त्रिभुजों की समानता: टिप्पणी और हल किए गए अभ्यास

त्रिभुज समानता एक त्रिभुज का अज्ञात माप दूसरे त्रिभुज की माप जानकर ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं के माप समानुपाती होते हैं। इस संबंध का उपयोग कई ज्यामिति समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

तो, अपने सभी संदेहों को हल करने के लिए टिप्पणी और हल किए गए अभ्यासों का लाभ उठाएं।

मुद्दों का समाधान

1) नाविक का अपरेंटिस - 2017

नीचे दिए गए चित्र को देखें

एक इमारत जमीन पर 30 मीटर लंबी छाया उसी समय डालती है जब एक 6 मीटर लंबा व्यक्ति 2.0 मीटर छाया डालता है। यह कहा जा सकता है कि इमारत की ऊंचाई लायक है

ए) 27 एम
बी) 30 एम
सी) 33 एम
डी) 36 एम
ई) 40 वर्ग मीटर

उत्तर देखो

हम मान सकते हैं कि भवन, उसकी प्रक्षेपित छाया और सूर्य की किरण एक त्रिभुज बनाते हैं। इसी तरह, हमारे पास भी व्यक्ति, उसकी छाया और सूर्य की किरण द्वारा निर्मित एक त्रिभुज है।

यह मानते हुए कि सूर्य की किरणें समानांतर हैं और भवन और जमीन और व्यक्ति के बीच का कोण है जमीन 90º के बराबर है, नीचे दी गई आकृति में दर्शाए गए त्रिभुज समान हैं (दो कोण .) बराबर)।

चूँकि त्रिभुज समरूप हैं, इसलिए हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

वैकल्पिक: क) 27 वर्ग मीटर

2) फुवेस्ट - 2017

आकृति में, आयत ABCD की भुजाएँ AB = 4 और BC = 2 हैं। माना M भुजा का मध्यबिंदु है और N भुजा का मध्यबिंदु . खंड खंड को रोकना क्रमशः बिंदु E और F पर।

त्रिभुज AEF का क्षेत्रफल बराबर होता है

उत्तर देखो

त्रिभुज AEF का क्षेत्रफल त्रिभुज AFB के क्षेत्रफल से त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल घटाकर ज्ञात किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

आइए AFB त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करके प्रारंभ करें। इसके लिए हमें इस त्रिभुज की ऊँचाई का मान ज्ञात करना होगा, क्योंकि इसका आधार मान ज्ञात है (AB = 4)।

ध्यान दें कि त्रिभुज एएफबी और सीएफएन समान हैं क्योंकि उनके दो समान कोण हैं (केस एए), जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है:

आइए H. की ऊंचाई प्लॉट करें₁, त्रिभुज AFB में भुजा AB के सापेक्ष। चूँकि भुजा CB की माप 2 के बराबर है, हम यह मान सकते हैं कि त्रिभुज FNC में भुजा NC की सापेक्ष ऊँचाई 2 - H के बराबर है।₁.

फिर हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

त्रिभुज की ऊंचाई जानने के बाद, हम इसके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी ऊँचाई मान की गणना भी करनी होगी। इसके लिए हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए ABM और AOE त्रिभुज समान हैं।

इसके अलावा, त्रिभुज OEB एक समकोण त्रिभुज है और अन्य दो कोण बराबर (45º) हैं, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इस प्रकार, इस त्रिभुज के दोनों पैरों का मान H. है₂, नीचे दी गई छवि के रूप में:

अत: त्रिभुज AOE की भुजा AO, 4 - H. के बराबर है_2. इस जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित अनुपात को इंगित कर सकते हैं:

ऊँचाई मान जानने के बाद, अब हम त्रिभुज ABE के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

इस प्रकार, त्रिभुज AFE का क्षेत्रफल इसके बराबर होगा:

वैकल्पिक: घ)

3) सेफेट/एमजी - 2015

निम्नलिखित चित्रण एक आयताकार पूल टेबल का प्रतिनिधित्व करता है, जिसकी चौड़ाई और लंबाई क्रमशः 1.5 और 2.0 मीटर के बराबर है। एक खिलाड़ी को सफेद गेंद को बिंदु B से फेंकना चाहिए और पहले बिंदु P पर काली गेंद को हिट करना चाहिए, बिना किसी अन्य को हिट किए, पहले। चूंकि पीली गेंद बिंदु A पर है, यह खिलाड़ी सफेद गेंद को बिंदु L पर फेंकेगा, ताकि वह उछल सके और काली गेंद से टकरा सके।

यदि टेबल के किनारे पर गेंद के आपतन पथ का कोण और उछलता हुआ कोण समान है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, तो P से Q की दूरी, सेमी में, लगभग है

ए) 67
बी) 70
सी) 74
घ) 81

उत्तर देखो

नीचे दी गई छवि में लाल रंग में चिह्नित त्रिभुज समान हैं, क्योंकि उनके दो समान कोण हैं (कोण α के बराबर और कोण 90º के बराबर)।

इसलिए, हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

वैकल्पिक: ए) 67

4) मिलिट्री कॉलेज/आरजे - 2015

एक त्रिभुज ABC में, बिंदु D और E क्रमशः भुजा AB और AC से संबंधित हैं और ऐसे हैं कि DE//BC हैं। यदि F, AB का एक बिंदु इस प्रकार है कि EF//CD और AF और FD e की माप क्रमशः 4 और 6 हैं, तो खंड DB का माप है:

ए) 15.
बी) 10.
ग) 20.
घ) 16.
ई) 36.

उत्तर देखो

हम त्रिभुज ABC को निरूपित कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

चूंकि खंड DE, BC के समानांतर है, तो त्रिभुज ADE और ABC समरूप हैं कि उनके कोण सर्वांगसम हैं।

फिर हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

त्रिभुज FED और DBC भी समान हैं, क्योंकि FE और DC खंड समानांतर हैं। इस प्रकार, निम्नलिखित अनुपात भी सत्य है:

इस अनुपात में y को अलग करने पर, हमारे पास है:

y मान को पहली समानता में बदलना:

वैकल्पिक: ए) 15

5) एपकार - 2016

एक समकोण त्रिभुज के आकार की भूमि को कर्ण के द्विभाजक पर बने बाड़ द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाएगा, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

यह ज्ञात है कि इस भूभाग की भुजाएँ AB और BC क्रमशः 80 मीटर और 100 मीटर मापी जाती हैं। इस प्रकार, लॉट I की परिधि और लॉट II की परिधि के बीच का अनुपात, उस क्रम में है

उत्तर देखो

परिमापों के बीच का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हमें आकृति I और आकृति II की सभी भुजाओं का मान जानना होगा।

ध्यान दें कि कर्ण का द्विभाजक BC पक्ष को दो सर्वांगसम खंडों में विभाजित करता है, इसलिए CM और MB खंड 50 मीटर मापते हैं।

चूँकि त्रिभुज ABC एक आयत है, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजा AC की गणना कर सकते हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि यह त्रिभुज एक पाइथागोरस त्रिभुज है।

इस प्रकार, कर्ण 100 (5. 20) और एक दो पैर 80 (4.20) के बराबर है, तो दूसरा पैर केवल 60 (3.20) के बराबर हो सकता है।

हमने यह भी पहचाना कि त्रिभुज ABC और MBP समरूप हैं (केस AA), क्योंकि उनका एक उभयनिष्ठ कोण है और दूसरा 90º के बराबर है।

तो, x का मान ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

अनुपात को देखते हुए z का मान ज्ञात किया जा सकता है:

हम y का मान भी ज्ञात कर सकते हैं:

अब जब हम सभी पक्षों को जानते हैं, तो हम परिमापों की गणना कर सकते हैं।

चित्र I की परिधि:

चित्र II की परिधि:

इसलिए, परिमापों के बीच का अनुपात बराबर होगा:

वैकल्पिक: घ)

6) एनीम - 2013

एक फार्म का मालिक 6 मीटर और 4 मीटर के बराबर लंबाई वाले दो पदों को बेहतर ढंग से सुरक्षित करने के लिए एक सपोर्ट रॉड लगाना चाहता है। यह आंकड़ा वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें पदों को एसी और बीडी और रॉड द्वारा वर्णित किया गया है ईएफ खंड द्वारा दर्शाया गया है, जो जमीन के लंबवत है, जिसे सीधी रेखा खंड द्वारा दर्शाया गया है एबी. खंड AD और BC स्टील केबल्स का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें स्थापित किया जाएगा।

छड़ की लंबाई EF का मान क्या होना चाहिए?

ए) 1 एम
बी) 2 एम
सी) 2.4 एम
डी) 3 एम
ई) 2 म

उत्तर देखो

समस्या को हल करने के लिए, हम तने की ऊँचाई को कहते हैं जेड और AF और FB खंडों की माप एक्स तथा आप, क्रमशः, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

त्रिभुज ADB त्रिभुज AEF के समान है जिसमें दोनों का कोण 90° के बराबर है और एक उभयनिष्ठ कोण है, इसलिए वे स्थिति AA में समान हैं।

इसलिए, हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

"एक क्रॉस में" गुणा करने पर, हमें समानता मिलती है:

6x = एच (एक्स + वाई) (आई)

दूसरी ओर, ऊपर प्रस्तुत किए गए समान कारणों से, त्रिभुज ACB और FEB भी समान होंगे। तो हमारे पास अनुपात है:

इसी तरह हल करना:

4y = एच (एक्स + वाई) (द्वितीय)

ध्यान दें कि समीकरण (I) और (II) में समान चिह्न के बाद समान व्यंजक होता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि:

6x = 4y

दूसरे समीकरण में x का मान रखने पर:

वैकल्पिक: सी) 2.4 एम

7) फुवेस्ट - 2010

आकृति में, त्रिभुज ABC एक आयताकार है जिसकी भुजाएँ BC = 3 और AB = 4 हैं। इसके अलावा, बिंदु डी कॉलरबोन से संबंधित है। , बिंदु E कॉलरबोन से संबंधित है और बिंदु F कर्ण के अंतर्गत आता है , जैसे कि DECF एक समांतर चतुर्भुज है। अगर , इसलिए DECF समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल लायक है

उत्तर देखो

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार मान को ऊँचाई से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। आइए h ऊँचाई और x को आधार माप कहते हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

चूँकि DECF एक समांतर चतुर्भुज है, इसकी भुजाएँ दो बटा दो समानांतर हैं। इस प्रकार, भुजाएँ AC और DE समानांतर हैं। तो कोण वे एक ही हैं।

तब हम यह पहचान सकते हैं कि त्रिभुज ABC और DBE समरूप हैं (केस AA)। हमारे पास यह भी है कि त्रिभुज ABC का कर्ण 5 (त्रिकोण 3,4 और 5) के बराबर है।

इस प्रकार, आइए निम्नलिखित अनुपात लिखें:

आधार का माप x ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित अनुपात पर विचार करेंगे:

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र की गणना करते हुए, हमारे पास है:

वैकल्पिक: क)