त्रिकोणमितीय अनुपातों पर अभ्यास

त्रिकोणमितीय अनुपात: साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध हैं। इन अनुपातों का उपयोग करके कोणों और पार्श्व मापों के अज्ञात मानों को निर्धारित करना संभव है।

हल किए गए मुद्दों के साथ अपने ज्ञान का अभ्यास करें।

साइन के बारे में प्रश्न

प्रश्न 1

कोण होना 30° और कर्ण 47 मीटर के बराबर, ऊंचाई माप की गणना करें NS त्रिभुज का।

उत्तर देखो

त्रिकोणमितीय साइन अनुपात कोण के विपरीत पक्ष और कर्ण के उपायों के बीच का भागफल है।

अलग NS समानता के एक ओर, हमारे पास है:

एक त्रिकोणमितीय तालिका से, हमारे पास 30° की ज्या के बराबर होती है , समीकरण में प्रतिस्थापन:

अत: त्रिभुज की ऊँचाई 23.50 m है।

प्रश्न 2

एक पार्क का शीर्ष दृश्य बिंदु A से बिंदु C तक जाने के लिए दो पथ दिखाता है। विकल्पों में से एक बी पर जाना है, जहां पीने के फव्वारे और विश्राम स्थल हैं, और फिर सी। यदि पार्क में आने वाला व्यक्ति सीधे C पर जाना चाहता है, तो वह पहले विकल्प से कितने मीटर कम चल चुका होगा?

अनुमानों पर विचार करें:
पाप 58° = 0.85
cos 58° = 0.53
तन 58° = 1.60

उत्तर देखो

उत्तर: A को छोड़कर और सीधे C पर जाने पर चलना 7.54 मीटर छोटा है।

चरण 1: दूरी की गणना करें.

चरण 2: दूरी निर्धारित करें.

चरण 3: दूरी निर्धारित करें .

चरण 4: दो रास्तों के बीच का अंतर निर्धारित करें।

प्रश्न 3

एक बेस को पहाड़ की चोटी से जोड़ने के लिए एक केबल कार लगाई गई थी। स्थापना के लिए, 1358 मीटर केबल का उपयोग किया गया था, जमीन के संबंध में 30 डिग्री के कोण पर व्यवस्थित किया गया था। पहाड़ कितना ऊँचा है?

उत्तर देखो

सही उत्तर: पहाड़ की ऊंचाई 679 मीटर है।

हम पर्वत की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए साइन त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग कर सकते हैं।

एक त्रिकोणमितीय सारणी से हमें sin 30° = 0.5 प्राप्त होता है। चूँकि ज्या विपरीत भुजा और कर्ण के बीच का अनुपात है, हम ऊँचाई निर्धारित करते हैं।

प्रश्न 4

(सीबीएम-एससी, सैनिक-2010) आग के दौरान एक अपार्टमेंट में एक व्यक्ति की मदद करने के लिए, अग्निशामक एक 30m सीढ़ी का उपयोग करेगा, जिसे नीचे दिए गए चित्र में दिखाया जाएगा, जमीन के साथ एक कोण बनाते हुए 60वें का। मंजिल से अपार्टमेंट कितनी दूर है? (सेन60º=0.87 का प्रयोग करें; cos60º=0.5 और tg60º= 1.73)

ए) 15 मीटर।
ख) 26.1 मी.
सी) 34.48 मीटर।
घ) 51.9 मी.

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) 26.1 मीटर।

ऊँचाई ज्ञात करने के लिए हम 60° ज्या का प्रयोग करेंगे। ऊंचाई को कॉल करना और 0.87 के बराबर 60° साइन का उपयोग करना।

कोसाइन के बारे में प्रश्न

प्रश्न 5

कोसाइन एक कोण से सटी भुजा और कर्ण के माप के बीच का अनुपात है। हो रहा 45° के बराबर, आकृति के त्रिभुज में, कोण अल्फा से सटे पैर के माप की गणना करें।

विचार करना

उत्तर देखो

2 का वर्गमूल मान अनुमानित करना:

आसन्न पैर की माप लगभग 19.74 मीटर है।

प्रश्न 6

एक फ़ुटबॉल मैच के दौरान, खिलाड़ी 1 खिलाड़ी 2 को 48° के कोण पर फेंकता है। खिलाड़ी 2 तक पहुँचने के लिए गेंद को कितनी दूरी तय करनी होगी?

विचार करना:
पाप 48° = 0.74
cos 48° = 0.66
तन 48° = 1.11

उत्तर देखो

सही उत्तर: गेंद को 54.54 मीटर की दूरी तय करनी चाहिए।

खिलाड़ी 1 और खिलाड़ी 2 के बीच का माप समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

48° कोण की कोज्या उसके निकटवर्ती पक्ष का कर्ण से अनुपात है, जहां आसन्न भुजा मिडफ़ील्ड और बड़े क्षेत्र के बीच की दूरी है।

52.5 - 16.5 = 36 वर्ग मीटर

कोज्या की गणना, जहां h कर्ण है।

प्रश्न 7

दो ढलान होने पर एक छत को गैबल माना जाता है। एक काम में एक छत बनाई जा रही है, जहां इसके दो पानी का मिलन स्लैब के ठीक बीच में होता है। स्लैब के संबंध में प्रत्येक पानी का झुकाव कोण 30° है। स्लैब 24 मीटर लंबा है। छत को सहारा देने वाली संरचना के पूरा होने से पहले ही टाइलें मंगवाने के लिए, प्रत्येक पानी की लंबाई जानना आवश्यक है, जो होगी:

उत्तर देखो

चूंकि स्लैब 24 मीटर लंबा है, प्रत्येक पानी 12 मीटर होगा।
प्रत्येक छत के पानी एल की लंबाई को बुलाते हुए, हमारे पास है:

परिमेय संख्या प्राप्त करने के लिए भिन्न को युक्तिसंगत बनाना हर का।

बनाना,

इसलिए, प्रत्येक छत के पानी की लंबाई लगभग 13.6 मीटर होगी।

प्रश्न 8

स्पर्शरेखा कोण के विपरीत पक्ष और उसके आसन्न पक्ष के बीच का अनुपात है। कोण होना 60° के बराबर, त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

स्पर्शरेखा प्रश्न

प्रश्न 9

एक व्यक्ति नदी को पार करने से पहले उसकी चौड़ाई जानना चाहता है। इसके लिए, यह दूसरे किनारे पर एक संदर्भ बिंदु सेट करता है, उदाहरण के लिए एक पेड़ की तरह (बिंदु सी)। जिस स्थिति में आप (बिंदु B) हैं, उस स्थिति में बाईं ओर 10 मीटर चलें, जब तक कि बिंदु A और बिंदु C के बीच 30° का कोण न बन जाए। नदी की चौड़ाई की गणना करें।

विचार करना .

उत्तर देखो

नदी की चौड़ाई की गणना करने के लिए जिसे हम एल कहेंगे, हम कोण के स्पर्शरेखा का उपयोग करेंगे .

प्रश्न 10

(एनेम 2020) पेर्गोलाडो आर्किटेक्ट द्वारा डिजाइन की गई एक प्रकार की छत को दिया गया नाम है, आमतौर पर चौराहों में और
उद्यान, लोगों या पौधों के लिए एक वातावरण बनाने के लिए, जिसमें प्रकाश की मात्रा में गिरावट हो,
सूर्य की स्थिति के आधार पर। इसे समान बीम के फूस के रूप में बनाया गया है, समानांतर और पूरी तरह से रखा गया है
एक पंक्ति में, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

एक वास्तुकार अपने बीम के बीच 30 सेमी स्पैन के साथ एक पेर्गोला डिजाइन करता है, ताकि, में
ग्रीष्म संक्रांति, दिन के दौरान सूर्य के प्रक्षेपवक्र की दिशा के लंबवत एक विमान में किया जाता है
किरणें, और यह कि दोपहर का सूर्य, जब उसकी किरणें पिन स्थिति के साथ 30° हो जाती हैं, आधा. उत्पन्न करती हैं
दोपहर में पेरगोला में गुजरने वाले प्रकाश की।
वास्तुकार द्वारा तैयार किए गए परियोजना प्रस्ताव को पूरा करने के लिए, पेर्गोला बीम होना चाहिए
का निर्माण किया ताकि ऊंचाई, सेंटीमीटर में, जितना संभव हो सके. के करीब हो

ए) 9.
बी) 15.
ग) 26.
घ) 52.
ई) 60.

उत्तर देखो

सही उत्तर: सी) 26.

स्थिति को समझने के लिए, आइए एक रूपरेखा तैयार करें।

बाईं ओर की छवि 100% के साथ दोपहर के समय सूर्य के प्रकाश की घटना को दर्शाती है। बाईं ओर की छवि वही है जो हमें रुचती है। यह सूर्य की किरणों का केवल 50% 30% ढलान पर पेर्गोला से गुजरने की अनुमति देता है।

हम स्पर्शरेखा त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं। किसी कोण की स्पर्श रेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है।

पेर्गोला पीस एच की ऊंचाई को बुलाते हुए, हमारे पास है:

30° की स्पर्श रेखा बनाना =

आइए अंतिम भिन्न को युक्तिसंगत बनाएं ताकि हम हर में तीन का मूल, एक अपरिमेय संख्या न छोड़ें।

बनाना,

प्रश्न के लिए उपलब्ध विकल्पों में से, निकटतम अक्षर c है, बीम की ऊंचाई लगभग 26cm होनी चाहिए।

प्रश्न 11

(एनेम 2010) एक वायुमंडलीय गुब्बारा, जिसे बौरू (साओ पाउलो के उत्तर-पश्चिम में 343 किलोमीटर) में रात में छोड़ा गया पिछले रविवार, यह इस सोमवार को राष्ट्रपति प्रूडेंटे क्षेत्र में कुइआबा पॉलिस्ता में गिर गया, scarring
क्षेत्र में किसान। यह कलाकृति ब्राजील, फ्रांस द्वारा विकसित हिबिस्कस परियोजना कार्यक्रम का हिस्सा है।
अर्जेंटीना, इंग्लैंड और इटली ने ओजोन परत के व्यवहार को मापने के लिए और उसका अवतरण हुआ
अपेक्षित माप समय के अनुपालन के बाद।

घटना के दिन दो लोगों ने गुब्बारा देखा। एक गुब्बारे की ऊर्ध्वाधर स्थिति से 1.8 किमी दूर था
और इसे 60° के कोण पर देखा; दूसरा गुब्बारे की ऊर्ध्वाधर स्थिति से 5.5 किमी दूर था, जो के साथ संरेखित था
पहले, और उसी दिशा में, जैसा कि चित्र में देखा गया है, और इसे 30° के कोण पर देखा।
गुब्बारे की ऊंचाई लगभग कितनी है?

ए) 1.8 किमी
बी) 1.9 किमी
सी) 3.1 किमी
डी) 3.7 किमी
ई) 5.5 किमी

उत्तर देखो

सही उत्तर: सी) 3.1 किमी

हम 60° स्पर्शरेखा का उपयोग करते हैं जो बराबर है . स्पर्शरेखा कोण के विपरीत पक्ष और उसके आसन्न एक के बीच त्रिकोणमितीय अनुपात है।

इसलिए, गुब्बारे की ऊंचाई लगभग 3.1 किमी थी।