षट्भुज: इस बहुभुज के बारे में सब कुछ जानें

षट्भुज एक छह-पक्षीय, छह-शीर्ष बहुभुज है, इसलिए इसमें छह कोण हैं। षट्भुज एक सपाट आकृति है, जिसके दो आयाम हैं, जो एक बंद और सरल बहुभुज रेखा द्वारा बनाई गई है, जो प्रतिच्छेद नहीं करती है।

षट्भुज की छह भुजाएँ सीधी रेखाएँ होती हैं, जो एक आंतरिक क्षेत्र को परिसीमित करने वाले शीर्षों द्वारा क्रम से जुड़ी होती हैं।

षट्भुज प्रकृति में कई रूपों में प्रकट होता है, जैसे कि मधुमक्खी के छत्ते, बर्फ के क्रिस्टल या यहां तक ​​कि कार्बन और अन्य परमाणुओं की संरचनाओं में कार्बनिक रसायन।

वास्तुकला और इंजीनियरिंग में, हेक्सागोन का उपयोग संरचनात्मक और सजावटी तत्वों के रूप में, शिकंजा और चाबियों में, सड़कों और अन्य उपयोगिताओं को प्रशस्त करने के लिए किया जाता है।

षट्भुज शब्द ग्रीक भाषा से आया है, जहां हेक्स संख्या छह को संदर्भित करता है और गोनिया कोण को संदर्भित करता है। तो छह कोणों वाली एक आकृति।

षट्कोण के तत्व

A, B, C, D, E और F षट्भुज के शीर्ष हैं।
खंड षट्भुज की भुजाएँ हैं।
भीतरी कोण हैं।
बाहरी कोण हैं।
d विकर्ण हैं।

हेक्सागोन्स के प्रकार

षट्कोणों को उनके पक्षों और कोणों के माप के अनुसार नियमित और अनियमित, उत्तल और गैर-उत्तल में वर्गीकृत किया जाता है।

अनियमित षट्भुज

अनियमित षट्भुज के विभिन्न आकार के पक्ष और कोण होते हैं। वे दो समूहों में विभाजित हैं: उत्तल और गैर-उत्तल।

उत्तल अनियमित

उत्तल षट्भुज में विकर्णों के सभी बिंदु बहुभुज के क्षेत्रफल में होते हैं और कोई भी कोण 180° से बड़ा नहीं होता है।

गैर-उत्तल अनियमित

गैर-उत्तल षट्भुज में ऐसे विकर्ण होते हैं जिनमें बहुभुज के क्षेत्र के बाहर के बिंदु होते हैं और 180° से अधिक कोण होते हैं।

नियमित षट्भुज

नियमित षट्भुज की छह भुजाएँ और कोण समान माप के होते हैं, इसलिए वे समबाहु और समकोण होते हैं।

सभी नियमित षट्भुज उत्तल होते हैं, क्योंकि बहुभुज के बाहर कोई विकर्ण नहीं गुजरता है।

एक नियमित षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों की एक रचना है।

समबाहु त्रिभुज वे होते हैं जिनकी तीनों भुजाएँ और कोण समान माप के होते हैं।

नियमित षट्भुज क्षेत्र

षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

चूँकि L, षट्भुज भुजा की माप है, क्षेत्रफल केवल L पर निर्भर करता है।

पर और अधिक पढ़ें षट्भुज क्षेत्र.

नियमित षट्भुज का परिमाप

षट्भुज की परिधि छह से गुणा की गई भुजा का माप है।

षट्भुज एपोथेम

षट्भुज एपोथेमा एक रेखा खंड है जो एक तरफ के मध्य बिंदु को षट्भुज के केंद्र बिंदु से जोड़ता है।

नियमित षट्भुज के एपोथेमा की गणना निम्न द्वारा की जाती है:

नियमित षट्भुज के आंतरिक कोण

एक सम षट्भुज के आंतरिक कोणों का माप 120° होता है।

उनके आंतरिक कोणों का योग 720° होता है।

120° x 6 = 720°

नियमित षट्भुज के बाहरी कोण

एक सम षट्भुज के बाहरी कोणों का माप 60° होता है।

एक नियमित बहुभुज के बाहरी कोणों को मापने का सूत्र है:

कहा पे बाहरी कोणों का माप है और n भुजाओं की संख्या है।

अगर n=6 षट्भुज में, हमारे पास है:

बाहरी कोणों के माप को जानने का एक अन्य तरीका आंतरिक और बाहरी कोणों की जोड़ी के माध्यम से है, क्योंकि वे पूरक होने के कारण 180° तक जुड़ते हैं।

चूँकि आंतरिक कोण 120° है, 180° में कितनी डिग्री शेष है यह निर्धारित करने के लिए बस घटाएँ।

180° - 120° = 60°

विकर्णों की संख्या

षट्भुज में 9 विकर्ण होते हैं।

विकर्णों की संख्या निर्धारित करने के दो तरीके हैं:

पहला तरीका - गिनती।

दूसरा तरीका - बहुभुज के विकर्णों के सूत्र के माध्यम से।

जहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या है। अगर n=6 षट्भुज में, हमारे पास है:

षट्भुज एक वृत्त पर अंकित

एक वृत्त पर अंकित एक षट्भुज वृत्त के अंदर होता है, और इसके शीर्ष वृत्त पर होते हैं।
जैसा कि आकृति में त्रिभुज AOB समबाहु है, वृत्त की त्रिज्या और षट्भुज की भुजा के माप समान हैं।

षट्भुज एक वृत्त में परिबद्ध

जब वृत्त षट्भुज के अंदर होता है तो एक षट्भुज एक वृत्त से घिरा होता है।

परिधि षट्भुज के किनारों पर स्पर्श करती है।

वृत्त की त्रिज्या षट्भुज के एपोथेमा के बराबर होती है। प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है:

फिर

खपरैल का छत

टाइलिंग या टेसेलेशन एक सतह को ज्यामितीय आकृतियों से ढकने की प्रथा है।

नियमित षट्भुज उन कुछ बहुभुजों में से हैं जो एक सतह को पूरी तरह से भरते हैं।

एक नियमित बहुभुज को टाइल करने में सक्षम होने के लिए, अर्थात, बिना अंतराल छोड़े एक सतह को भरना, निम्नलिखित ज्यामितीय स्थिति को पूरा करना होगा:

एक नियमित षट्भुज के आंतरिक कोण 120° मापते हैं। षट्भुज टाइलिंग में, हम देखते हैं कि तीन षट्भुज एक शीर्ष पर मिलते हैं। इस प्रकार, हमारे पास है:

120° + 120° + 120° = 360°

शीर्ष के चारों ओर के कोणों का योग 360° के बराबर होता है।

अभ्यास 1

(एनेम 2021) कॉन्टेजेम शहर के निवासी एक छात्र ने सुना कि इस शहर में ऐसी सड़कें हैं जो एक नियमित षट्भुज बनाती हैं। मानचित्र स्थल पर खोज करने पर, उन्होंने पाया कि तथ्य सत्य है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

यहां उपलब्ध है: www.google.com। एक्सेस किया गया: 7 दिसंबर। 2017 (अनुकूलित)।
उन्होंने नोट किया कि कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित नक्शा 1:20 000 के पैमाने पर था। उस समय, उन्होंने इस षट्भुज की भुजाओं को बनाने वाले खंडों में से एक की लंबाई मापी, 5 सेमी का पता लगाया।
यदि यह छात्र इस षट्भुज को बनाने वाली सड़कों के चारों ओर पूरी तरह से जाने का फैसला करता है, तो वह किलोमीटर में यात्रा करेगा,

करने के लिए 1.
बी 4।
ग) 6.
घ) 20.
ई) 24.

उत्तर देखो

सही उत्तर: ग) 6.

षट्भुज की परिधि है:

पी = 6.एल
चूँकि भुजा का माप 5 सेमी है, तो हमें P = 6.5 = 30 सेमी. प्राप्त होता है

पैमाने के अनुसार, मानचित्र पर प्रत्येक 1 सेमी वास्तविक माप में 20 000 सेमी के बराबर है।

जैसा कि पाठ्यक्रम 30 सेमी होगा, हमारे पास है:

30 x 20,000 = 600,000 सेमी

इसे किमी में बदलने के लिए, हम 100 000 से विभाजित करते हैं।

600 000 / 100 000 = 6

इसलिए, छात्र 6 किमी की यात्रा करेगा।

व्यायाम 2

(ईईएआर 2013) आज्ञा देना एक नियमित षट्भुज और एक समबाहु त्रिभुज हो, दोनों पक्षों पर l। षट्भुज और त्रिभुज के एपोथेमा के बीच का अनुपात है

ए) 4.
बी) 3.
ग) 2.
घ) 1.

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) 3.

षट्भुज का एपोथेमा है:

त्रिभुज का एपोथेमा है:

षट्भुज और त्रिभुज के एपोथेमा के बीच का अनुपात है:

अनुपात 3 के बराबर है।

व्यायाम 3

(सीबीएम-पीआर 2010) 1 सेंटीमीटर के किनारों के साथ एक नियमित षट्भुज के आकार में यातायात संकेत पर विचार करें। एक नियमित एल-पक्षीय षट्भुज छह एल-पक्षीय समबाहु त्रिभुजों द्वारा निर्मित होने के लिए जाना जाता है। चूँकि इस चिन्ह (प्लेट) का पठन चिन्ह के क्षेत्र A पर निर्भर करता है, हमारे पास यह है कि A, लंबाई l के एक फलन के रूप में, निम्न द्वारा दिया गया है:

NS)

बी)

सी)

डी)

तथा)

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी)

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल के बराबर होता है

षट्भुज के मामले में आधार भुजा के बराबर है, तो चलिए b को L से बदलते हैं।
त्रिभुज की ऊंचाई षट्भुज के एपोथेम के बराबर होती है और इसे पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

त्रिभुज सूत्र पर वापस जा रहे हैं।

चूँकि षट्भुज का क्षेत्रफल छह त्रिभुजों के बराबर है, इसलिए हम उस क्षेत्रफल को छह से गुणा करते हैं जिसकी गणना हमने की थी।

चूँकि प्लेट का माप सेंटीमीटर में है, इसलिए क्षेत्रफल को सेमी² में मापा जाएगा।

इस प्रकार, हमारे पास है:

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