विश्लेषणात्मक ज्यामिति: मुख्य अवधारणाएं और सूत्र

विश्लेषणात्मक ज्यामिति एक विमान या अंतरिक्ष में एक समन्वय प्रणाली में ज्यामितीय तत्वों का अध्ययन करती है। ये ज्यामितीय वस्तुएं इस अभिविन्यास प्रणाली के बिंदुओं और अक्षों के संबंध में उनके स्थान और स्थिति से निर्धारित होती हैं।

प्राचीन लोगों से, जैसे कि मिस्र और रोमन, निर्देशांक का विचार इतिहास में पहले ही प्रकट हो चुका है। लेकिन यह 17वीं शताब्दी में, रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फ़र्मेट के कार्यों के साथ था, कि गणित के इस क्षेत्र को व्यवस्थित किया गया था।

कार्टेशियन ऑर्थोगोनल सिस्टम

निर्देशांक का पता लगाने के लिए ऑर्थोगोनल कार्टेशियन सिस्टम एक संदर्भ आधार है। यह एक समतल में दो लंबवत अक्षों द्वारा एक दूसरे से गठित होता है।

• इस प्रणाली का O(0,0) मूल इन अक्षों का प्रतिच्छेदन है।
• एक्स अक्ष भुज है।
• Y अक्ष कोटि है।
• चार चतुर्भुज वामावर्त अभिविन्यास हैं।

क्रमित युग्म

समतल के किसी भी बिंदु का निर्देशांक P(x, y) होता है।

x, बिंदु P का भुज है और x-अक्ष पर इसके ओर्थोगोनल प्रक्षेपण से मूल बिंदु तक की दूरी का गठन करता है।
y बिंदु P की कोटि है और y अक्ष पर इसके ओर्थोगोनल प्रक्षेपण से मूल बिंदु तक की दूरी है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

कार्तीय तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी इन दो बिंदुओं को मिलाने वाले खंड की लंबाई है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र तथा कोई भी।

मध्यबिंदु निर्देशांक

मध्यबिंदु वह बिंदु है जो एक खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

हो रहा एक खंड का मध्यबिंदु , इसके निर्देशांक भुज और कोटि के अंकगणितीय साधन हैं।

तथा

तीन-बिंदु संरेखण स्थिति

बिंदुओं को देखते हुए: .

इन तीन बिंदुओं को संरेखित किया जाएगा यदि निम्न मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

उदाहरण

एक रेखा का कोणीय गुणांक

ढाल एक सीधी रेखा के ढलान की स्पर्शरेखा है एक्स-अक्ष के संबंध में।

ढलान को दो बिंदुओं से प्राप्त करने के लिए:

यदि m>0, रेखा आरोही है, अन्यथा, यदि m<0, तो रेखा अवरोही है।

रेखा का सामान्य समीकरण

कहा पे NS,बी तथा सी स्थिर वास्तविक संख्याएँ हैं और, NS तथा बी वे एक साथ शून्य नहीं हैं।

उदाहरण

एक बिंदु और ढलान जानने वाला रेखा समीकरण

एक बिंदु दिया और ढलान .

रेखा का समीकरण होगा:

उदाहरण

सीधे समीकरण का छोटा रूप

कहा पे:
मी ढलान है;
n रैखिक गुणांक है।

नहीं आदेश दिया जाता है जहां रेखा y अक्ष को काटती है।

उदाहरण

नज़र रेखा समीकरण.

समतल में दो समानांतर रेखाओं के बीच सापेक्ष स्थिति

दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं जब उनके ढलान समान होते हैं।

अगर एक सीधा आर ढलान है , और एक सीधा एस ढलान है , ये समानांतर हैं जब:

इसके लिए आपका झुकाव बराबर होना चाहिए।

जब कोण बराबर होते हैं तो स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं।

समतल में दो प्रतिस्पर्धी सीधी रेखाओं के बीच सापेक्ष स्थिति

दो रेखाएँ समवर्ती होती हैं जब उनके ढलान भिन्न होते हैं।

बदले में, ढलान भिन्न होते हैं जब x अक्ष के संबंध में उनके झुकाव के कोण भिन्न होते हैं।

लम्बवत रेखायें

दो शेषफल लंबवत होते हैं जब उनके ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर होता है।

दो स्ट्रेट्स आर तथा एस, अलग, ढलानों के साथ तथा , लंबवत हैं यदि, और केवल यदि:

या

यह जानने का एक और तरीका है कि दो रेखाएँ लंबवत हैं या नहीं, सामान्य रूप में उनके समीकरणों से है।

रेखाओं r और s के समीकरण हैं:

इसके लंबवत दो रेखाएँ जब:

नज़र लम्बवत रेखायें.

परिधि

परिधि तल पर वह स्थान है जहाँ सभी बिंदु P(x, y) समान दूरी पर हैं आर इसके केंद्र सी (ए, बी) से, जहां आर त्रिज्या होने का माप है।

कम रूप में परिधि समीकरण

कहा पे:
आर त्रिज्या है, आपके चाप और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी। सी.
NS तथा बी केंद्र के निर्देशांक हैं सी.

वृत्त का सामान्य समीकरण

यह परिधि के घटे हुए समीकरण के वर्ग पदों को विकसित करके प्राप्त किया जाता है।

अभ्यास में परिधि समीकरण के सामान्य रूप को दिखाना बहुत आम है, जिसे सामान्य रूप भी कहा जाता है।

चोटीदार

शंकु शब्द एक शंकु से आया है और इसे खंडित करके प्राप्त वक्रों को संदर्भित करता है। दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय वक्र हैं जिन्हें शंकु कहा जाता है।

अंडाकार

दीर्घवृत्त एक बंद वक्र है जो एक सीधे गोलाकार शंकु को अक्ष के तिरछे समतल द्वारा खंडित करके प्राप्त किया जाता है, जो शीर्ष से नहीं गुजरता है और इसके जनन के समानांतर नहीं है।

एक तल में, उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय जिनकी दूरियों का दो आंतरिक स्थिर बिन्दुओं तक योग स्थिर होता है।

अंडाकार तत्व:

• F1 और F2 दीर्घवृत्त के केंद्रबिंदु हैं;
• 2c दीर्घवृत्त की फोकस दूरी है। यह F1 और F2 के बीच की दूरी है;
• बिंदु हे यह दीर्घवृत्त का केंद्र है। यह F1 और F2 के बीच का मध्यबिंदु है;
• A1 और A2 दीर्घवृत्त के शीर्ष हैं;
• खंड प्रमुख अक्ष और 2a के बराबर।
• खंड लघु अक्ष 2b के बराबर है।
• सनक जहां 0 < और <1 है।

कम दीर्घवृत्त समीकरण

दीर्घवृत्त में निहित एक बिंदु P(x, y) पर विचार करें जहाँ x भुज है और y इस बिंदु की कोटि है।

समन्वय प्रणाली के मूल में दीर्घवृत्त का केंद्र और x-अक्ष पर प्रमुख अक्ष (AA)।

निर्देशांक प्रणाली के मूल में दीर्घवृत्त का केंद्र और y अक्ष पर प्रमुख अक्ष (AA)।

निर्देशांक अक्षों के समानांतर कुल्हाड़ियों के साथ दीर्घवृत्त का घटा हुआ समीकरण

एक बिंदु पर विचार कार्तीय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में और, एक बिंदु दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में।

एए प्रमुख अक्ष, एक्स अक्ष के समानांतर।

AA प्रमुख अक्ष, y अक्ष के समानांतर।

अतिशयोक्ति

हाइपरबोला एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है जहां दो निश्चित बिंदुओं F1 और F2 के बीच का अंतर एक स्थिर, सकारात्मक मान में परिणत होता है।

अतिशयोक्ति के तत्व:

• F1 और F2 अतिपरवलय के केंद्रबिंदु हैं।
• 2सी = फोकस दूरी है।
• अतिशयोक्ति का केंद्र बिंदु है हे, F1F2 खंड औसत।
• A1 और A2 शीर्ष हैं।
• 2a = A1A2 वास्तविक या अनुप्रस्थ अक्ष है।
• 2b = B1B2 काल्पनिक या संयुग्म अक्ष है।
• विलक्षणता है।

त्रिभुज से होकर B1OA2

अतिपरवलय कम समीकरण

वास्तविक अक्ष के साथ x अक्ष और मूल बिंदु पर केंद्र के साथ।

y अक्ष पर वास्तविक अक्ष और मूल बिंदु पर केंद्र के साथ।

समन्वय अक्षों के समानांतर कुल्हाड़ियों के साथ अतिपरवलय समीकरण

एए वास्तविक अक्ष एक्स अक्ष और केंद्र के समानांतर .

वास्तविक अक्ष AA y अक्ष और केंद्र के समानांतर है .

दृष्टांत

परवलय वह स्थान है जहाँ बिंदुओं का समुच्चय P(x, y) एक निश्चित बिंदु F और रेखा d से समान दूरी पर है।

दृष्टांत के तत्व:

• एफ दृष्टांत का फोकस है;
• डी सीधा दिशानिर्देश है;
• समरूपता अक्ष फोकस एफ के माध्यम से सीधी रेखा है और दिशानिर्देश के लंबवत है।
• V परवलय का शीर्ष है।
• p फोकस F और शीर्ष V e के बीच समान लंबाई का खंड है, शीर्ष और निर्देश d के बीच।

परवलय के कम समीकरण

मूल बिंदु पर शीर्ष और y अक्ष पर सममिति अक्ष के साथ।

यदि p>0 ऊपर की ओर उत्तलता है।
यदि p<0 नीचे की ओर अवतलता है।

मूल बिंदु पर शीर्ष और x अक्ष पर सममिति अक्ष के साथ।

यदि p>0 दाईं ओर अवतलता है।
यदि p<0 बाईं ओर अवतलता है।

समरूपता अक्ष के साथ y अक्ष और शीर्ष के समानांतर .

समरूपता अक्ष के साथ x अक्ष और शीर्ष के समानांतर .

के साथ अभ्यास करें विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर अभ्यास.

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