त्रिकोण बनाने के लिए कंचों से खेलने की कल्पना करें। आप पहले यह मान सकते हैं कि एक गेंद एक छोटे त्रिभुज की तरह है:
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फिर आप उनके नीचे दो कंचे रखें और a. के तीन शीर्ष बनाएं त्रिकोण:
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यदि आप इनके नीचे और तीन गेंदें रखते हैं, तो यह एक और त्रिभुज बनाएगी:
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पहले रखी गई राशि के संबंध में गेंदों को जोड़ने के प्रत्येक चरण में, हमेशा त्रिभुजों का निर्माण होगा। चार और गेंदों को जोड़ने से बना त्रिभुज देखें:
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प्रत्येक चरण में गेंदों की कुल संख्या संख्याओं के एक वर्ग को दर्शाती है जिसे कहा जाता है त्रिकोणीय संख्या. गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने प्रत्येक त्रिभुज में कुल राशि को इंगित करने के लिए एक सूत्र की खोज की, जहाँ एस1पहले त्रिकोण के अनुरूप, एस2, दूसरे त्रिकोण के लिए, और इसी तरह। गॉस द्वारा वर्णित योगों की शुरुआत से होती है ए तथा, प्रत्येक चरण में, एक संख्या जोड़ी गई जो अंतिम जोड़ी गई संख्या के ऊपर एक इकाई के अनुरूप थी:
एस1 = 1
एस2= 1 + 2 = 3
एस3 = 1 + 2 + 3 = 6
एस4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
एस5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
इन योगों के परिणाम त्रिकोणीय संख्याएँ थीं: 1, 3, 6, 10, 15... ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक राशि में एक पैटर्न स्थापित है। ध्यान से देखने पर, हम देख सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक एक है
अंकगणितीय प्रगति कारण 1. तो यहाँ है गॉस योग, जो स्थापित करता है कि, एक स्थिर अनुपात योग में, यदि हम पहले तत्व को अंतिम में जोड़ते हैं, तो हम दूसरे तत्व को अंतिम में जोड़ने के समान परिणाम प्राप्त करेंगे। आइए देखें कि रकम के लिए गॉस योग प्रक्रिया कैसे होती है। एस6 तथा एस7:
त्रिकोणीय संख्याओं के योग पर लागू गॉस योग प्रक्रिया
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अगर रुक जाओ एस6 तथा एस7 हमारे पास ऊपर की छवि से योग हैं, आइए इस राशि को पुन: पेश करें एस8, एस9, एस10 तथा एस11:
एस8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
एस9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
एस10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
एस11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
हम के लिए राशि प्राप्त करने के लिए सामान्यीकरण कर सकते हैं एसनहीं:
एसनहीं = एन। (एन+1), यदि n सम है
2
एसनहीं = (एन - 1)।(एन+1) + (एन -1) + 1, यदि n विषम है
2 2
बस की तरह नंबर जादू, हम त्रिकोणीय संख्याओं के बारे में एक और दिलचस्प तथ्य दिखा सकते हैं: बाद की त्रिकोणीय संख्याओं का योग हमेशा ऐसी संख्याएँ प्राप्त होती हैं जिन्हें पूर्ण वर्गों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, अर्थात वे संख्याएँ जिनका मूल होता है वर्ग। आइए देखते हैं:
एस1 + एस2 = 1 + 3 = 4
एस2 + एस3 = 3 + 6 = 9
एस3 + एस4 = 6 + 10 = 16
एस4 + एस5 = 10 + 15 = 25
एस5 + एस6 = 15 + 21 = 36
एस6 + एस7 = 21 + 28 = 49
एस7 + एस8 = 28 + 36 = 64
एस8 + एस9 = 36 + 45 = 81
एस9 + एस10 = 45 + 55 = 100
एस10 + एस11 = 55 + 66 = 121
प्राप्त परिणाम, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 और 121, सभी पूर्ण वर्ग हैं।
अमांडा गोंसाल्वेस द्वारा
गणित में स्नातक
क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? नज़र:
रिबेरो, अमांडा गोंसाल्वेस। "त्रिकोणीय संख्या"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. 27 जुलाई, 2021 को एक्सेस किया गया।
