भिन्न उत्पन्न करना और यह भिन्नात्मक प्रतिनिधित्व एक आवधिक दशमांश का। यह निरूपण बुनियादी गणित संक्रियाओं के बारे में समस्याओं को हल करने में एक महत्वपूर्ण रणनीति है जिसमें आवधिक दशमलव शामिल हैं। इसे खोजने के लिए, हम समीकरण तकनीकों के साथ-साथ एक व्यावहारिक विधि का भी उपयोग कर सकते हैं।
यह भी पढ़ें: भिन्न के साथ संक्रियाओं को कैसे हल करें?
आवधिक दशमांश क्या है?
यह समझने से पहले कि जनक अंश क्या है, यह समझना आवश्यक है कि आवर्त दशमलव क्या है। के दो संभावित मामले हैं cases आवधिक दशमांश: साधारण आवर्त दशमलव और यौगिक आवर्त दशमलव। एक आवधिक दशमांश है a दशमलव संख्या जिसमें अनंत और आवधिक दशमलव भाग है.
सरल आवधिक दशमांश
साधारण आवधिक दशमलव पूर्णांक भाग और दशमलव भाग से बना होता है। दशमलव भाग आपकी अवधि की पुनरावृत्ति है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में दिखाया गया है।
उदाहरण:
क) १.२२२२...
पूरा भाग → 1
दशमलव भाग → 0,2222…
समय पाठ्यक्रम → 2
बी) 3.252525...
पूरा भाग → 3
दशमलव भाग → 0,252525…
समय पाठ्यक्रम → 25
ग) 0.8888...
पूरा भाग → 0
दशमलव भाग → 0,8888
समय पाठ्यक्रम → 8
अब मत रोको... विज्ञापन के बाद और भी बहुत कुछ है;)
यौगिक आवधिक दशमांश
एक समग्र आवधिक दशमलव एक दशमलव है जिसमें एक पूर्णांक भाग, एक दशमलव भाग, और, इसके दशमलव भाग में, एक गैर-आवधिक भाग - एंटीपीरियोड के रूप में जाना जाता है - और अवधि।
उदाहरण:
क) 2.0666...
पूरा भाग → 2
दशमलव भाग→ 0,0666…
एंटीपीरियोड → 0
समय पाठ्यक्रम → 6
बी) १३.५१८८८८...
पूरा भाग → 13
दशमलव भाग → 0,51888…
एंटीपीरियोड → 51
समय पाठ्यक्रम → 8
ग) 0.109090909...
पूरा भाग → 0
दशमलव भाग → 0,10909090
एंटीपीरियोड → 1
समय पाठ्यक्रम → 09
यह भी पढ़ें: तुल्य भिन्न क्या होते हैं?
जनक अंश क्या है?
जनक भिन्न है आवर्त दशमलव का भिन्नात्मक निरूपण, सरल हो, रचना हो। जैसा कि नाम से पता चलता है, उत्पन्न करने वाला अंश दशमांश उत्पन्न करता है जब हम बांटते हैं भिन्नात्मक प्रतिनिधित्व के हर द्वारा अंश।
उदाहरण:
जनक अंश की गणना करने के लिए चरण दर चरण
आइए सरल आवर्त दशमलव और संयुक्त आवर्त दशमलव पर चरण-दर-चरण नज़र डालें।
सरल आवधिक दशमांश
एक साधारण आवर्त दशमलव का जनक अंश ज्ञात करने के लिए, कुछ चरणों का पालन करना आवश्यक है, अर्थात्:
पहला कदम: आवधिक दशमलव के बराबर x।
दूसरा चरण: आवर्त में अंकों की संख्या के अनुसार, समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें:
10 → यदि आवर्त में 1 अंक हो;
100 → यदि आवर्त में 2 अंक हों;
1000 → यदि आवर्त में 3 अंक हों; और इसी तरह।
तीसरा चरण: के बीच अंतर की गणना करें समीकरण चरण 2 में पाया गया और समीकरण चरण 1 में x के बराबर है, और समीकरण को हल करें।
उदाहरण 1:
१,४४४ दशमलव का जनक अंश ज्ञात कीजिए…
एक्स = १.४४४४…
आवर्त 4 है और, चूँकि आवर्त में केवल एक अंक है, हम इसे दोनों पक्षों में से 10 से गुणा करेंगे:
१०x = १.४४४… · १०
१०x = १४.४४४...
10x - x = 14.444.. – 0,444…
9x = 14
एक्स = 14/9
तो, दशमांश का जनक अंश है:
उदाहरण 2:
आवर्त दशमलव 3.252525 का जनक अंश ज्ञात कीजिए।
एक्स = 3.252525…
आवर्त 25 है और, चूंकि इसमें 2 अंक हैं, हम इसे 100 से गुणा करेंगे।
१००x = ३.२५२५२५… · १००
१००x = ३२५.२५२५२५...
अब गणना कर रहे हैं अंतर 100x और x के बीच:
१००x - x = ३२५.२५२५... - ३.२५२५२५...
99x = 322
एक्स = ३२२/९९
तो, दशमांश का जनक अंश है:
यौगिक आवधिक दशमांश
जब आवर्त दशमलव की रचना की जाती है, तो क्या परिवर्तन होता है? हमने एक नया चरण जोड़ा उत्पन्न अंश को खोजने के लिए संकल्प में।
पहला कदम: आवधिक दशमलव के बराबर x।
दूसरा चरण: यौगिक आवर्त दशमलव को एक साधारण आवर्त दशमलव में से गुणा करके परिवर्तित करें:
10, यदि एंटीपीरियोड में 1 अंक है;
100 यदि एंटीपीरियोड में 2 अंक हैं; और इसी तरह।
तीसरा चरण: आवर्त में अंकों की संख्या के अनुसार, समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करें:
10 → यदि आवर्त में 1 अंक हो;
100 → यदि आवर्त में 2 अंक हों;
1000 → यदि आवर्त में 3 अंक हों; और इसी तरह।
चौथा चरण: चरण 3 और चरण 2 में पाए गए समीकरण के बीच अंतर की गणना करें और समीकरण को हल करें।
उदाहरण:
5.0323232 दशमांश का जनक अंश ज्ञात कीजिए...
एक्स = 5.0323232...
ध्यान दें कि एंटीपीरियोड में 1 अंक होता है, जो 0 होता है। हम इसे आवधिक दशमलव बनाने के लिए इसे 10 से गुणा करेंगे।
१०x = ५.०३२३२३२... · १०
१०x = ५०.३३२२३२...
अब आइए उस अवधि की पहचान करें, जो 32 है। चूँकि 2 अंक हैं, हम दशमांश को 100 से गुणा करेंगे।
१०००x = ५०३२.३२३३२३२...
अब हम 1000x और 10x के बीच के अंतर की गणना करते हैं:
१०००x - १०x = ५०३२.३२३३३२... - ५०.३२३३३२...
990x = 4982
एक्स=4982/990
तो, जनक अंश है:
यह भी देखें: मिश्रित संख्या कैसे बनती है?
व्यावहारिक तरीका
हम व्यावहारिक विधि का उपयोग करते हैं आवधिक दशमलव के जनक अंश को खोजने की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाना. आइए दो अलग-अलग मामलों को देखें: जब आवर्त दशमलव सरल हो और जब यह संयुक्त हो।
सरल आवधिक दशमांश के लिए व्यावहारिक विधि
एक साधारण आवधिक दशमलव में, व्यावहारिक विधि है:
पहला कदम: पूर्णांक भाग और आवर्त दशमलव के दशमलव भाग के बीच का योग लिखिए;
दूसरा चरण: दशमलव भाग को भिन्न में इस प्रकार बदलें: अंश हमेशा आवर्त होगा और हर होगा:
9 → यदि आवर्त में 1 अंक हो;
99 → यदि आवर्त में 2 अंक हों;
999 → यदि आवर्त में 3 अंक हों; और इसी तरह।
तीसरा चरण: पूर्णांक भाग को मिली भिन्न के साथ जोड़िए।
उदाहरण:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
0.888... को भिन्न में बदलने पर, हमारे पास 8 के बराबर अंश होता है, क्योंकि 8 भिन्न का आवर्त है, और हर 9 के बराबर है, क्योंकि आवर्त में केवल 1 अंक है, इसलिए:
आवधिक मिश्रित दशमांश के लिए व्यावहारिक विधि
उदाहरण:
हम 4,1252525 दशमांश का जनक अंश पाएंगे...
सबसे पहले हम पूरे भाग की पहचान करते हैं, एंटीपीरियोड और समग्र दशमांश की अवधि:
पूरा भाग: 4
एंटीपीरियोड: 1
अवधि: 25
संयुक्त दशमांश का अंश पूरे भाग के अंकों से बनने वाली संख्या, प्रतिकाल और आवर्त से बनी संख्या और पूरे भाग और प्रतिकाल से बनी संख्या के बीच का अंतर होता है।
4125 – 41 =4084
हर में, आवर्त में प्रत्येक संख्या के लिए, हम a. जोड़ते हैं 9 और फिर, गैर-आवधिक भाग में प्रत्येक संख्या के लिए, a 0.
अवधि है 25, तो हम जोड़ते हैं 99; एंटीपरíसब है 1, तो हम जोड़ते हैं 0, फिर भाजक é990.
दशमांश का जनक अंश है:
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - दो प्राकृत संख्याओं के बीच विभाजन करते समय, आवर्त दशमलव 1.353535 पाया गया... इस दशमलव का जनक अंश है:
संकल्प
वैकल्पिक सी.
हम करेंगे x = 1.353535…
दोनों पक्षों में 100 से गुणा करने पर हमें यह करना होगा:
१०० x = १३५.३५३५…
अब 100x और x के बीच के अंतर की गणना करते हैं।
प्रश्न 2 - यदि x = 0.151515… और y = 0.242424…, तो क्या भाग y: x किसके बराबर है?
संकल्प
वैकल्पिक ए.
व्यावहारिक विधि द्वारा जनक भिन्नों को ज्ञात करना, हमें यह करना होगा:
एक्स = ०.१५१५१५…
दशमांश का आवर्त १५ है, इसलिए उसका अंश १५ है, और हर 99 है।
इसी तर्क के साथ y = 0.242424…, अंश 24 है, और हर 99 है।
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
