a. की शर्तों का योग अंकगणितीय प्रगति (पीए) निम्नलिखित के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है सूत्र:
इस सूत्र में, Sनहीं न का प्रतिनिधित्व करता है शर्तों का योग, ए1 यह है प्रथमअवधि और यहनहीं न यह है पिछलेअवधि प्रश्न में BP का, n शब्दों की संख्या है जो होगाएक साथ जोड़ा गया. अंकगणितीय प्रगति की शर्तों को जोड़ने के लिए, बस इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।
पीए में शब्दों के योग के उदाहरण Examples
नीचे दो उदाहरण दिए गए हैं कि कैसे करें सूत्र ऊपर प्रस्तुत प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है योगसेमामले का कड़ाही.
→ उदाहरण 1
निश्चित करो योगसेमामले निम्नलिखित पीए में से: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40)।
दिए गए सूत्र का उपयोग करने के लिए, ध्यान दें कि:
1 = 2
नहीं न = 40
एन = 20
यह अंतिम डेटा (शब्दों की संख्या) की गणना करके प्राप्त किया गया था मामले पीए की। इस डेटा को सूत्र में लागू करने पर, हमारे पास होगा:
इतना योगसेमामले इस पीए का 420 है।
ध्यान दें कि यह सूत्र केवल के लिए मान्य है अंकगणितीय प्रगति किसके पास है समापिका शर्तों का। यदि PA अनंत है, तो जोड़े जाने वाले शब्दों की संख्या को सीमित करना आवश्यक होगा। जब ऐसा होता है, तो जोड़ा जाने वाला अंतिम शब्द प्राप्त करने के लिए AP के बारे में अन्य ज्ञान का उपयोग करना आवश्यक हो सकता है।
एक अनंत PA की शर्तों के योग का एक उदाहरण नीचे देखें:
→ उदाहरण 2
निम्नलिखित BP के पहले ५० पदों का योग ज्ञात कीजिए: (५, १०, १५,…)।
ध्यान दें कि यह कड़ाहीअनंत है, यह दीर्घवृत्त द्वारा प्रमाणित है। पहला पद 5 है, जैसा कि बीपी अनुपात है, 10 - 5 = 5 के रूप में। चूँकि हम पहले ५० पदों का योग ज्ञात करना चाहते हैं, ५०वें पद को a. द्वारा दर्शाया जाएगा50. इसका मान ज्ञात करने के लिए हम. के सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं पीए की सामान्य अवधि:
इस सूत्र में, r BP अनुपात है। इसमें कथन में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना सूत्र, हमारे पास होगा:
यह जानते हुए कि ५०वाँ पद २५० है, हम के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं योगसेमामले पहले 50 पदों का योग प्राप्त करने के लिए (S50) इस पीए के:
गॉस और पीए की शर्तों का योग sum
ऐसा कहा जाता है कि जर्मन गणितज्ञ गॉस ने सबसे पहले एक वैकल्पिक विधि का प्रयोग किया था जोड़नामामले का पैन, शब्द द्वारा शब्द जोड़ने की आवश्यकता के बिना। बाद में, चरणों को सरल बनाने का उनका विचार योग ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त सूत्र निकला।
कहानी यह है कि, एक बच्चे के रूप में, गॉस के पास एक शिक्षक था जिसने पूरी कक्षा को दंडित किया: सभी संख्याओं को 1 से 100 तक जोड़ना।
गॉस ने महसूस किया कि पहली संख्या को अंतिम में, दूसरे को दूसरे से अंतिम में जोड़ने पर, और इसी तरह से एक ही परिणाम मिलता है:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
उसका सबसे बड़ा काम यह देखना था कि जब वह दो संख्याओं को जोड़ रहा था, तो उसे 101 के बराबर 50 परिणाम मिलेंगे, यानी योग 1 से 100 तक की सभी संख्याओं का 50 .101 = 5050 करके ज्ञात किया जा सकता है।
गॉस द्वारा प्राप्त परिणाम की जाँच के माध्यम से की जा सकती है सूत्र एपी की शर्तों के योग का। घड़ी:
