त्रिभुज क्षेत्र आकृति के आधार और ऊंचाई के माप से गणना की जा सकती है। याद रखें कि त्रिभुज एक सपाट ज्यामितीय आकृति होती है जो तीन भुजाओं से बनी होती है।
हालांकि, त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के कई तरीके हैं, समस्या में ज्ञात आंकड़ों के अनुसार चुनाव किया जा रहा है।
यह पता चला है कि कई बार, हमारे पास यह गणना करने के लिए सभी आवश्यक माप नहीं होते हैं।
इन मामलों में, हमें त्रिभुज के प्रकार (आयत, समबाहु, समद्विबाहु या स्केलीन) की पहचान करनी चाहिए और मापों को खोजने के लिए उनकी विशेषताओं और गुणों को ध्यान में रखें ज़रुरत है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?
अधिकांश स्थितियों में, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए उसके आधार और ऊँचाई के मापों का उपयोग करते हैं। नीचे दिखाए गए त्रिभुज पर विचार करें, इसके क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाएगी:
होना,
क्षेत्र: त्रिभुज क्षेत्र
खआधार
एच:ऊंचाई
आयत त्रिभुज क्षेत्र
हे सही त्रिकोण इसमें एक समकोण (90º) और दो न्यून कोण (90º से छोटे) हैं। इस प्रकार, एक समकोण त्रिभुज की तीन ऊँचाइयों में से दो उस त्रिभुज की भुजाओं से मेल खाती हैं।
इसके अलावा, यदि हम एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं को जानते हैं, तो का उपयोग करते हुए
पाइथागोरस प्रमेय, हमें आसानी से तीसरा पक्ष मिल गया।
समबाहु त्रिभुज क्षेत्र
हे समान भुजाओं वाला त्रिकोण, जिसे समकोण भी कहा जाता है, एक प्रकार का त्रिभुज है जिसमें सभी भुजाएँ और सर्वांगसम आंतरिक कोण (समान माप) होते हैं।
इस प्रकार के त्रिभुज में, जब हम केवल भुजा माप जानते हैं, तो हम ऊंचाई माप ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
इस स्थिति में ऊँचाई इसे दो अन्य सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करती है। इन त्रिभुजों में से एक को ध्यान में रखते हुए और यह कि इसकी भुजाएँ L, h (ऊँचाई) और L/2 (ऊँचाई से संबंधित भुजा को आधे में विभाजित किया गया है) हैं, हमारे पास बचे हैं:
इस प्रकार, क्षेत्रफल सूत्र में ऊंचाई के लिए प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:
समद्विबाहु त्रिभुज क्षेत्र
हे समद्विबाहु त्रिकोण एक प्रकार का त्रिभुज है जिसमें दो सर्वांगसम भुजाएँ और दो सर्वांगसम आंतरिक कोण होते हैं। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, किसी भी त्रिभुज के लिए मूल सूत्र का उपयोग करें।
जब हम एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना चाहते हैं और हमें ऊंचाई माप नहीं पता है, तो हम उस माप को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का भी उपयोग कर सकते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार के सापेक्ष ऊँचाई (अन्य दो भुजाओं से भिन्न भुजा की माप) इस भुजा को दो सर्वांगसम खंडों (समान माप) में विभाजित करती है।
इस प्रकार, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं की माप जानकर हम उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
उदाहरण
नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें:
समाधान
मूल सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमें ऊंचाई माप जानने की आवश्यकता है। आधार को अलग-अलग माप की भुजा मानकर हम उस भुजा के सापेक्ष ऊँचाई की गणना करेंगे।
यह याद रखते हुए कि ऊंचाई, इस मामले में, पक्ष को दो बराबर भागों में विभाजित करती है, हम इसके माप की गणना के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे।
स्केलीन त्रिभुज क्षेत्र
हे विषमबाहु त्रिकोण एक प्रकार का त्रिभुज है जिसमें सभी अलग-अलग भुजाएँ और आंतरिक कोण होते हैं। इसलिए, इस प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का एक तरीका. का उपयोग करना है त्रिकोणमिति.
यदि हम इस त्रिभुज की दो भुजाएँ और इन दोनों भुजाओं के बीच के कोण को जानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात होगा:
हीरोन के सूत्र द्वारा हम विषमकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना भी कर सकते हैं।
त्रिभुज क्षेत्र की गणना के लिए अन्य सूत्र
आधार के गुणनफल के द्वारा ऊँचाई से क्षेत्रफल ज्ञात करने और 2 से भाग देने के अलावा, हम अन्य प्रक्रियाओं का भी उपयोग कर सकते हैं।
हीरोन का सूत्र
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का दूसरा तरीका है "हीरोन का सूत्र", यह भी कहा जाता है "हीरो का प्रमेय". यह अर्धपरिमाप (आधा परिमाप) और त्रिभुज की भुजाओं का उपयोग करता है।
कहा पे,
रों: त्रिभुज क्षेत्र
पी: सेमीपरिमीटर
, ख तथा सी: त्रिभुज की भुजाएँ
त्रिभुज का परिमाप आकृति की सभी भुजाओं का योग होने के कारण, अर्धपरिमाप आधे परिमाप का प्रतिनिधित्व करता है:
यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि, इस सूत्र में, ऊंचाई माप (एच) जानने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसलिए, जब यह जानकारी नहीं दी जाती है, तो "बगुला का प्रमेय" के क्षेत्र को खोजने में आसान बनाता है त्रिकोण।
परिचालित त्रिज्या सूत्र
पर आधारित "पापों का नियम" आपको करना होगा "परिचालित त्रिज्या सूत्र"अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया है:
: त्रिभुज क्षेत्र
, ख तथा सी: त्रिभुज की भुजाएँ
आर: परिबद्ध परिधि की त्रिज्या
इसका उपयोग तब किया जाता है जब त्रिभुज को एक वृत्त पर अंकित किया जाता है।
फीडबैक के साथ प्रवेश परीक्षा अभ्यास
1. एनीम - 2010
निर्माण स्थलों पर, श्रमिकों को लंबाई और कोणों को मापते हुए और यह निर्धारित करते हुए देखना आम है कि काम कहाँ शुरू होना चाहिए या कहाँ बढ़ना चाहिए।
इनमें से एक बेड में फ्लैट के फर्श पर कुछ निशान बने थे। यह नोटिस करना संभव था कि, रखे गए छह ढेरों में से तीन एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष थे और अन्य तीन एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष थे। इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु जैसा कि चित्र में देखा गया है, जहाँ दाँव द्वारा इंगित किया गया है पत्र।
दांव ए, बी, एम और एन द्वारा सीमांकित क्षेत्र को कंक्रीट से पक्का किया जाना चाहिए। इन शर्तों के तहत, पक्का किया जाने वाला क्षेत्र मेल खाता है
ए) त्रिभुज एएमसी के समान क्षेत्र में।
b) त्रिभुज BNC के समान क्षेत्र में।
c) त्रिभुज ABC द्वारा निर्मित क्षेत्रफल का आधा।
d) MNC त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना।
e) त्रिभुज MNC के क्षेत्रफल को तिगुना करने के लिए।
वैकल्पिक ई: त्रिभुज MNC के क्षेत्रफल को तीन गुना करने के लिए।
2. सीफेट/आरजे - 2014
यदि ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB = 3 सेमी और BC = 4 सेमी है, तो हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्रफल, सेमी में2, एक संख्या है:
a) अधिकतम 9. के बराबर
बी) अधिकतम 8. के बराबर
c) अधिकतम 7. के बराबर
d) अधिकतम 6. के बराबर
वैकल्पिक डी: अधिकतम 6. के बराबर
3. पीयूसी/रियो - २००७
एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 10 सेमी मापता है और परिधि 22 सेमी मापता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल (सेमी. में)2) é:
ए) 50
बी 4
ग) 11
घ) 15
ई) 7
वैकल्पिक सी: 11
अधिक जानने के लिए यह भी पढ़ें:
- बहुभुज क्षेत्र
- स्क्वायर एरिया
- समतल चित्र क्षेत्र
- समतल आंकड़े क्षेत्र - अभ्यास
- आयत क्षेत्र
- क्षेत्रफल और परिधि
- पाइथागोरस प्रमेय - व्यायाम
- समतल ज्यामिति
- आयत
- चश्मे
- गणित के सूत्र
