पिरामिड वे ज्यामितीय आंकड़े हैं जो अक्सर दिखाई देते हैं, खासकर वास्तुकला में। पिरामिड हैं ज्यामितीय ठोस a. के आधार पर अंतरिक्ष में निर्मित बहुभुज विमान में और उस विमान के बाहर एक बिंदु। चूंकि यह एक त्रि-आयामी आकृति है, इसकी मात्रा की गणना करना संभव है, इसके अलावा, हम इसकी योजना बना सकते हैं और इस प्रकार इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
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पिरामिड क्या है?
एक पर विचार करें बहुभुज के साथवीएक्सो एक विमान और एक एच बिंदु में निहित है जो विमान से संबंधित नहीं है। हम परिभाषित करते हैं पिरामिड बिंदु H पर उत्तल बहुभुज के सभी शीर्षों के मिलन के रूप में।
एक पिरामिड के तत्व
नीचे दिए गए पिरामिड पर विचार करें।
• पिरामिड का आधार: एबीसीडीईएफ बहुभुज।
• पिरामिड शीर्ष: बिंदु एच.
• पार्श्व चेहरे: एएचबी, बीएचसी, सीएचडी, डीएचई, ईएचएफ और एफएचए, जो हैं त्रिभुज बहुभुज के शीर्षों के साथ पिरामिड के शीर्ष के मिलन से बनता है।
• आधार किनारों: AB, BC, CD, DE, EF और FA, जो आधार की भुजाएँ हैं।
• पार्श्व किनारे: AH, BH, CH, DH, EH और FH, जो पार्श्व फलकों के खंड हैं।
• पिरामिड की ऊंचाई: h, जो पिरामिड के शीर्ष और आधार के बीच की दूरी है।
आइए कुछ तत्वों के लिए संकेतन स्थापित करें:
• ए आधार क्षेत्र A. द्वारा निरूपित किया जाएगाबी
• का क्षेत्रफल एक साइड फेस A. द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाएगाएफ.
• चेहरे के क्षेत्रों के योग को कहा जाता है पार्श्व क्षेत्र, और यह A. द्वारा निरूपित किया जाता हैली.
इस प्रकार, पिरामिड का कुल क्षेत्रफल आधार क्षेत्रफल (A .) के योग द्वारा दिया जाता हैख) पार्श्व क्षेत्र के साथ (Aली) और A. द्वारा निरूपित किया जाता हैटी, अर्थात:
टी = एख + एली
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पिरामिड के प्रकार
उसी तरह हम का नाम लेते हैं प्रिज्म आधार बहुभुज के अनुसार, हम इस विचार के बाद पिरामिडों को भी नाम देते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी पिरामिड में a. है त्रिकोण, उसे बुलाया गया है त्रिकोणीय आधार पिरामिड, अब, यदि एक पिरामिड a. पर आधारित है चतुष्कोष, कहा जाता है चतुर्भुज आधार पिरामिड, और इसी तरह।
पिरामिड भी दो समूहों में विभाजित हैं: सीधे और तिरछे। पर पिरामिडसीधे तथाकथित तब कहा जाता है जब का प्रक्षेपण शीर्ष आधार के केंद्र के साथ मेल खाता है, अन्यथा उन्हें तिरछा कहा जाता है। नीचे दिए गए उदाहरण देखें:
यदि एक सीधे पिरामिड में आधार एक नियमित बहुभुज है, तो पिरामिड होगा नियमित। इस प्रकार में, शीर्ष से आधार के केंद्र तक की दूरी पिरामिड की ऊंचाई है।
पिरामिड के शीर्ष को आधार के एक किनारे के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला खंड कहलाता है a पिरामिड का एपोथेमाइस मामले में जी.आई. वह खंड जो आधार के केंद्र को आधार के एक किनारे के मध्य बिंदु से जोड़ता है, कहलाता है आधार का एपोथेमा, इस मामले में HI.
त्रिभुज GHI और GHF पर ध्यान दें और ध्यान दें कि वे हैं समकोण त्रिभुज, इसलिए, इसमें पाइथागोरस प्रमेय इसकी वैध। इस प्रकार:
(जीआई)2 = (जीएच)2 + (एचआई)2
(जीएफ)2 = (जीएच)2 + (एचएफ)2
पिरामिड क्षेत्र
पिरामिड क्षेत्र पार्श्व क्षेत्रों और आधार क्षेत्र के योग द्वारा दिया जाता है, अर्थात्:
टी = एख + एली
एक विशिष्ट सूत्र की गैर-मौजूदगी इस तथ्य के कारण है कि पिरामिड के अलग-अलग आधार हैं। पिछली अभिव्यक्ति में, ध्यान दें कि कुल क्षेत्रफल Aटी आधार क्षेत्र मूल्य पर निर्भर करता है। कुछ उदाहरण देखें।
• उदाहरण
एक सीधे पिरामिड के कुल क्षेत्रफल की गणना करें, जिसका आधार एक वर्ग है जिसकी भुजा 10 मीटर है और एक पार्श्व फलक की ऊंचाई 13 मीटर के बराबर है।
समाधान
प्रारंभ में हम व्यायाम डेटा के अनुसार पिरामिड बनाएंगे।
ध्यान दें कि हम त्रिभुज क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके दिए गए डेटा के साथ चेहरे के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं।
चूँकि हमारे चार फलक हैं, पार्श्व क्षेत्रफल 65 · 4 = 260 m. के बराबर है2.
अब, हमें आधार के क्षेत्रफल की गणना करनी चाहिए जो एक वर्ग है, इसलिए:
इसलिए, पिरामिड क्षेत्र पार्श्व क्षेत्र और आधार क्षेत्र का योग है।
टी = एख + एली
टी = 100+ 260
टी = 360 वर्ग मीटर2
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पिरामिड का आयतन
ऊँचाई h के एक पिरामिड पर विचार कीजिए।
पिरामिड का आयतन आधार क्षेत्र (A .) के गुणनफल के तीसरे भाग द्वारा दिया जाता हैख) और ऊंचाई (एच):
• उदाहरण
(एनेम) अर्तुर और बर्नार्डो डेरा डाले हुए थे और प्रत्येक ने एक तम्बू लिया। दोनों एक वर्गाकार आधार के साथ एक पिरामिड के आकार के हैं, जिसके किनारे सर्वांगसम हैं। बर्नार्डो का तम्बू आर्थर की तुलना में ऊंचाई और पार्श्व किनारों में 10% अधिक है। इस प्रकार, बर्नार्डो और आर्थर के तंबू की मात्रा के बीच का अनुपात, उस क्रम में है:
द) 1,1
बी) 1,21
सी) 1,331
घ) 1,4641
तथा) 1,5
समाधान
प्रारंभ में, हम आर्थर के तम्बू के आयतन की गणना करेंगे, जिसे यहाँ V द्वारा दर्शाया गया हैद. चूँकि पिरामिड का आधार एक वर्ग है, इसका क्षेत्रफल वर्ग भुजा का माप है, आइए इसे L से निरूपित करते हैं2.
अब आइए बर्नार्डो के तंबू का आयतन ज्ञात करें, जिसे V. द्वारा दर्शाया गया हैबी सबसे पहले, ध्यान दें कि आर्थर के तम्बू की तुलना में ऊंचाई और किनारे 10% अधिक हैं, इसलिए हमें यह करना होगा:
एचख = एच + १०% एच
एचख = एच + 0.1 · एच
एचख = १.१ · एच
इसी तरह आधार क्षेत्र के लिए:
ख = (1,1)2 · ली2
इसलिए, बर्नार्डो का तम्बू क्षेत्र है:
जैसा कि अभ्यास का उद्देश्य बर्नार्डो और आर्थर के तंबू की मात्रा के बीच अनुपात का पता लगाना है, हमें यह करना होगा:
महसूस करें कि हम अंश L. को "काट" सकते हैं2 3 से अधिक h, क्योंकि यह समान संख्या को दर्शाता है।
वैकल्पिक सी
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
