सरल संयोजन में अध्ययन किए गए समूहों में से एक है संयुक्त विश्लेषण. हम संयोजन के रूप में know की गिनती जानते हैं के सभी उपसमुच्चय क ऐसे तत्व जिन्हें हम के समुच्चय से बना सकते हैं नहीं न तत्वों.
उन स्थितियों को देखना काफी सामान्य है जहां हम संयोजन का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, सभी परिणामों की गणना करने के लिए लॉटरी खेलों या पोकर खेलों में, और अन्य स्थितियों में संभव है, जैसे कि संभाव्यता के अध्ययन में और आँकड़ा
एक और बहुत ही सामान्य समूह व्यवस्था है। संयोजन से व्यवस्था में जो अंतर है वह यह है कि व्यवस्था में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है, और संयोजन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, हम संयोजन की तुलना उपसमुच्चय की पसंद से करते हैं।
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सरल संयोजन क्या है?
संयोजक विश्लेषण में, संभावित समूहों की संख्या का अध्ययन किया जाता है। इन समूहों के बीच, सरल संयोजन के रूप में जाना जाता है। सरल संयोजन से ज्यादा कुछ नहीं है के साथ सभी सबसेट की गिनती क किसी दिए गए सेट के तत्व, उदाहरण के लिए: मेगासेना, जिसमें 6 संख्याएं यादृच्छिक रूप से खींची जाती हैं।
इस मामले में, आप देख सकते हैं कि जिस क्रम में इन 6 नंबरों को चुना गया था, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता, यानी, आदेश कोई फर्क नहीं पड़ता, जो इस परिणाम को एक सबसेट बनाता है। यह विशेषता यह समझने के लिए मौलिक है कि संयोजन क्या है और इसे अन्य समूहों से अलग करने के लिए - संयोजन में, सेट के तत्वों का क्रम मायने नहीं रखता।
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सरल संयोजन सूत्र
संयोजन से जुड़ी समस्याओं की गणना एक सूत्र द्वारा की जाती है। का संयोजन नहीं न taken से लिए गए तत्व क में क é:
n → सेट में कुल तत्व
k → सबसेट में कुल तत्व
यह भी देखें: योगात्मक गणना सिद्धांत - दो या दो से अधिक समुच्चयों के तत्वों का मिलन
संयोजन की गणना कैसे करें?
पहली जगह में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि समस्या कब एक संयोजन है. उदाहरण के लिए, के सभी संभावित संयोजन खोजें सेट {ए, बी, सी, डी} दो तत्वों के साथ:
दो तत्वों के साथ सूची संयोजन, वे हैं: {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, डी}, {बी, सी}, {बी, डी} और {सी, डी}। इस मामले में, यह देखना संभव है कि 6 संभावित संयोजन हैं, और यह भी ध्यान देने योग्य है कि उपसमुच्चय {ए, बी} और {बी, ए} बराबर हैं, क्योंकि संयोजन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं है .
यह पता चला है कि सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करना हमेशा संभव नहीं होता है या यहां तक कि यह आवश्यक नहीं है, जैसे सबसे बड़ी दिलचस्पी संयोजनों की संख्या में है और उनमें से प्रत्येक की सूची में नहीं। इसके लिए सूत्र का उपयोग करना बहुत ही व्यावहारिक है।
उदाहरण:
गणित ओलम्पिक में शीर्ष 10 में से प्रत्येक छात्र के लिए एक स्कूल तीन टिकट लेगा। परीक्षण पूरा करने और शीर्ष 10 स्थानों को जानने के बाद, ड्रा परिणाम के लिए संभावित संयोजनों की गणना करें।
ध्यान दें कि, ड्रॉ के परिणाम में, क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए हम एक संयोजन समस्या के साथ काम कर रहे हैं।
फिर हम 3 में से 3 से लिए गए 10 तत्वों के संयोजन की गणना करेंगे। सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह करना होगा:
अब आइए भाज्यों का सरलीकरण करें। इस बिंदु पर, की गणना में महारत हासिल करना आवश्यक है कारख़ाने का एक संख्या का। 10 की तरह! हर में किसी भी भाज्य से बड़ा है, और, हर को देखते हुए, 7! सबसे बड़ा है, आइए इसके पूर्ववर्तियों द्वारा ७ तक पहुंचने तक १० का गुणन करते हैं!, ताकि इसे सरल बनाना संभव हो सके।
पास्कल का त्रिभुज
संयोजन विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले उपकरणों में से एक, मुख्य रूप से गणना करने के लिए a न्यूटन का द्विपद, पास्कल का त्रिभुज है। यह त्रिभुज है संयोजनों के परिणामों से निर्मित, दो संख्याओं के संयोजन को निरूपित करने का दूसरा तरीका इस प्रकार है:
पास्कल का त्रिभुज 0 से 0 तक लिए गए 0 तत्वों को मिलाकर पंक्ति 0 और स्तंभ 0 से शुरू होता है। पंक्तियाँ वैसी ही हैं नहीं न, और कॉलम के बराबर क, निम्नलिखित आकृति का निर्माण:
संयोजनों से उत्पन्न होने वाले मानों को प्रतिस्थापित करना:
पास्कल त्रिभुज की पंक्तियों और स्तंभों के माध्यम से, हम अपने इच्छित संयोजन का मान ज्ञात कर सकते हैं। यदि आवश्यक हो, तो हम जितनी आवश्यकता हो उतनी पंक्तियों की शर्तें पा सकते हैं। इस समाधान विधि के बारे में अधिक जानने के लिए, पाठ पढ़ें: पास्कल का त्रिभुज.
व्यवस्था और संयोजन के बीच अंतर
संयोजन और संयोजन दो समान रूप से महत्वपूर्ण समूह हैं जिनका अध्ययन संयोजन विश्लेषण में किया जाता है। इन समूहों में से प्रत्येक के बीच के अंतर को जानना आवश्यक है, अर्थात यदि हम उनकी गणना a. द्वारा करने जा रहे हैं व्यवस्था या एक मेल.
यह पता चला है कि में मेल, समूहों को इकट्ठा करते समय, सेट के तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।, वह है {ए, बी} = {बी, ए}, लेकिन ऐसे मामले हैं जहां समूहीकरण में आदेश महत्वपूर्ण है, इस मामले में हम एक सरणी के साथ काम कर रहे हैं।
पर व्यवस्था, तब फिर, तत्वों का क्रम अलग है, अर्थात्, {ए, बी} ≠ {बी, ए}, एक बहुत ही सामान्य व्यवस्था का एक उदाहरण यह गणना करना होगा कि हम 10 लोगों के बीच किसी प्रतियोगिता का पोडियम कितने अलग-अलग तरीकों से बना सकते हैं। ध्यान दें कि इस उदाहरण में, आदेश महत्वपूर्ण है, जो इसे व्यवस्था सूत्र द्वारा हल करने योग्य बनाता है। सैद्धांतिक परिभाषा के अलावा, सूत्र भिन्न होते हैं, और व्यवस्था सूत्र é:
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (एनेम) एक शौकिया सॉकर टूर्नामेंट के लिए बारह टीमों ने साइन अप किया। टूर्नामेंट का उद्घाटन खेल इस प्रकार चुना गया था: पहले, ग्रुप ए बनाने के लिए 4 टीमों को तैयार किया गया था। फिर, ग्रुप ए में टीमों के बीच, टूर्नामेंट के शुरुआती गेम को खेलने के लिए 2 टीमों को तैयार किया गया, जिनमें से पहली अपने क्षेत्र में खेलेगी, और दूसरी मेहमान टीम होगी। ग्रुप ए के लिए संभावित पिक्स की कुल संख्या और शुरुआती गेम में टीमों के लिए पिक्स की कुल संख्या का उपयोग करके गणना की जा सकती है
ए) क्रमशः एक संयोजन और एक व्यवस्था।
बी) क्रमशः एक व्यवस्था और एक संयोजन।
सी) क्रमशः एक व्यवस्था और एक क्रमपरिवर्तन।
डी) दो संयोजन।
ई) दो व्यवस्था।
संकल्प
वैकल्पिक ए
व्यवस्था और संयोजन में अंतर करने के लिए, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि समूह में आदेश मायने रखता है या नहीं। ध्यान दें कि, पहले ग्रुपिंग में, ऑर्डर अप्रासंगिक है, क्योंकि ग्रुप ए का गठन ऑर्डर से स्वतंत्र रूप से खींची गई 4 टीमों द्वारा किया जाता है, यानी, पहले, एक संयोजन होता है।
दूसरे समूह का विश्लेषण करते हुए, यह देखना संभव है कि इसमें क्रम मायने रखता है, क्योंकि तैयार की जाने वाली पहली टीम के पास फील्ड कमांड होगी, जो इस समूह को एक व्यवस्था बनाती है।
इस प्रकार, आदेश एक संयोजन और एक व्यवस्था है।
प्रश्न 2 - 7 वयस्कों से बना एक परिवार, अपनी यात्रा का कार्यक्रम तय करने के बाद, एक एयरलाइन की वेबसाइट से परामर्श किया और पाया कि चुनी गई तारीख के लिए उड़ान लगभग भरी हुई थी। वेबसाइट पर उपलब्ध आंकड़े में, कब्जे वाली सीटों को एक्स के साथ चिह्नित किया गया है और केवल उपलब्ध सीटें सफेद रंग में हैं।
इस उड़ान में परिवार को समायोजित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या की गणना निम्न द्वारा की जाती है:
संकल्प
वैकल्पिक बी. स्थिति का विश्लेषण करते समय, ध्यान दें कि आदेश, यानी परिवार का कौन सा सदस्य किस कुर्सी पर बैठेगा, प्रासंगिक नहीं है। क्या मायने रखता है परिवार द्वारा चुनी गई 7 आर्मचेयर। इसलिए हम एक संयोजन के साथ काम कर रहे हैं। 9 सीटें मुफ्त हैं, और 7 का चयन किया जाएगा। तो चलिए 9 से 7 के संयोजन की गणना करते हैं। सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह करना होगा:
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
