प्रायिकता: अवधारणाएं, सूत्र, गणना, उदाहरण

संभावना की एक शाखा है गणित जो कैसे के तरीकों का अध्ययन करता है एक निश्चित घटना होने की संभावना का अनुमान लगाएं. उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि हमारे पास 10 सफेद गेंदों और 20 लाल गेंदों के साथ एक कलश है। निश्चित रूप से लाल गेंद मिलने की संभावना बहुत अधिक है, हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि हमें पहली कोशिश में लाल गेंद मिलेगी, क्योंकि सफेद गेंदें भी हैं। संभाव्यता का अध्ययन आपको इस अवसर को वास्तविक संख्या के साथ जोड़कर लाल गेंद या सफेद गेंद प्राप्त करने की संभावना को मापने की अनुमति देता है।

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संभाव्यता मूल बातें

यादृच्छिक प्रयोग

यादृच्छिक प्रयोग वे होते हैं जो कई बार दोहराए जाने और प्रक्रियाओं को चालू रखने पर परिणाम देते हैं असंभावित परिणाम. उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्के को लगातार दस बार पलटते हैं, तो परिणाम की संभावना नहीं होती है, जैसा कि प्रत्येक फ्लिप के साथ, एक हेड या टेल दिखाई दे सकता है।

नमूना जगह

आइए नमूना स्थान को कॉल करें सेट किसी दी गई घटना के सभी संभावित परिणामों का या यादृच्छिक प्रयोग से।

उदाहरण

ए) एक सिक्का उछालते समय, संभावित परिणाम शीर्ष या पूंछ होते हैं, इसलिए नमूना स्थान है:

तथा₁ = {सिर, पूंछ}

बी)एक ईमानदार पासे को घुमाते समय, संभावित परिणाम पासे के छह पहलू होते हैं, इसलिए:

तथा₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

सी) एक सिक्का दो बार फ़्लिप किया जाता है, इसलिए नमूना स्थान उन युग्मों द्वारा निर्धारित किया जाता है जिनमें पहले तत्व पहली फेंक के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा दूसरे फेंक के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है, इस प्रकार:

ई = {(सी, सी), (सी, के), (के, के), (के, सी)}

सी → क्राउन

कश्मीर → यार

प्रतिस्पर्धा

एक घटना एक नमूना स्थान का हर सबसेट है।

उदाहरण

एक डाई रोल के नमूना स्थान पर विचार करें, इसलिए E = {1,2,3,4,5,6}। निम्नलिखित मामले घटनाओं के उदाहरण हैं:

ए) घटना जिसमें चेहरे 3 से बड़े होते हैं। हम ऐसी घटना को A से निरूपित करेंगे, इसलिए:

ए = {4, 5, 6}

सामान्यतया, हम सेट नोटेशन का उपयोग करके ऐसी घटना लिख ​​सकते हैं:

ध्यान दें कि A का प्रत्येक अवयव समुच्चय E का एक अवयव है, इसलिए A, E का उपसमुच्चय है।

b) वह घटना जिसमें फलक विषम संख्याएँ हैं। इस मामले में, हम इस तरह की घटना को बी द्वारा निरूपित करेंगे, जैसे:

बी = {1, 3, 5}

समसंभाव्य स्थान

एक प्रतिदर्श समष्टि E पर विचार करें और उस स्थान से एक यादृच्छिक प्रयोग भी लें। मान लीजिए कि E एक है सुसज्जित नमूना स्थान यदि प्रयोग की सभी घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता समान है।

उदाहरण

एक कलश की कल्पना करें जिसमें सिर्फ दो गेंदें हों, एक सफेद और एक काली। क्यू गेंद लेने की संभावना काली गेंद लेने के समान है, इसलिए नमूना स्थान समसंभाव्य है।

एक और उदाहरण एक बच्चे का जन्म है। एक लड़का होने की संभावना एक लड़की होने की संभावना के समान है, इसलिए इस घटना में एक समान नमूना स्थान है।

यह भी देखें: प्रायिकता: मूल परिभाषाएँ

प्रायिकता सूत्र और गणना

किसी दी गई घटना A की प्रायिकता, जिसे P(A) द्वारा दर्शाया गया है, है विभाजन अनुकूल मामलों की संख्या और संभावित मामलों की संख्या के बीच। हम घटना ए के घटित होने की संभावना का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

उदाहरण

आइए 10 सफेद गेंदों और 20 लाल गेंदों के साथ कलश में एक क्यू गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

इसके लिए हम शुरू में अनुकूल मामलों की संख्या और संभावित मामलों की संख्या का निर्धारण करेंगे।

अनुकूल मामले → 10 (सफेद गेंदें)

संभावित मामले → 10 + 20 (सफेद गेंद + लाल गेंद)

ध्यान दें कि अनुकूल मामले वे मामले हैं जो हमारी रुचि रखते हैं - इस मामले में, सफेद गेंदों की संख्या - और संभावित मामले नमूना स्थान में तत्वों की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। आइए घटना को प्रश्न ए में इस तरह कहते हैं:

इसलिए क्यू बॉल मिलने की संभावना 33.33% है।

प्रायिकता किसी चेहरे के मरने की संभावना को निर्धारित कर सकती है।

अभ्यास

प्रश्न 1 - (यूएफपीई) एक अक्षर यादृच्छिक रूप से उन लोगों में से चुना जाता है जो पेरनामबुको शब्द बनाते हैं। व्यंजन होने की कितनी संभावना है?

समाधान

ध्यान दें कि PERNAMBUCO शब्द में अक्षरों की कुल संख्या 10 के बराबर है। इस समस्या में अनुकूल स्थिति व्यंजन की संख्या है, जो 6 हैं। इसलिए, एक व्यंजन चुनने की संभावना है: