कार्य: अवधारणाएं, विशेषताएं, ग्राफिक्स

हमने एक established की स्थापना की कब्जे जब हम एक या अधिक मात्राओं को जोड़ते हैं। गणित के इस क्षेत्र में विकास के लिए धन्यवाद प्राकृतिक घटनाओं के हिस्से का अध्ययन किया जा सकता है। कार्यों के अध्ययन को दो भागों में बांटा गया है, हमारे पास सामान्य भाग है, जिसमें हम इसका अध्ययन करते हैं अवधारणाओंसामान्य, और विशिष्ट भाग, जहाँ हम अध्ययन करते हैं विशेष मामले, जैसे बहुपद फलन और घातांकीय फलन।

यह भी देखें: किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ कैसे करें?

कार्य क्या हैं?

एक फ़ंक्शन एक ऐसा अनुप्रयोग है जो दो के तत्वों से संबंधित है सेट खाली नहीं. दो गैर-रिक्त सेट ए और बी पर विचार करें, जहां एक फ़ंक्शन एफ संबंधित से प्रत्येक ए से तक तत्व केवल एक बी का तत्व

इस परिभाषा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, एक टैक्सी की सवारी की कल्पना करें। प्रत्येक यात्रा के लिए, अर्थात प्रत्येक तय की गई दूरी के लिए, एक अलग और अनूठी कीमत होती है, यानी यात्रा के लिए दो अलग-अलग कीमतों का कोई मतलब नहीं है।

हम इस फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जो सेट ए से तत्वों को सेट बी में निम्नलिखित तरीकों से लेता है।

ध्यान दें कि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव के लिए a. है

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एकल संबंधित तत्व उनके साथ सेट बी में अब हम सोच सकते हैं कि आखिर दो समुच्चयों के बीच संबंध कब फलन नहीं होगा? ठीक है, जब सेट ए का एक तत्व बी के दो अलग-अलग तत्वों से संबंधित होता है, या जब सेट ए के तत्व होते हैं जो बी के तत्वों से संबंधित नहीं होते हैं। देखो:

सामान्यतया, हम इस तरह बीजगणितीय रूप से एक फ़ंक्शन लिख सकते हैं:

एफ: ए → बी

एक्स → वाई

ध्यान दें कि फ़ंक्शन सेट ए (x द्वारा दर्शाया गया) से तत्वों को लेता है और उन्हें बी के तत्वों (y द्वारा दर्शाया गया) में ले जाता है। हम यह भी कह सकते हैं कि समुच्चय B के अवयव समुच्चय A के अवयव के रूप में दिए गए हैं, इसलिए हम y को निम्न द्वारा निरूपित कर सकते हैं:

वाई = एफ(एक्स)

यह पढ़ता है: (y x के f के बराबर है)

कार्यों का सबसे आम निरूपण कार्तीय तल पर होता है।

डोमेन, सह-डोमेन और भूमिका की छवि

जब हमारी कोई भूमिका होती है एफ, संबंधित किए जा रहे सेटों को विशेष नाम दिए गए हैं। तो एक समारोह पर विचार करें एफ जो सेट ए से तत्वों को सेट बी से तत्वों तक ले जाता है:

एफ: ए → बी

समुच्चय A, जिससे संबंध विदा होते हैं, कहलाता है डोमेन फ़ंक्शन का, और इस संबंध के "तीर" प्राप्त करने वाले सेट को कहा जाता है काउंटर-डोमेन। हम इन समुच्चयों को इस प्रकार निरूपित करते हैं:

घ_एफ = ए → का डोमेन एफ
सीडी_एफ = बी → का काउंटरडोमेन एफ

सेट के तत्वों से संबंधित तत्वों द्वारा गठित फ़ंक्शन के काउंटरडोमेन का सबसेट कहलाता है छवि फ़ंक्शन का और द्वारा दर्शाया गया है:

मैं हूँ_एफ→ की छवि एफ

उदाहरण

फ़ंक्शन पर विचार करें f: A → B नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है और डोमेन, काउंटरडोमेन और छवि का निर्धारण करता है।

जैसा कि कहा गया है, समुच्चय A = {1, 2, 3, 4} फलन का प्रांत है एफ, जबकि समुच्चय B = {0, 2, 3, -1} समान फलन का प्रतिक्षेत्र है. अब, ध्यान दें कि तत्वों द्वारा गठित सेट जो तत्वों द्वारा गठित तीर (नारंगी में) प्राप्त करता है {0, 2, -1} काउंटरडोमेन बी का एक सबसेट है, यह सेट फ़ंक्शन की छवि है च, इस प्रकार:

घ_एफ = ए = {1, 2, 3, 4}

सीडी_एफ= बी = {0, 2, 3, -1}

मैं हूँ_एफ = {0, 2, –1}

हम कहते हैं कि 0 तत्व छवि है 1 डोमेन के साथ-साथ 2 यह तत्वों की छवि है 2 तथा 3 डोमेन का, और –1 तत्व छवि है 4 डोमेन का। इन तीन अवधारणाओं के बारे में अधिक जानने के लिए पढ़ें: घडोमेन, सह-डोमेन और छवि.

विशेषण कार्य

एक समारोह एफ: ए → बी विशेषण या विशेषण होगा यदि, और केवल अगर, छवि सेट कॉन्ट्राडोमेन के साथ मेल खाता है, अर्थात, यदि विरोधाभास के सभी तत्व चित्र हैं.

तब हम कहते हैं कि एक फ़ंक्शन विशेषण है जब काउंटरडोमेन के सभी तत्वों को तीर प्राप्त होते हैं। यदि आप इस प्रकार के फ़ंक्शन में गहराई से जाना चाहते हैं, तो हमारे टेक्स्ट पर जाएँ: ओवरजेट फ़ंक्शन.

इंजेक्शन समारोह

एक समारोह एफ: ए → बी इंजेक्शन या इंजेक्शन होगा, और केवल तभी, जब डोमेन के अलग-अलग तत्वों में काउंटरडोमेन में अलग-अलग छवियां हों, यानी, जैसे चित्र डोमेन के समान तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं.

ध्यान दें कि शर्त यह है कि डोमेन के विभिन्न तत्व काउंटरडोमेन के विभिन्न तत्वों से संबंधित हैं, काउंटरडोमेन में शेष तत्वों के साथ कोई समस्या नहीं है। इस अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आप पाठ पढ़ सकते हैं: इंजेक्टर फ़ंक्शन.

बिजेक्टर फ़ंक्शन

एक समारोह एफ: A → B विशेषण होगा यदि, और केवल यदि, यह है इंजेक्टर और सर्जेक्टर एक साथ, अर्थात्, डोमेन के अलग-अलग तत्वों की अलग-अलग छवियां होती हैं, और छवि काउंटर-डोमेन के साथ मेल खाती है।

उदाहरण

प्रत्येक स्थिति में, सिद्ध कीजिए कि फलन f (x) = x. है या नहीं² यह इंजेक्टर, सरजेक्टर या बायजेक्टर है।

द) एफ: ℝ₊ → ℝ

ध्यान दें कि फ़ंक्शन का डोमेन सभी सकारात्मक वास्तविक है और काउंटरडोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। हम जानते हैं कि फलन f, f (x) = x. द्वारा दिया गया है², अब सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं की कल्पना करें numbers उच्च चुकता, सभी चित्र भी सकारात्मक होंगे। तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फ़ंक्शन इंजेक्शन दे रहा है और विशेषण नहीं है, क्योंकि नकारात्मक वास्तविक संख्याओं को तीर नहीं मिलेगा।

यह इंजेक्शन लगा रहा है, डोमेन के प्रत्येक तत्व के रूप में (ℝ₊) काउंटरडोमेन (ℝ) के केवल एक तत्व से संबंधित है।

बी) एफ: ℝ → ℝ₊

इस मामले में, फ़ंक्शन में डोमेन सभी वास्तविक और काउंटरडोमेन सकारात्मक वास्तविकताओं के रूप में होता है। हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, इसलिए काउंटरडोमेन के सभी तत्वों को तीर प्राप्त हुए हैं, इसलिए फ़ंक्शन विशेषण है। यह इंजेक्शन नहीं होगा क्योंकि डोमेन तत्व दो काउंटर-डोमेन तत्वों से संबंधित हैं, उदाहरण के लिए:

एफ(–2) = (–2)² = 4

एफ(2) = (2)² = 4

सी) एफ:ℝ₊ → ℝ₊

इस उदाहरण में फ़ंक्शन में सकारात्मक वास्तविक संख्या के रूप में डोमेन और काउंटरडोमेन हैं, इसलिए फ़ंक्शन है बायजेक्टर, क्योंकि प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या एक से संबंधित है वास्तविक संख्या काउंटरडोमेन का धनात्मक, इस मामले में संख्या का वर्ग। इसके अलावा, सभी काउंटरडोमेन नंबरों को तीर प्राप्त हुए।

समग्र कार्य

समग्र कार्य के साथ जुड़ा हुआ है शॉर्टकट विचार। तीन गैर-रिक्त सेट ए, बी और सी पर विचार करें। दो फलन f और g पर भी विचार करें, जहां फ़ंक्शन f सेट A से तत्वों x को सेट B से y = f (x) तक ले जाता है, और फ़ंक्शन g तत्वों y = f (x) को सेट C से तत्व z तक ले जाता है।

कंपोजिट फ़ंक्शन को यह नाम मिलता है क्योंकि यह एक ऐसा एप्लिकेशन है जो सेट ए से तत्वों को सीधे सेट सी से तत्वों तक ले जाता है, बिना सेट बी से गुजरे, फ़ंक्शन f और g की संरचना के माध्यम से। देखो:

(f o g) द्वारा निरूपित फ़ंक्शन सेट A से तत्वों को सीधे सेट C में ले जाता है। इसे एक संयुक्त कार्य कहा जाता है।

उदाहरण

फलन पर विचार करें f(x) = x² और फलन g (x) = x + 1 है। मिश्रित फलन (f o g)(x) और (g o f)(x) ज्ञात कीजिए।

फलन f o g, f पर लागू होने वाले फलन g द्वारा दिया जाता है, अर्थात्:

(एफ ओ जी) (एक्स) = एफ (जी (एक्स))

इस समग्र फलन को निर्धारित करने के लिए हमें फलन पर विचार करना चाहिए एफ, और, चर x के स्थान पर, हमें फ़ंक्शन लिखना चाहिए जी. देखो:

एक्स²

(एक्स+1)²

(एफ ओ जी) (एक्स) = एफ (जी (एक्स)) = एक्स² + 2x + 1

इसी प्रकार, संयुक्त फलन (g o f)(x) का निर्धारण करने के लिए, हमें फलन को लागू करना होगा एफ भूमिका में जीअर्थात् फलन g पर विचार कीजिए और चर के स्थान पर फलन f लिखिए। देखो:

(एक्स + 1)

एक्स² + 1

इसलिए, संयुक्त फलन (g o f)(x) = g (f (x)) = x² + 1.

यहां तक कि समारोह

एक समारोह पर विचार करें एफ: A →, जहाँ A रिक्त स्थानों का एक उपसमुच्चय है। एक फलन f केवल सभी वास्तविक x के लिए सम होगा।

उदाहरण

समारोह पर विचार करें एफ: ℝ →, f (x) = x. द्वारा दिया गया है².

ध्यान दें कि किसी भी वास्तविक x मान के लिए, यदि चुकता किया जाता है, तो परिणाम हमेशा सकारात्मक होता है, अर्थात्:

एफ (एक्स) = एक्स²

तथा

f(-x) = (-x)² = एक्स²

तो f(x) = f(–x) किसी भी वास्तविक x मान के लिए, इसलिए फलन एफ यह जोड़ी है।

यह भी पढ़ें:शक्ति गुणएस - वे क्या हैं और कैसे पर प्रयोग करेंवायु?

अद्वितीय कार्य

एक समारोह पर विचार करें एफ: A →, जहाँ A रिक्त स्थानों का एक उपसमुच्चय है। एक फलन f केवल सभी वास्तविक x के लिए विषम होगा।

उदाहरण

समारोह पर विचार करें एफ: ℝ →, f (x) = x. द्वारा दिया गया है³.

देखें कि x के किसी भी मान के लिए हम लिख सकते हैं कि (-x)³ = -x³. कुछ उदाहरण देखें:

(–2)³ = –2³ = –8

(–3)³ = –3³ = –27

तो हम कह सकते हैं कि:

f(-x) = (-x)³ = –एक्स³

f(-x) = (-x)³ = –एफ (एक्स)

तो किसी भी वास्तविक x f(-x) = –f (x) के लिए, और इसलिए फलन f (x) = x³निराला है।

बढ़ता हुआ कार्य

एक समारोह एफ é बढ़ रही है एक अंतराल पर यदि और केवल तभी, जैसे-जैसे डोमेन तत्व बढ़ते हैं, उनकी छवियां भी बढ़ती हैं। देखो:

ध्यान दें कि x₁ > एक्स₂ और छवि के साथ भी ऐसा ही होता है, इसलिए हम फ़ंक्शन के लिए बीजगणितीय स्थिति स्थापित कर सकते हैं एफ होना बढ़ रही है.

अवरोही कार्य

एक समारोह एफ é घटते एक अंतराल पर यदि और केवल यदि, जैसे-जैसे डोमेन तत्व बढ़ते हैं, उनकी छवियां घटती जाती हैं। देखो:

देखें कि, फ़ंक्शन डोमेन में, हमारे पास x. है₁ > एक्स₂, हालांकि यह फ़ंक्शन छवि में नहीं होता है, जहां f (x .)₁) < एफ (एक्स₂). तो हम घटते कार्यों के लिए एक बीजीय स्थिति स्थापित कर सकते हैं। देखो: