मैट्रिसेस: टिप्पणी की गई और हल किए गए अभ्यास

मैट्रिक्स वास्तविक संख्याओं द्वारा बनाई गई एक तालिका है, जो पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित होती है। मैट्रिक्स में दिखाई देने वाली संख्याएँ तत्व कहलाती हैं।

इस सामग्री के बारे में अपने सभी संदेहों को दूर करने के लिए हल किए गए और टिप्पणी किए गए प्रवेश परीक्षा प्रश्नों का लाभ उठाएं।

प्रवेश परीक्षा के मुद्दों का समाधान

1) यूनिकैंप - 2018

मान लीजिए a और b वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि मैट्रिक्स A = A समीकरण को संतुष्ट करता है A²= एए + बीआई, जहां मैं क्रम 2 की पहचान मैट्रिक्स है। तो गुणनफल ab बराबर है

ए) -2।
बी) -1।
ग) 1.
घ) 2.

उत्तर देखो

उत्पाद a.b का मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले a और b का मान जानना होगा। तो आइए समस्या में दिए गए समीकरण पर विचार करें।

समीकरण को हल करने के लिए, आइए A. के मान की गणना करें², जो मैट्रिक्स A को स्वयं से गुणा करके किया जाता है, अर्थात्:

यह ऑपरेशन पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों को दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम से गुणा करके किया जाता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

इस प्रकार मैट्रिक्स A² यह वैसा ही है जैसे:

हमने अभी जो मान पाया और याद किया कि पहचान मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के तत्व 1 के बराबर हैं और अन्य तत्व 0 के बराबर हैं, समीकरण होगा:

अब हमें मैट्रिक्स A को संख्या a से और पहचान मैट्रिक्स को संख्या b से गुणा करना है।

याद रखें कि किसी संख्या को किसी सरणी से गुणा करने के लिए, हम संख्या को सरणी के प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं।

इस प्रकार, हमारी समानता बराबर होगी:

दो आव्यूहों को जोड़ने पर, हमारे पास है:

दो आव्यूह समान होते हैं जब सभी संगत तत्व समान होते हैं। इस प्रकार, हम निम्नलिखित प्रणाली लिख सकते हैं:

दूसरे समीकरण में a को अलग करना:

पहले समीकरण में a के लिए पाए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम b का मान पाते हैं:

2 + बी = 1
बी = 1 - 2
बी = -1

इस प्रकार, उत्पाद द्वारा दिया जाएगा:

द. बी = - 1. 2
द. बी = - 2

वैकल्पिक: ए) -2।

2) यूनिस्प - २०१६

ऑर्थोगोनल कार्टेशियन प्लेन के निर्देशांक (x, y) के साथ एक बिंदु P, कॉलम मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है। , साथ ही कॉलम मैट्रिक्स ओर्थोगोनल कार्टेशियन तल में, निर्देशांक (x, y) के बिंदु P का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, मैट्रिक्स गुणन का परिणाम एक स्तंभ मैट्रिक्स है, जो ओर्थोगोनल कार्टेशियन विमान में आवश्यक रूप से एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जो है

ए) घड़ी की दिशा में पी के 180º रोटेशन, और केंद्र के साथ (0, 0)।
बी) 90 डिग्री वामावर्त के माध्यम से पी के रोटेशन, केंद्र के साथ (0, 0)।
ग) क्षैतिज x अक्ष के संबंध में P का सममितीय।
d) ऊर्ध्वाधर y अक्ष के संबंध में P का सममितीय।
ई) 90º दक्षिणावर्त, और केंद्र के साथ (0, 0) के माध्यम से पी का घूर्णन।

उत्तर देखो

बिंदु P को एक मैट्रिक्स द्वारा निरूपित किया जाता है, ताकि भुज (x) तत्व a द्वारा इंगित किया जा सके।₁₁ और तत्व a. द्वारा कोटि (y)₂₁ मैट्रिक्स का।

बिंदु P की नई स्थिति ज्ञात करने के लिए, हमें प्रस्तुत आव्यूहों के गुणन को हल करना होगा और परिणाम होगा:

परिणाम बिंदु P के नए निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात भुज -y के बराबर है और कोटि x के बराबर है।

बिंदु P की स्थिति से हुए परिवर्तन की पहचान करने के लिए, कार्तीय तल में स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसा कि नीचे दर्शाया गया है:

इसलिए, बिंदु P, जो पहले पहले चतुर्थांश (धनात्मक भुज और कोटि) में स्थित था, दूसरे चतुर्थांश (ऋणात्मक भुज और धनात्मक कोटि) में चला गया।

इस नई स्थिति में जाने पर, बिंदु को वामावर्त घुमाया गया, जैसा कि ऊपर की छवि में लाल तीर द्वारा दर्शाया गया है।

हमें अभी भी यह पहचानने की आवश्यकता है कि घूर्णन कोण मान क्या था।

बिंदु P की मूल स्थिति को कार्तीय अक्ष के केंद्र से जोड़कर और उसकी नई स्थिति P' के संबंध में ऐसा करने पर, हमें निम्नलिखित स्थिति प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि आकृति में दर्शाए गए दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं, अर्थात उनके माप समान हैं। इस प्रकार उनके कोण भी समान होते हैं।

इसके अलावा, कोण α और θ पूरक हैं, क्योंकि त्रिभुजों के आंतरिक कोणों का योग 180º के बराबर है और चूंकि त्रिभुज समकोण है, इसलिए इन दोनों कोणों का योग 90º के बराबर होगा।

इसलिए, β द्वारा चित्र में दर्शाए गए बिंदु का घूर्णन कोण केवल 90º के बराबर हो सकता है।

वैकल्पिक: b) P वामावर्त का ९०° घुमाव, केंद्र पर (0, 0) के साथ।

3)यूनिकैम्प - 2017

चूँकि a एक वास्तविक संख्या है, इसलिए मैट्रिक्स A =. पर विचार करें . इतना²⁰¹⁷ यह वैसा ही है जैसा
द)
बी)
सी)
घ)

उत्तर देखो

सबसे पहले, आइए शक्तियों के लिए एक पैटर्न खोजने का प्रयास करें, क्योंकि मैट्रिक्स ए को 2017 बार से गुणा करना बहुत काम है।

याद रहे कि मैट्रिक्स गुणन में प्रत्येक तत्व एक की पंक्ति में तत्वों को दूसरे के कॉलम में तत्वों से गुणा करने के परिणामों को जोड़कर पाया जाता है।

आइए A. की गणना करके शुरू करें²:

परिणाम पहचान मैट्रिक्स था, और जब हम किसी भी मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स से गुणा करते हैं, तो परिणाम मैट्रिक्स ही होगा।

इसलिए, A. का मान³ मैट्रिक्स A के बराबर होगा, क्योंकि A³ = ए². द.

यह परिणाम दोहराया जाएगा, अर्थात, जब घातांक सम होता है, तो परिणाम पहचान मैट्रिक्स होता है और जब यह विषम होता है, तो यह मैट्रिक्स A ही होगा।

चूंकि 2017 विषम है, तो परिणाम मैट्रिक्स ए के बराबर होगा।

वैकल्पिक: बी)

4) यूएफएसएम - 2011

दिया गया आरेख किसी दिए गए पारिस्थितिकी तंत्र की सरलीकृत खाद्य श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है। तीर उन प्रजातियों को इंगित करते हैं जिन पर अन्य प्रजातियां फ़ीड करती हैं। 1 का मान देते हुए जब एक प्रजाति दूसरे पर फ़ीड करती है और शून्य, जब विपरीत होता है, तो हमारे पास निम्न तालिका होती है:

मैट्रिक्स ए = (ए_{आईजेयू})_4x4, तालिका के साथ संबद्ध, निम्नलिखित प्रशिक्षण कानून है:

उत्तर देखो

चूंकि पंक्ति संख्या i और स्तंभ संख्या j द्वारा इंगित की जाती है, और तालिका को देखते हुए, हम देखते हैं कि जब i, j के बराबर होता है, या i, j से बड़ा होता है, तो परिणाम शून्य होता है।

1 के कब्जे वाले स्थान वे हैं जिनमें स्तंभ संख्या पंक्ति संख्या से अधिक है।

वैकल्पिक: ग)

5) यूनिस्प - 2014

मैट्रिक्स समीकरण A + BX = X + 2C पर विचार करें, जिसका अज्ञात मैट्रिक्स X है और सभी मैट्रिक्स क्रम n के वर्ग हैं। इस समीकरण के एकल हल के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि:

ए) बी - आई ≠ ओ, जहां मैं ऑर्डर एन की पहचान मैट्रिक्स है और ओ ऑर्डर एन का शून्य मैट्रिक्स है।
बी) बी उलटा है।
सी) बी ओ, जहां ओ ऑर्डर एन का शून्य मैट्रिक्स है।
d) B - I उलटा है, जहाँ I क्रम n का पहचान मैट्रिक्स है।
ई) ए और सी उलटा है।

उत्तर देखो

मैट्रिक्स समीकरण को हल करने के लिए, हमें बराबर चिह्न के एक तरफ एक्स को अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आइए शुरू में मैट्रिक्स ए को दोनों तरफ से घटाएं।

ए - ए + बीएक्स = एक्स + 2 सी - ए
बीएक्स = एक्स + 2 सी - ए

अब, एक्स को दोनों तरफ से भी घटाते हैं। इस मामले में, समीकरण होगा:

बीएक्स - एक्स = एक्स - एक्स + 2 सी - ए
बीएक्स - एक्स = 2सी - ए
एक्स। (बी - आई) = 2 सी - ए

चूंकि I पहचान मैट्रिक्स है, जब हम पहचान से मैट्रिक्स को गुणा करते हैं, तो परिणाम मैट्रिक्स ही होता है।

तो, एक्स को अलग करने के लिए हमें अब बराबर चिह्न के दोनों पक्षों को (बी-आई) के व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करना होगा, जो है:

एक्स (बी-आई) (बी-आई) ^{- 1} = (बी - मैं) ^{- 1}. (2सी - ए)

यह याद रखना कि जब एक मैट्रिक्स उलटा होता है, तो मैट्रिक्स का उलटा उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर होता है।
एक्स = (बी - मैं) ^{- 1}. (2सी - ए)

इस प्रकार, समीकरण का एक हल होगा जब B - I उलटा हो।

वैकल्पिक: d) B - I उलटा है, जहां I क्रम n का पहचान मैट्रिक्स है।

6) एनीम - 2012

एक छात्र ने अपने कुछ विषयों के द्विमासिक ग्रेड को एक तालिका में दर्ज किया। उन्होंने नोट किया कि तालिका में संख्यात्मक प्रविष्टियों ने 4x4 मैट्रिक्स का गठन किया, और वह मैट्रिक्स के उत्पाद का उपयोग करके इन विषयों के लिए वार्षिक औसत की गणना कर सकते हैं। सभी परीक्षणों का वजन समान था, और उन्हें जो तालिका मिली वह नीचे दिखाई गई है

इन औसतों को प्राप्त करने के लिए, उन्होंने तालिका से प्राप्त मैट्रिक्स को गुणा किया

उत्तर देखो

अंकगणित माध्य की गणना सभी मानों को जोड़कर और मानों की संख्या से विभाजित करके की जाती है।

इस प्रकार, छात्र को 4 बायमेस्टर के ग्रेड को जोड़ना होगा और परिणाम को 4 से विभाजित करना होगा या प्रत्येक ग्रेड को 1/4 से गुणा करना होगा और सभी परिणाम जोड़ना होगा।

मैट्रिक्स का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स गुणा करके समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।

हालाँकि, हमें यह याद रखना चाहिए कि दो आव्यूहों को गुणा करना तभी संभव है जब एक में स्तंभों की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।

चूँकि नोट्स के मैट्रिक्स में 4 कॉलम होते हैं, जिस मैट्रिक्स को हम गुणा करने जा रहे हैं उसमें 4 पंक्तियाँ होनी चाहिए। इस प्रकार, हमें कॉलम मैट्रिक्स से गुणा करना होगा:

वैकल्पिक: और

7) फुवेस्ट - 2012

मैट्रिक्स पर विचार करें , किस पर एक वास्तविक संख्या है। यह जानते हुए कि A प्रतिलोम A को स्वीकार करता है^-1 जिसका पहला कॉलम है , A. के मुख्य विकर्ण के तत्वों का योग^-1 यह वैसा ही है जैसा

ए) 5
बी) 6
ग) 7
घ) 8
ई) 9

उत्तर देखो

मैट्रिक्स को इसके व्युत्क्रम से गुणा करना पहचान मैट्रिक्स के बराबर है, इसलिए हम निम्नलिखित ऑपरेशन द्वारा स्थिति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

दूसरे मैट्रिक्स के पहले कॉलम द्वारा पहली मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति के गुणन को हल करने पर, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण है:

(को १) । (2ए -1) + (ए + 1)। (- 1) = 0
2² - ए - 2 ए + 1 + (-ए) + (-1) = 0
2² - चौथा = 0
दूसरा (ए - 2) = 0
ए - 2 = 0
ए = 2

मैट्रिक्स में a के मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

अब जब हम मैट्रिक्स को जानते हैं, तो आइए इसके सारणिक की गणना करें:

इस प्रकार, मुख्य विकर्ण का योग 5 के बराबर होगा।

वैकल्पिक: क) 5

अधिक जानने के लिए, यह भी देखें:

• मैट्रिसेस
• निर्धारकों
• सरस का नियम
• लाप्लास की प्रमेय
• ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स