प्रिज्म क्षेत्र: गणना कैसे करें, उदाहरण, अभ्यास

प्रिज्म त्रिविमीय आकृतियाँ द्वारा बनाई गई हैं दो सर्वांगसम और समानांतर आधार, आधार, बदले में, द्वारा बनते हैं उत्तल बहुभुज. अन्य फलक जिन्हें पार्श्व फलक कहते हैं वे किसके द्वारा बनते हैं? समानांतर चतुर्भुज. प्रिज्म का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसका प्रदर्शन करना आवश्यक है योजना और फिर समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

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प्रिज्म की योजना बनाना

नियोजन का विचार त्रि-आयामी आकृति को a. में बदलना है द्वि-आयामी आकृति. व्यवहार में यह प्रिज्म के किनारों को काटने के बराबर होगा। त्रिकोणीय प्रिज्म की योजना बनाने का एक उदाहरण नीचे दिया गया है।

हर प्रिज्म के लिए यही प्रक्रिया अपनाई जा सकती है, हालांकि, ध्यान दें कि जैसे-जैसे हम आधार बहुभुजों की भुजाओं की संख्या बढ़ाते हैं, कार्य अधिक कठिन होता जाता है। इस कारण से, हम इस योजना के आधार पर सामान्यीकरण करेंगे बहुभुज.

पार्श्व क्षेत्र की गणना

त्रिभुजाकार प्रिज्म के प्रतिबिम्ब को देखने पर हमें पता चलता है कि ABFC, ABFD और ACDE समांतर चतुर्भुज हैं पार्श्व चेहरे। ध्यान दें कि एक प्रिज्म के पार्श्व फलक हमेशा समांतर चतुर्भुज होंगे

आधार बहुभुजों की भुजाओं की संख्या की परवाह किए बिना, ऐसा इसलिए होता है क्योंकि वे समानांतर और सर्वांगसम होते हैं।

त्रिकोणीय प्रिज्म आकृति को देखते हुए, हम यह भी देखते हैं कि हमारे पास तीन पार्श्व फलक हैं। यह आधार बहुभुज की भुजाओं की संख्या के कारण है, अर्थात यदि प्रिज्म के आधार चतुर्भुज हैं, हमारे पास चार भुजाएँ होंगी, यदि आधार एक पंचभुज हैं, तो हमारे पास पाँच भुजाएँ होंगी, इत्यादि। इस प्रकार: आधार बहुभुज की भुजाओं की संख्या प्रिज्म के पार्श्व फलकों की संख्या को प्रभावित करती है.

इसलिए पार्श्व क्षेत्र (ए_ली) किसी भी प्रिज्म का क्षेत्रफल पार्श्व फलकों की संख्या से गुणा करके दिया जाता है, अर्थात यह समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चेहरे की भुजाओं की संख्या से गुणा किया जाता है।

_ली = (आधार · ऊंचाई) · चेहरे की भुजाओं की संख्या

• उदाहरण

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म के पार्श्व क्षेत्र की गणना करें जिसका आधार किनारा 3 सेमी के बराबर और ऊंचाई 11 सेमी के बराबर हो।

प्रश्न में प्रिज्म द्वारा दर्शाया गया है:

फिर पार्श्व क्षेत्र की गणना आधार बहुभुज की भुजाओं की संख्या से आयत के क्षेत्रफल से की जाती है, जो कि 6 है, इसलिए:

_ली = (आधार · ऊंचाई) · चेहरे की भुजाओं की संख्या

_ली = (3 · 11) · 6

_ली = 198 सेमी²

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आधार क्षेत्र की गणना

प्रिज्म के अलग-अलग आकार हो सकते हैं।

आधार क्षेत्र (_ख) एक प्रिज्म की रचना उस बहुभुज पर निर्भर करती है जो इसे बनाता है। जैसा कि एक प्रिज्म में हमारे पास दो समानांतर और सर्वांगसम फलक होते हैं, आधार क्षेत्र समांतर बहुभुजों के क्षेत्रफलों के योग द्वारा दिया जाता है, अर्थात बहुभुज के क्षेत्रफल का दोगुना।

_ख = 2 · बहुभुज क्षेत्र

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• उदाहरण

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म के आधार क्षेत्र की गणना करें जिसका आधार किनारा 3 सेमी के बराबर और ऊंचाई 11 सेमी के बराबर हो।

इस प्रिज्म का आधार एक नियमित षट्भुज है, और ऊपर से देखा गया यह एक ऐसा दिखता है:

ध्यान दें कि त्रिभुज षट्भुज के अंदर बने समभुज हैं, इसलिए षट्भुज का क्षेत्रफल छह गुना है समबाहु त्रिभुज क्षेत्र.

हालाँकि, ध्यान दें कि, प्रिज्म में, हमारे पास दो षट्भुज हैं, इसलिए आधार क्षेत्र बहुभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है।

कुल क्षेत्रफल की गणना

कुल क्षेत्रफल_टी) एक प्रिज्म का पार्श्व क्षेत्र के योग द्वारा दिया जाता है (_ली) आधार क्षेत्र के साथ (_ख).

_टी = ए_ली + ए_ख

• उदाहरण

एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म के कुल क्षेत्रफल की गणना करें जिसका आधार किनारा 3 सेमी के बराबर और ऊंचाई 11 सेमी के बराबर हो।

पिछले उदाहरणों से, हमारे पास वह है A_ली = 198 सेमी² और यह_ख = 27√3 सेमी². इसलिए, कुल क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है:

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - एक शेड एक प्रिज्म के आकार का होता है जो एक ट्रेपेज़ पर आधारित होता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

आप इस शेड को रंगना चाहते हैं और यह ज्ञात है कि पेंट की कीमत 20 रीस प्रति वर्ग मीटर है। इस शेड को पेंट करने में कितना खर्च आएगा? (दिया गया है: √2 = 1.4)

समाधान

प्रारंभ में, आइए शेड के क्षेत्र का निर्धारण करें। इसका आधार एक समलम्ब है, इसलिए:

इसलिए, आधार क्षेत्र है:

_ख = 2 ·ए_{ट्रापेज़}

_ख = 2 ·10

_ख = 20 वर्ग मीटर²

लाल रंग में पार्श्व क्षेत्र एक आयत है, और हमारे पास नीचे है, इसलिए यह क्षेत्र है:

_वी = 2 · 4· 14

_वी= 112 वर्ग मीटर²

नीले रंग का क्षेत्र भी एक आयत है, लेकिन हमारे पास इसका आधार नहीं है। का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय समलम्ब चतुर्भुज द्वारा गठित त्रिभुज में, हमारे पास है:

एक्स² = 2² + 2²

एक्स² = 8

एक्स = 2√2

तो नीले रंग में आयत क्षेत्र है:

= 2 ·14·2√2

= 54√2 वर्ग मीटर²

इसलिए, प्रिज्म का पार्श्व क्षेत्र बराबर है:

_ली = 112 + 54√2

_ली = 112 + 75,6

_ली = १८७.६ एम²

और इसलिए इस प्रिज्म का कुल क्षेत्रफल है:

_टी= 20 + 187,6

_टी= 207.6 वर्ग मीटर²

चूंकि पेंट की कीमत 20 रीसिस प्रति वर्ग मीटर है, शेड को पेंट करने के लिए खर्च की गई राशि है:

२० ·२०७.६ = ४,१५२ पुनश्च

जवाब दे दो: शेड को पेंट करने के लिए खर्च की गई राशि R$ 4,152.00. है

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक