परिमेय संख्याएँ: वे क्या हैं, गुण, उदाहरण

इसे ए के रूप में जाना जाता है परिमेय संख्या हर संख्या जो एक अपरिवर्तनीय अंश के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है. पूरे मानव इतिहास में, संख्या का विचार धीरे-धीरे मानवीय आवश्यकताओं के अनुसार विकसित हुआ है। अंशों में संख्याओं का प्रतिनिधित्व, उदाहरण के लिए, हल की गई समस्याओं को हल किया गया था पूर्ण संख्या.

एक परिमेय संख्या को भिन्न से निरूपित किया जा सकता है, इसलिए पूर्ण संख्याओं को बदलने की विधियाँ हैं, दशमलव संख्याएं भिन्नों में सटीक और आवधिक दशमलव।

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परिमेय संख्याएँ क्या हैं?

परिमेय संख्याएं हैं पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का विस्तार, फिर, पूर्ण संख्याओं के अतिरिक्त, जोड़ दिए गए सभी अंश। हे सेट परिमेय संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है:

यह निरूपण क्या कहता है कि एक संख्या परिमेय होती है यदि इसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है के बारे में ख, ऐसा है कि एक पूर्णांक है और ख एक शून्येतर पूर्णांक है। लेकिन अगर हमें परिमेय संख्याओं को कम सख्ती से परिभाषित करना है, तो हम निम्नलिखित कह सकते हैं:

परिमेय संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस परिभाषा को पूरा करें:

• आप पूर्णांकोंएस, उदाहरण के लिए: -10, 7, 0;

• आप सटीक दशमलव संख्या, उदाहरण के लिए: 1.25; 0,1; 3,1415;

• पर सरल आवधिक दशमांश, उदाहरण के लिए: १.४२४२४२…;

• पर यौगिक आवधिक दशमांश, उदाहरण के लिए: 1.0288888…

नहीं न परिमेय संख्याएँ हैं:

• पर गैर-आवधिक दशमांश, उदाहरण के लिए: 4,1239489201…;

• पर जड़ोंसटीक नहीं, उदाहरण के लिए: ;

• मेढकमैंजेड का वर्ग ऋणात्मक संख्या, उदाहरण के लिए: .

अवलोकन: गैर-परिमेय संख्याओं के अस्तित्व के कारण अन्य सेट उभर कर आते हैं, जैसे अपरिमेय संख्याएँ और जटिल आंकड़े.

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परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व

यह समझना कि भिन्न a. है विभाजन दो पूर्ण संख्याओं का एक परिमेय संख्या होना, आप इस संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं. इसलिए, ऊपर वर्णित प्रत्येक स्थिति को परिमेय संख्याओं (पूर्ण संख्या, सटीक दशमलव और आवधिक दशमलव) के रूप में भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

• पूर्णांकों

एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करने की अनंत संभावनाएं हैं, क्योंकि भिन्न को इरेड्यूसबल रूप में दर्शाया जा सकता है या नहीं।

उदाहरण:

• सटीक दशमलव

एक सटीक दशमलव संख्या को a. में बदलने के लिए अंश, हम उसके दशमलव भाग में संख्याओं की संख्या गिनते हैं, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद। यदि अल्पविराम के बाद कोई संख्या है, तो हम 10 से अधिक अल्पविराम के बिना पूर्णांक भाग प्लस दशमलव भाग लिखेंगे। यदि दशमलव भाग में 100 से अधिक दो संख्याएँ हैं, तो व्यवहार में, दशमलव भाग में संख्याओं की मात्रा हमारे पास हर में मौजूद शून्यों की मात्रा होगी। उदाहरण देखें:

• आवधिक दशमांश

दशमांश का भिन्नात्मक निरूपण खोजना हमेशा आसान काम नहीं होता, जिसे हम कहते हैं भिन्न उत्पन्न करना. इस कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए, यह देखा गया कि जिस समीकरण में हम जनक अंश ज्ञात करते थे, उसमें नियमितताएँ होती हैं, जो एक व्यावहारिक विधि के विकास की अनुमति देती हैं।

सबसे पहले, हमें यह समझने की जरूरत है कि आवधिक दशमांश दो प्रकार के होते हैं, सरल और यौगिक। एक दशमांश सरल है यदि इसके दशमलव भाग में केवल वही भाग है जिसकी पुनरावृत्ति होती है, अर्थात् आवर्त। एक दशमांश यौगिक है यदि, इसके दशमलव भाग में, एक गैर-आवधिक भाग है।

उदाहरण:

९,३२३२३२… → साधारण आवर्त दशमलव
पूर्णांक भाग 9 के बराबर होता है।
अवधि 32 के बराबर है।

8,7१५१५१५… → यौगिक आवधिक दशमांश
पूर्णांक भाग 8 के बराबर होता है।
गैर-आवधिक दशमलव भाग बराबर है 7.
अवधि 15 के बराबर है।

यह भी देखें: समतुल्य भिन्न - भिन्न जो समान राशि का प्रतिनिधित्व करते हैं

→ पहला मामला: एक साधारण आवधिक दशमलव का अंश उत्पन्न करना

पहले मामले में, to एक साधारण आवधिक दशमलव को भिन्न में बदलें व्यावहारिक विधि से, अंश में अल्पविराम के बिना केवल पूरा भाग और अवधि लिखें। हर में, आवर्त भाग में प्रत्येक तत्व के लिए, हम एक 9 जोड़ते हैं।

उदाहरण:

९.३२३२३२… का जनक अंश, जैसा कि हमने देखा है, उसका आवर्त ३२ के बराबर है, यानी उसके आवर्त में दो अंक हैं, इसलिए हर 99 है। अल्पविराम के बिना पूर्णांक भाग प्लस आवधिक भाग 932 है, जो अंश है। तो, इस दशमांश का जनक अंश है:

→ दूसरा मामला: एक समग्र आवधिक दशमलव का अंश उत्पन्न करना

आवधिक समग्र दशमांश थोड़ा अधिक श्रमसाध्य है। आइए उदाहरण में हमने जिस दशमांश पर काम किया, उसका जनक अंश ज्ञात करें।

8,7१५१५१५… → यौगिक आवर्त दशमलव।

पूर्णांक भाग 8 के बराबर होता है।

गैर-आवधिक दशमलव भाग बराबर है 7.

अवधि का दशमलव भाग 15 के बराबर है।

अंश होगा घटाव ८७१५-८७, अर्थात् दशमांश के न दोहराए जाने वाले भाग के साथ पूरे भाग से आवर्त भाग में जाने वाली संख्या का अंतर।

अंश 8715 - 87 = 8628 के बराबर होगा।

हर को खोजने के लिए, आइए दशमलव भाग का विश्लेषण करें। आइए पहले गैर-आवधिक और आवधिक दशमलव भाग को देखें। इस स्थिति में, संख्या का दशमलव भाग है 715. प्रत्येक संख्या के लिए जो आवर्त भाग में है, आइए a. जोड़ें 9 भाजक की शुरुआत में। चूँकि इस स्थिति में आवर्त भाग में दो संख्याएँ (15) हैं, हर में दो 9 होंगे। दशमलव भाग में प्रत्येक संख्या के लिए जो आवर्त नहीं है, हम जोड़ देंगे a 0 हर के अंत में, जो होगा 990.

जल्द ही, भिन्न उत्पन्न करना दशमांश का होगा:

परिमेय संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के गुण

• दो परिमेय संख्याओं के बीच हमेशा एक और परिमेय संख्या होगी

इस संपत्ति के बारे में सोचना दिलचस्प है, जिसकी प्राचीन लोगों द्वारा बहुत चर्चा की गई थी, एक विरोधाभास बन गया। दो परिमेय संख्याओं को चुनने पर उनके बीच हमेशा एक संख्या होगी।

उदाहरण:

१ और २ के बीच १.५ है; १ और १.५ के बीच, १.२५ है; १ और १.२५ के बीच १.१२५ वगैरह है। मैं दो परिमेय संख्याओं के बीच बहुत कम अंतर के साथ जितना अधिक चुनता हूं, उनके बीच एक परिमेय संख्या खोजना हमेशा संभव होता है। यह संपत्ति बनाता है परिमेय संख्याओं में उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती को परिभाषित करना असंभव है.

• परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर चार संक्रियाएँ बंद हैं

हम कहते हैं कि सेट के लिए बंद है योग, उदाहरण के लिए, यदि दो परिमेय संख्याओं का योग हमेशा उत्तर के रूप में एक और परिमेय संख्या उत्पन्न करता है। Q पर चार संक्रियाओं के साथ यही होता है।

जोड़, घटाव, भाग और गुणा दो परिमेय संख्याओं के बीच हमेशा एक परिमेय संख्या होगी। वास्तव में, यहां तक ​​कि क्षमता एक परिमेय संख्या हमेशा उत्तर के रूप में एक परिमेय संख्या उत्पन्न करेगी।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय के लिए बंद नहीं है विकिरण. इस प्रकार, मचूँकि 2 एक परिमेय संख्या है, 2 का वर्गमूल एक है अपरिमेय संख्या.

यह भी देखें: समतुल्य भिन्न - भिन्न जो समान राशि का प्रतिनिधित्व करते हैं

परिमेय संख्याओं के उपसमुच्चय

हम जानते हैं कैसे सबसेट या समावेशन उन तत्वों द्वारा गठित समुच्चय से संबंध रखता है जो परिमेय संख्याओं के समूह से संबंधित हैं। कई संभावित उपसमुच्चय हैं, पूर्ण संख्याओं के समुच्चय के रूप में या प्राकृतिक, क्योंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या परिमेय होती है, जिस प्रकार प्रत्येक प्राकृत संख्या परिमेय होती है।

पूर्णांक और प्राकृत संख्याओं के समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय में समाहित होते हैं।

उदाहरण:

पूर्णांकों का समुच्चय: Z= {…-3, -2, -1, 0.1, 2, 3, …}।

जब ऐसा होता है तो हम कहते हैं कि जेड क्यू (इसमें लिखा है: Z, Q में समाहित है या पूर्ण संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय में समाहित है।)

कुछ प्रतीक हैं जो Q के उपसमुच्चय बनाने के लिए आवश्यक हैं, वे हैं: +, - और *, जिसका अर्थ है, क्रमशः, सकारात्मक, नकारात्मक और गैर-शून्य।

उदाहरण:

Q* → (पढ़ें: गैर-शून्य परिमेय संख्याओं का समूह।)

क्यू₊ → (पढ़ता है: सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं का सेट।)

क्यू_- → (पढ़ें: ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय।)

क्यू^*₊ → (पढ़ें: सकारात्मक और गैर-शून्य परिमेय संख्याओं का सेट।)

क्यू^*_- → (पढ़ें: ऋणात्मक और गैर-शून्य परिमेय संख्याओं का समूह।)

ध्यान दें कि ये सभी समुच्चय Q के उपसमुच्चय हैं, क्योंकि सभी अवयव परिमेय संख्याओं के समुच्चय के हैं। प्रस्तुत समुच्चयों के अतिरिक्त, हम Q में अनेक उपसमुच्चयों के साथ कार्य कर सकते हैं, जैसे विषम संख्याओं द्वारा निर्मित समुच्चय, या चचेरे भाई बहिन, या जोड़े, अंत में, उपसमुच्चय की कई और कई संभावनाएं हैं।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक