कोसाइन कानून: आवेदन, उदाहरण और अभ्यास

कोसाइन कानून किसी त्रिभुज की एक भुजा या अज्ञात कोण के माप की गणना उसके अन्य मापों को जानने के लिए किया जाता है।

कथन और सूत्र

कोसाइन प्रमेय कहता है कि:

"किसी भी त्रिभुज में, एक तरफ का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग होता है, उन दोनों पक्षों के बीच के कोण के कोज्या द्वारा दो बार उत्पाद।."

इस प्रकार, कोज्या के नियम से हमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

उदाहरण

1. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 20 सेमी और 12 सेमी मापती हैं और उनके बीच 120° का कोण बनाती हैं। तीसरे पक्ष के माप की गणना करें।

समाधान

तीसरे पक्ष के माप की गणना करने के लिए हम कोसाइन के नियम का उपयोग करेंगे। इसके लिए, आइए विचार करें:

बी = 20 सेमी
सी = 12 सेमी
cos α = cos 120º = - 0.5 (त्रिकोणमितीय तालिकाओं में पाया गया मान)।

इन मानों को सूत्र में बदलना:

² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
² = 400 + 144 + 240
² = 784
ए = √784
ए = 28 सेमी

तो तीसरा पक्ष उपाय 28 सेमी.

2. निम्नलिखित आकृति से भुजा AC की माप और A पर शीर्ष वाले कोण का माप ज्ञात कीजिए:

सबसे पहले, आइए एसी = बी निर्धारित करें:

ख² = 8² + 10² – 2. 8. 10. क्योंकि 50वां
ख² = 164 – 160. क्योंकि 50वां
ख² = 164 – 160. 0,64279
बी 7.82

अब, कोज्या के नियम द्वारा कोण माप को निर्धारित करते हैं:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. क्योंकि
६४ = १६१.१५२४ - १५६.४ क्योंकि
कॉस = 0.62
 = 52º

ध्यान दें: कोज्या कोणों का मान ज्ञात करने के लिए हम का प्रयोग करते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. इसमें, हमारे पास प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (साइन, कोसाइन और टेंगेंट) के लिए कोणों का मान 1 angles से 90 तक होता है।

आवेदन

कोज्या नियम किसी भी त्रिभुज पर लागू किया जा सकता है। यह न्यूनकोण (90° से कम आंतरिक कोण), अधिक कोण वाला (90° से अधिक आंतरिक कोण वाला), या आयत (90° के बराबर आंतरिक कोण वाला) हो।

त्रिभुजों का उनके आंतरिक कोणों के रूप में प्रतिनिधित्व

आयताकार त्रिभुजों के बारे में क्या?

आइए, कोज्या के नियम को 90° कोण के विपरीत भुजा पर लागू करें, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

² = बी² + सी² - 2. बी सी। क्योंकि 90º

cos 90º = 0 के रूप में, उपरोक्त व्यंजक बन जाता है:

² = बी² + सी²

जो. की अभिव्यक्ति के समान है पाइथागोरस प्रमेय. इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि यह प्रमेय कोसाइन के नियम का एक विशेष मामला है।

कोज्या नियम उन समस्याओं के लिए उपयुक्त है जहाँ हम दो भुजाओं और उनके बीच के कोण को जानते हैं और हम तीसरी भुजा ज्ञात करना चाहते हैं।

हम इसका उपयोग तब भी कर सकते हैं जब हम त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जानते हैं और इसके किसी एक कोण को जानना चाहते हैं।

उन स्थितियों के लिए जहाँ हम दो कोणों और केवल एक भुजा को जानते हैं और दूसरी भुजा का निर्धारण करना चाहते हैं, वहाँ use का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है पापों का नियम.

कोसाइन और साइन की परिभाषा

किसी कोण की कोज्या और ज्या को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है त्रिकोणमितीय अनुपात एक समकोण त्रिभुज में। समकोण (90º) के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है और अन्य दो पक्षों को पैर कहा जाता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है:

समकोण त्रिभुज और उसकी भुजाओं का प्रतिनिधित्व: कूल्हे और कर्ण

कोसाइन को तब आसन्न पक्ष और कर्ण के माप के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

दूसरी ओर, साइन विपरीत पैर और कर्ण के माप के बीच का अनुपात है।

प्रवेश परीक्षा अभ्यास

1. (UFSCar) यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ x, x + 1 और x +2 मापती हैं, तो किसी के लिए एक्स वास्तविक और 1 से बड़ा, इस त्रिभुज के सबसे बड़े आंतरिक कोण की कोज्या बराबर होती है:

ए) एक्स / एक्स + 1
बी) एक्स / एक्स + 2
सी) एक्स + 1 / एक्स + 2
डी) एक्स - 2/3x
ई) एक्स - 3/2x

उत्तर देखो

वैकल्पिक ई) एक्स - 3 / 2x

2. (UFRS) नीचे दी गई आकृति में दर्शाए गए त्रिभुज में, AB और AC का माप समान है, और भुजा BC के सापेक्ष ऊँचाई BC के माप के 2/3 के बराबर है।

इन आंकड़ों के आधार पर, कोण CÂB की कोज्या है:

ए) 7/25
बी) 7/20
ग) 4/5
घ) 5/7
ई) 5/6

उत्तर देखो

वैकल्पिक ए) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप ८ मीटर और १० मीटर है और ६०° का कोण बनाते हैं। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा मापती है:

क) 2√21 वर्ग मीटर
बी) 2√31 एम
ग) 2√41 वर्ग मीटर
घ) 2√51 वर्ग मीटर
ई) 2√61 वर्ग मीटर

उत्तर देखो

वैकल्पिक ए) 2√21 वर्ग मीटर

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