी गतिविधि है जो तर्क को उत्तेजित करती है। एक पारंपरिक खेल सॉलिटेयर है, जो 52 कार्डों का उपयोग करता है। प्रारंभ में, कार्ड के साथ सात कॉलम बनते हैं। पहले कॉलम में एक कार्ड है, दूसरे में दो कार्ड हैं, तीसरे में तीन कार्ड हैं, चौथे में चार कार्ड हैं, और इसी तरह आगे भी क्रमिक रूप से सातवें कॉलम में, जिसमें सात कार्ड हैं, और जो ढेर बनाता है, जो अप्रयुक्त कार्ड हैं स्तंभ।

ढेर बनाने वाले कार्डों की संख्या है:

ए) 21.
बी) 24.
सी) 26.
डी) 28.
ई) 31.

संकल्प

वैकल्पिक बी.

आइए पहले उपयोग किए गए कार्डों की कुल संख्या की गणना करें। हम एक ऐसे एपी के साथ काम कर रहे हैं जिसका पहला पद 1 है और अनुपात भी 1 है। अतः 7 पंक्तियों के योग की गणना करते हुए, अंतिम पद 7 है और n का मान भी 7 है।

यह जानते हुए कि उपयोग किए गए कार्डों की कुल संख्या 28 थी और यह कि 52 पत्ते हैं, ढेर किसके द्वारा बनता है:

५२ - २८ = २४ कार्ड

प्रश्न 2 - (एनेम 2018) इंटीरियर में एक छोटे से शहर के सिटी हॉल ने चारों ओर रोशनी के लिए पोल लगाने का फैसला किया एक सीधी सड़क के साथ जो एक केंद्रीय वर्ग से शुरू होती है और क्षेत्र के एक खेत पर समाप्त होती है। ग्रामीण। चूंकि वर्ग में पहले से ही प्रकाश है, इसलिए पहला खंभा वर्ग से 80 मीटर, दूसरा 100 मीटर, तीसरा 120 मीटर, और इसी तरह रखा जाएगा। क्रमिक रूप से, पदों के बीच हमेशा 20 मीटर की दूरी रखते हुए, जब तक कि अंतिम पोस्ट से 1,380 मीटर की दूरी पर नहीं रखा जाता है वर्ग।

यदि शहर प्रति पोस्ट अधिकतम R$8,000.00 का भुगतान कर सकता है, तो आप इन पदों को रखने पर अधिकतम राशि खर्च कर सकते हैं:

ए) बीआरएल 512 000.00।
बी) बीआरएल 520,000.00।
सी) आर $528,000.00।
डी) बीआरएल 552,000.00।
ई) बीआरएल 584 000.00।

संकल्प

वैकल्पिक सी.

हम जानते हैं कि हर 20 मीटर पर पोस्ट लगाए जाएंगे, यानी r = 20, और इस PA का पहला टर्म 80 है। साथ ही, हम जानते हैं कि अंतिम पद 1380 है, लेकिन हम यह नहीं जानते कि 80 और 1380 के बीच कितने पद हैं। इस संख्या की गणना करने के लिए, आइए सामान्य शब्द सूत्र का उपयोग करें।

डेटा: ए_{नहीं न}= 1380;₁=80; और आर = 20।

_{नहीं न}=ए₁ + आर · (एन -1)