हल करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तकनीकों में से एक द्विघातीय समीकरण विधि के रूप में जाना जाता है पूर्ण वर्ग. इस विधि में व्याख्या करना शामिल है समीकरण का दूसराडिग्री के रूप में पूर्ण वर्ग त्रिपद और अपना गुणनखंडित रूप लिखें। कभी-कभी यह सरल प्रक्रिया पहले से ही समीकरण की जड़ों को प्रकट करती है।
इसलिए के बारे में बुनियादी जानकारी होना आवश्यक है उल्लेखनीय उत्पाद, त्रिनामवर्गउत्तम तथा बहुपद गुणनखंड इस तकनीक का उपयोग करने के लिए। अक्सर, हालांकि, यह "सिर में" गणना करने की अनुमति देता है।
इसलिए, हम तीन मामलों को याद करेंगे उत्पादोंअसाधारण प्रदर्शन करने से पहले तरीकापूर्ण करनावर्गों, जो बदले में, तीन अलग-अलग मामलों में उजागर होगा।
उत्कृष्ट उत्पाद और पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल
इसके बाद, उल्लेखनीय उत्पाद देखें, त्रिनामवर्गउत्तम जो इसके और आकार के बराबर है सकारात्मक असर इस त्रिपद के, क्रमशः। ऐसा करने के लिए, मान लें कि x अज्ञात है और कोई वास्तविक संख्या है।
(एक्स + के)2 = एक्स2 + 2kx + k2 = (एक्स + के) (एक्स + के)
(एक्स - के)2 = एक्स2 - 2kx + k2 = (एक्स - के) (एक्स - के)
तीसरी डिग्री का जिक्र करते हुए दूसरी डिग्री का समीकरण
उत्पादअसाधारण, योग और अंतर के गुणनफल के रूप में जाना जाता है, एक ऐसी तकनीक का उपयोग करके हल किया जा सकता है जो गणना को और भी आसान बनाता है। नतीजतन, इसे यहां नहीं माना जाएगा।समीकरण पूर्ण वर्ग त्रिपद है
अगर एक समीकरण का दूसराडिग्री एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, तो आप इसके गुणांकों को इस प्रकार पहचान सकते हैं: ए = 1, बी = 2k या - 2k तथा सी = के2. इसे जांचने के लिए, a. के साथ द्विघात समीकरण की तुलना करें त्रिनामवर्गउत्तम.
इसलिए, के समाधान में समीकरण का दूसराडिग्री एक्स2 + 2kx + k2 = 0, हमारे पास हमेशा ऐसा करने की संभावना होगी:
एक्स2 + 2kx + k2 = 0
(एक्स + के)2 = 0
√[(एक्स + के)2] = √0
|एक्स + के| = 0
एक्स + के = 0
एक्स = - के
- एक्स - के = 0
एक्स = - के
इस प्रकार, समाधान अद्वितीय है और -k के बराबर है।
अगर समीकरण एक्स हो2 - 2kx + k2 = 0, हम वही कर सकते हैं:
एक्स2 - 2kx + k2 = 0
(एक्स - के)2 = 0
[(एक्स - कश्मीर)2] = √0
|एक्स - के| = 0
एक्स - के = 0
एक्स = के
- एक्स + के = 0
- एक्स = - के
एक्स = के
इसलिए, समाधान अद्वितीय है और k के बराबर है।
उदाहरण: roots की जड़ें क्या हैं समीकरण एक्स2 + 16x + 64 = 0?
ध्यान दें कि समीकरण a. है त्रिनामवर्गउत्तम, चूँकि 2k = 16, जहाँ k = 8, और k2 = 64, जहां के = 8। तो हम लिख सकते हैं:
एक्स2 + 16x + 64 = 0
(एक्स + 8)2 = 0
[(एक्स + 8)2] = √0
एक्स + 8 = 0
एक्स = - 8
यहां परिणाम को सरल बनाया गया है, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं कि दो समाधान एक ही वास्तविक संख्या के बराबर होंगे।
समीकरण एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है
ऐसे मामलों में जहां समीकरण का दूसराडिग्री एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है, हम इसके परिणामों की गणना करने के लिए निम्नलिखित परिकल्पना पर विचार कर सकते हैं:
एक्स2 + 2kx + सी = 0
ध्यान दें कि इस समीकरण को a. में बदलने के लिए त्रिनामवर्गउत्तम, बस C के मान को k. के मान से बदलें2. चूंकि यह एक समीकरण है, ऐसा करने का एकमात्र तरीका k. जोड़ना है2 दोनों सदस्यों पर, फिर सदस्य गुणांक सी की अदला-बदली। घड़ी:
एक्स2 + 2kx + सी = 0
एक्स2 + 2kx + सी + के2 = 0 + के2
एक्स2 + 2kx + k2 = के2 - सी
इस प्रक्रिया के बाद, हम पिछली तकनीक के साथ आगे बढ़ सकते हैं, इसे बदल सकते हैं त्रिनामवर्गउत्तम उल्लेखनीय उत्पाद में और दोनों अंगों पर वर्गमूल की गणना करना।
एक्स2 + 2kx + k2 = के2 - सी
(एक्स + के)2 = के2 - सी
√[(एक्स + के)2] = (के2 - सी)
एक्स + के = ± (के2 - सी)
जब भी a. का परिणाम होता है तब ± चिन्ह प्रकट होता है समीकरण एक वर्गमूल है, क्योंकि इन मामलों में वर्गमूल का परिणाम होता है a मापांक, जैसा कि पहले उदाहरण में दिखाया गया है। अंत में, जो कुछ बचा है वह करना है:
एक्स = - के ± (के2 - सी)
तो, ये समीकरण दो परिणाम हैं असली और विशिष्ट, या कोई वास्तविक परिणाम नहीं जब C > k2.
उदाहरण के लिए, x. की जड़ों की गणना करें2 + 6x + 8 = 0.
समाधान: ध्यान दें कि 6 = 2·3x। इसलिए, k = 3 और इसलिए k2 = 9. इसलिए, दोनों सदस्यों में हमें जो संख्या जोड़नी चाहिए वह 9 के बराबर है:
एक्स2 + 6x + 8 = 0
एक्स2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
एक्स2 + 6x + 9 = 9 - 8
एक्स2 + 6x + 9 = 1
(एक्स + 3)2 = 1
√[(एक्स + 3)2] = ± √1
एक्स + 3 = ± 1
एक्स = ± 1 - 3
एक्स' = 1 - 3 = - 2
एक्स '' = - 1 - 3 = - 4
किस स्थिति में गुणांक a 1
जब गुणांक , देता है समीकरण का दूसराडिग्री, 1 से अलग है, बस पूरे समीकरण को गुणांक के संख्यात्मक मान से विभाजित करें फिर पिछले दो तरीकों में से एक को लागू करने के लिए।
तो, 2x समीकरण में2 + 32x + 128 = 0, हमारे पास 8 के बराबर अद्वितीय मूल है, क्योंकि:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
एक्स2 + 16x + 64 = 0
और, 3x समीकरण में2 + 18x + 24 = 0, हमारे पास मूल - 2 और - 4 हैं, क्योंकि:
3x2 + १८x + 24 = 0
3 3 3 3
एक्स2 + 6x + 8 = 0
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm