संख्यात्मक सेट: प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय और वास्तविक

आप संख्यात्मक सेट वे एक साथ कई सेट लाते हैं जिनके तत्व संख्याएं हैं। वे प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय और वास्तविक संख्याओं से बनते हैं। गणित की वह शाखा जो संख्यात्मक समुच्चयों का अध्ययन करती है, समुच्चय सिद्धांत है।

उनमें से प्रत्येक की विशेषताओं, जैसे कि अवधारणा, प्रतीक और उपसमुच्चय नीचे देखें।

प्राकृतिक संख्याओं का सेट (एन)

का समूह प्राकृतिक संख्या द्वारा दर्शाया गया है नहीं. यह उन संख्याओं को इकट्ठा करता है जिन्हें हम गिनने के लिए उपयोग करते हैं (शून्य सहित) और अनंत है।

प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय

• एन * = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} या N* = N - {0}: शून्येतर प्राकृत संख्याओं का समुच्चय, अर्थात शून्य रहित।
• नहीं_पी = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, जहाँ n N: सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय।
• नहीं_मैं = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, जहां n N: विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय।
• पी = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: अभाज्य प्राकृत संख्याओं का समुच्चय।

पूर्णांकों का समूह (Z)

का समूह पूर्ण संख्या द्वारा दर्शाया गया है जेड. यह प्राकृत संख्याओं (N) के सभी तत्वों और उनके विपरीत तत्वों को एक साथ लाता है। इस प्रकार, यह निष्कर्ष निकलता है कि N, Z (N Z) का एक उपसमुच्चय है:

पूर्णांकों के उपसमुच्चय

• जेड* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} या Z* = Z - {0}: गैर-शून्य पूर्णांकों के सेट, अर्थात, बिना शून्य।
• जेड₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक संख्याओं का समूह। ध्यान दें कि Z₊ = नहीं।
• जेड^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: शून्य के बिना धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय।
• जेड _– = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}: गैर-धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय।
• जेड^*_–= {..., -5, -4, -3, -2, -1}: शून्य के बिना ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय।

परिमेय संख्याओं का सेट (क्यू)

का समूह परिमेय संख्या द्वारा दर्शाया गया है क्यू. उन सभी संख्याओं को एकत्रित करता है जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, पी तथा क्या भ पूर्णांक और q≠0।

क्यू = {0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,..., ±3, ±3/2, ±3/ 4, ...}

ध्यान दें कि प्रत्येक पूर्ण संख्या भी एक परिमेय संख्या होती है। अतः Z, Q का उपसमुच्चय है।

परिमेय संख्याओं के उपसमुच्चय

• प्रश्न* = शून्य के बिना परिमेय संख्याओं द्वारा गठित गैर-शून्य परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय।
• क्यू₊ = गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय, जो धनात्मक परिमेय संख्याओं और शून्य से बनता है।
• क्यू^*₊ = धनात्मक परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय, शून्य के बिना धनात्मक परिमेय संख्याओं से बनता है।
• क्यू_– = ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय, जो ऋणात्मक परिमेय संख्याओं और शून्य से बनता है।
• प्रश्न*_– = ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय, शून्य के बिना ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ बनाता है।

अपरिमेय संख्याओं का समूह (I)

का समूह अपरिमेय संख्या द्वारा दर्शाया गया है मैं. एक अनंत, गैर-आवधिक प्रतिनिधित्व के साथ सटीक दशमलव संख्या एकत्र करता है, उदाहरण के लिए: 3.141592... या १.२०३०४०...

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि आवधिक दशमांश वे परिमेय संख्याएँ हैं न कि अपरिमेय संख्याएँ। वे दशमलव संख्याएँ हैं जो अल्पविराम के बाद दोहराई जाती हैं, उदाहरण के लिए: 1.3333333...

वास्तविक संख्याओं का समूह (R)

का समूह वास्तविक संख्याये द्वारा दर्शाया गया है आर. यह समुच्चय परिमेय (Q) और अपरिमेय (I) संख्याओं से बनता है। इस प्रकार, हमारे पास वह R = Q ∪ I है। इसके अलावा, N, Z, Q और I R के उपसमुच्चय हैं।

लेकिन ध्यान दें कि यदि कोई वास्तविक संख्या परिमेय है, तो वह अपरिमेय भी नहीं हो सकती। इसी तरह, अगर वह तर्कहीन है, तो वह तर्कसंगत नहीं है।

वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय

• आर^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
• आर₊= {x ∈ R│x 0}: गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
• आर^*₊= {x R│x > 0}: धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
• आर_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: गैर-धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
• आर^*_– = {x Rx

इसके बारे में भी पढ़ें संख्याएँ: वे क्या हैं, इतिहास और सेट.

संख्यात्मक रेंज

वास्तविक संख्याओं से संबंधित एक उपसमुच्चय भी होता है जिसे अंतराल कहा जाता है। होना तथा ख वास्तविक संख्या और वास्तविक अंतराल पर:

अत्यधिक खुली सीमा: ]a, b[ = {x R│a

चरम सीमाओं की बंद सीमा: [ए, बी] = {एक्स ∈ आर│ए ≤ एक्स ≤ बी}

दाईं ओर खुली सीमा Open (या बाएँ बंद) चरम सीमाओं के: [a, b[ = {x ∈ R│a ≤ x

बाईं खुली सीमा (या दाईं ओर बंद) चरम सीमाओं के: ]a, b] = {x ∈ R│a

संख्यात्मक सेट के गुण

संख्यात्मक सेटों का आरेख

संख्यात्मक सेटों पर अध्ययन की सुविधा के लिए, उनके कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:

• प्राकृत संख्याओं का समुच्चय (N) पूर्णांकों का एक उपसमुच्चय है: Z (N ⊂ Z)।
• पूर्णांकों का समुच्चय (Z) परिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय है: (Z Q)।
• परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Q) वास्तविक संख्याओं (R) का एक उपसमुच्चय है।
• प्राकृत (N), पूर्णांक (Z), परिमेय (Q) और अपरिमेय (I) संख्याओं के समुच्चय वास्तविक संख्याओं (R) के उपसमुच्चय हैं।

फीडबैक के साथ प्रवेश परीक्षा अभ्यास

1. (UFOP-MG) संख्याओं के संबंध में a = ०.४९९९९... और b = 0.5, यह कहना सही है:

ए) बी = ए + 0.01111
बी) ए = बी
सी) तर्कहीन है और ख यह तर्कसंगत है
देता है

उत्तर देखो

वैकल्पिक बी: ए = बी

2. (यूईएल-पीआर) निम्नलिखित नंबरों पर ध्यान दें:

मैं। 2,212121...
द्वितीय. 3,212223...
III. π/5
चतुर्थ। 3,1416
वी √– 4

उस विकल्प की जाँच करें जो अपरिमेय संख्याओं की पहचान करता है:

ए) मैं और द्वितीय।
बी) मैं और चतुर्थ।
ग) द्वितीय और तृतीय।
डी) द्वितीय और वी।
ई) III और वी।

उत्तर देखो

वैकल्पिक सी: II और III।

3. (सीफेट-सीई) सेट एकात्मक है:

क) {x Z│x b) {x Z│x² > 0}
ग) {x Rx² = 1}
घ) {x ∈ Q│x² ई) {एक्स ∈ एन│1

उत्तर देखो

वैकल्पिक ई: {x ∈ N│1

यह भी पढ़ें:

• समुच्चय सिद्धान्त
• जटिल आंकड़े
• सेट के साथ संचालन
• सेट पर व्यायाम
• संख्यात्मक सेट अभ्यास
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