गुणक और भाजक: वे क्या हैं और गुण

concepts की अवधारणाएं गुणकों तथा परकार एक प्राकृतिक संख्या का विस्तार extend के समुच्चय तक होता है पूर्ण संख्या. गुणकों और भाजक के विषय के साथ व्यवहार करते समय, हम इसका उल्लेख करते हैं संख्यात्मक सेट जो कुछ शर्तों को पूरा करता है। गुणक पूर्ण संख्याओं से गुणा के बाद पाए जाते हैं, और भाजक वे संख्याएँ होती हैं जो एक निश्चित संख्या से विभाज्य होती हैं।

इस वजह से, हम पूर्णांकों के उपसमुच्चय पाएंगे, क्योंकि गुणकों और भाजक के समुच्चय के अवयव पूर्णांकों के समुच्चय के अवयव होते हैं। यह समझने के लिए कि अभाज्य संख्याएँ क्या हैं, भाजक की अवधारणा को समझना आवश्यक है।

गुणकों और भाजक की अवधारणाएँ संक्रियाओं से ली गई हैं।

एक संख्या के गुणज

होना तथा ख दो ज्ञात पूर्णांक, संख्या का बहु है ख अगर और केवल अगर एक पूर्णांक है क ऐसा है कि = ख · क। इस प्रकार गुणकों का सेट में गुणा करके प्राप्त किया जाता हैसभी पूर्ण संख्याओं के लिए, इनके परिणाम गुणा multiple के गुणज हैं .

उदाहरण के लिए, आइए 2 के पहले 12 गुणजों को सूचीबद्ध करें। इसके लिए हमें संख्या 2 को पहले 12 पूर्ण संख्याओं से इस प्रकार गुणा करना होगा:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

इसलिए, 2 के गुणज हैं:

एम (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

ध्यान दें कि हमने केवल पहले 12 नंबरों को सूचीबद्ध किया है, लेकिन हम जितनी जरूरत हो उतनी सूचीबद्ध कर सकते थे, क्योंकि सभी पूर्णांकों द्वारा एक संख्या को गुणा करके गुणकों की सूची दी जाती है। इस प्रकार, गुणकों का समुच्चय अनंत है।

यह जांचने के लिए कि कोई संख्या दूसरी संख्या का गुणज है या नहीं, हमें एक पूर्णांक ज्ञात करना चाहिए ताकि उनके बीच गुणा करने पर पहली संख्या प्राप्त हो। उदाहरण देखें:

→ संख्या 49, 7 का गुणज है, क्योंकि एक पूर्णांक है जिसे 7 से गुणा करने पर 49 प्राप्त होता है।

49 = 7 · 7

→ संख्या ३२४, ३ का गुणज है, क्योंकि एक पूर्णांक है जिसे ३ से गुणा करने पर परिणाम ३२४ प्राप्त होता है।

324 = 3 · 108

→ संख्या 523 नहीं न 2 का गुणज है क्योंकि कोई पूर्णांक नहीं है जिसे 2 से गुणा करने पर 523 प्राप्त होता है।

523 = 2 · ?

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4. के गुणज

जैसा कि हमने देखा, संख्या 4 के गुणजों को निर्धारित करने के लिए, हमें संख्या 4 को पूर्ण संख्याओं से गुणा करना होगा। इस प्रकार:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

इसलिए, 4 के गुणज हैं:

एम (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

5. के गुणज

इसी तरह, हमारे पास 5 के गुणज हैं।

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

इसलिए, 5 के गुणज हैं: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...}

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एक नंबर डिवाइडर

होना तथा ख दो ज्ञात पूर्णांक, मान लीजिए ख का विभक्त है अगर संख्या ख का बहु है , यह है की विभाजन के बीच में ख तथा सटीक है (छोड़ना चाहिए आराम 0).

कुछ उदाहरण देखें:

→ 22, 2 का गुणज है, इसलिए 2, 22 का भाजक है।

→ 63, 3 का गुणज है, इसलिए 3, 63 का भाजक है।

→ १२१, १० का गुणज नहीं है, इसलिए १०, १२१ का भाजक नहीं है।

किसी संख्या के भाजक को सूचीबद्ध करने के लिए, हमें उन संख्याओं को देखना चाहिए जो इसे विभाजित करती हैं। देखो:

- 2, 3 और 20 के विभाजकों की सूची बनाइए।

डी(2) = {1, 2}

डी(3) = {1,3}

डी(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

ध्यान दें कि भाजक की सूची में संख्या हमेशा प्रश्न में संख्या से विभाज्य होती है और वह इस सूची में दिखाई देने वाला उच्चतम मान संख्या ही है।, क्योंकि इससे बड़ी कोई संख्या इससे विभाज्य नहीं होगी।

उदाहरण के लिए, 30 के भाजक में, इस सूची में सबसे बड़ा मान 30 ही है, क्योंकि 30 से बड़ी कोई भी संख्या इससे विभाज्य नहीं होगी। इस प्रकार:

डी (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

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गुणकों और भाजक का स्वामित्व

ये गुण संबंधित हैं विभाजन दो पूर्णांकों के बीच। ध्यान दें कि जब एक पूर्णांक दूसरे का गुणज होता है, तो वह उस दूसरी संख्या से भी विभाज्य होता है।

इसपर विचार करें विभाजन एल्गोरिथ्म ताकि हम गुणों को बेहतर ढंग से समझ सकें।

एन = डी · क्यू + आर, जहाँ q और r पूर्णांक हैं।

उसे याद रखो नहीं कहा जाता है लाभांश का;डी, विभक्त के लिए;क्यू, भागफल के लिए; तथा आर, वैसे.

→ संपत्ति 1: भाज्य और शेषफल (N - r) के बीच का अंतर भाजक का गुणज है, या संख्या d (N - r) का भाजक है।

→ संपत्ति 2: (N - r + d) d का गुणज है, अर्थात संख्या d (N - r + d) का भाजक है।

उदाहरण देखें:

- 525 को 8 से भाग करने पर हमें भागफल q = 65 और शेषफल r = 5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमारे पास लाभांश N = 525 और भाजक d = 8 है। देखें कि गुण संतुष्ट हैं, क्योंकि (525 - 5 + 8) = 528 8 से विभाज्य है और:

528 = 8 · 66

अभाज्य सँख्या

आप अभाज्य सँख्या क्या वे हैं उनकी सूची में भाजक के रूप में केवल संख्या 1 और स्वयं संख्या है. यह जांचने के लिए कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, सबसे तुच्छ तरीकों में से एक उस संख्या के भाजक को सूचीबद्ध करना है। यदि 1 से अधिक संख्याएँ और विचाराधीन संख्या दिखाई देती है, तो यह अभाज्य नहीं है।

→ जांचें कि 2 और 20 के बीच कौन सी अभाज्य संख्याएं हैं। उसके लिए, आइए इन सभी संख्याओं के 2 और 20 के बीच के विभाजकों को सूचीबद्ध करें।

डी(2) = {1, 2}

डी(3) = {1,3}

डी(4) = {1, 2, 4}

डी(5) = {1, 5}

डी(6) = {1, 2, 3, 6}

डी (7) = {1, 7}

डी(8) = {1, 2, 4, 8}

डी (9) = {1, 3, 9}

डी(१०) ​​= {१, २, ५, १०}

डी(११) = {१, ११}

डी(१२) = {१, २, ३, ४, ६, १२}

डी(13) = {1, 13}

डी(14) = {1, 2, 7, 14}

डी(15) = {1, 3, 5, 15}

डी(16) = {1, 2, 4, 16}

डी(17) = {1, 17}

डी(१८) = {१, २, ३, ६, ९, १८}

डी(19) = {1, 19}

डी(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

तो 2 और 20 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19}

ध्यान दें कि सेट पहले प्राइम में से कुछ से है, यह सूची जारी है। ध्यान दें कि संख्या जितनी बड़ी होगी, यह बताना उतना ही कठिन होगा कि यह अभाज्य है या नहीं।

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हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (UMC-SP) 60 के अभाज्य भाजक के समुच्चय में तत्वों की संख्या है:

ए) 3

बी 4

ग) 5

घ) 10

समाधान

वैकल्पिक ए

प्रारंभ में, हम 60 के भाजक की सूची देंगे, और फिर हम देखेंगे कि कौन से अभाज्य हैं।

डी(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

इन संख्याओं में से, हमारे पास अभाज्य हैं:

{2, 3, 5}

अत: 60 के अभाज्य भाजक की संख्या 3 है।

प्रश्न 2 - सभी प्राकृत संख्याएँ 100 से कम और 15 के गुणज लिखिए।

समाधान

हम जानते हैं कि 15 का गुणज सभी पूर्णांकों से संख्या 15 को गुणा करने का परिणाम है। चूँकि अभ्यास में 100 से कम की प्राकृत संख्याएँ और जो 15 की गुणज हैं, लिखने के लिए कहा गया है, हमें अवश्य 15 को शून्य से बड़ी सभी संख्याओं से गुणा करें, जब तक कि हमें 100 से पहले सबसे बड़ा गुणज न मिल जाए, इस प्रकार:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

इसलिए, 100 से कम की प्राकृत संख्याएँ और 15 की गुणज हैं:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

प्रश्न 3 - १०० और १००१ के बीच ५ का सबसे बड़ा गुणज क्या है?

समाधान

१०० और १००१ के बीच ५ का सबसे बड़ा गुणक निर्धारित करने के लिए, बस ५ के पहले गुणक को सामने की ओर पहचानें।

1001 5 का गुणज नहीं है, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसे 5 से गुणा करने पर 1001 प्राप्त होता है।

१०००, ५ का गुणज है, क्योंकि १००० = ५ · २००।

इसलिए, 100 और 1001 के बीच 5 का सबसे बड़ा गुणज 1000 है।

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक