जटिल संख्याएँ क्या हैं?

१६वीं शताब्दी के मध्य तक, x. जैसे समीकरण² - 6x + 10 = 0 को केवल "कोई समाधान नहीं" माना जाता था। ऐसा इसलिए था, क्योंकि भास्कर के सूत्र के अनुसार, इस समीकरण को हल करने पर जो परिणाम मिलेगा वह होगा:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

एक्स = –(– 6) ± √– 4
2·1

एक्स = 6 ± √– 4
2

समस्या √–4 में पाई गई, जिसका वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में कोई हल नहीं है, अर्थात नहीं एक वास्तविक संख्या है जिसे स्वयं से गुणा करने पर √– 4 प्राप्त होता है, क्योंकि 2·2 = 4 और (-2)(-2) = 4.

1572 में, राफेल बॉम्बेली समीकरण x. को हल करने में व्यस्त था³ - 15x - 4 = 0 कार्डानो के सूत्र का उपयोग करते हुए। इस सूत्र के माध्यम से, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि इस समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं, क्योंकि यह -121 की गणना करने के लिए आवश्यक हो जाता है। हालांकि, कुछ प्रयासों के बाद, यह पाया जा सकता है कि 4³ - १५·४ - ४ = ० और इसलिए कि x = ४ इस समीकरण का मूल है।

कार्डानो के सूत्र द्वारा व्यक्त नहीं की गई वास्तविक जड़ों के अस्तित्व को ध्यान में रखते हुए, बॉम्बेली के पास यह मानने का विचार था कि √–121 का परिणाम √(– 11·11) = 11·√– 1 होगा और यह समीकरण के लिए एक "असत्य" मूल हो सकता है अध्ययन किया। इस प्रकार, -121 एक नए प्रकार की संख्या का भाग होगा जो इस समीकरण के अन्य निराधार मूल बनाती है। तो समीकरण x

³ - 15x - 4 = 0, जिसके तीन मूल हैं, का वास्तविक मूल x = 4 होगा और इस नए प्रकार की संख्या से संबंधित दो अन्य मूल होंगे।

१८वीं शताब्दी के अंत में गॉस ने इन संख्याओं का नाम इस प्रकार रखा जटिल आंकड़े। उस समय, सम्मिश्र संख्याएँ पहले से ही रूप ले रही थीं ए + द्वि, साथ से मैं = -1। इसके अलावा, तथा ख उन्हें पहले से ही एक कार्टेशियन विमान के बिंदु माना जाता था, जिसे अरगंड-गॉस विमान के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्या Z = a + bi का ज्यामितीय निरूपण कार्तीय तल का एक बिंदु P (a, b) था।

इसलिए, अभिव्यक्ति "जटिल आंकड़े"संख्यात्मक सेट के संदर्भ में इस्तेमाल किया जाने लगा जिसके प्रतिनिधि हैं: Z = a + bi, i = – 1 के साथ और with तथा ख वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित. इस प्रतिनिधित्व को कहा जाता है सम्मिश्र संख्या Z. का बीजीय रूप.

चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ दो वास्तविक संख्याओं से बनती हैं और उनमें से एक को से गुणा किया जाता है √– 1, इन वास्तविक संख्याओं को एक विशेष नाम दिया गया है। सम्मिश्र संख्या Z = a + bi को ध्यान में रखते हुए, a "Z का वास्तविक भाग" है और b "Z का काल्पनिक भाग" है।. गणितीय रूप से, हम क्रमशः लिख सकते हैं: रे (जेड) = ए और इम (जेड) = बी।

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक का विचार वास्तविक संख्या के मापांक के विचार के अनुरूप क्रिस्टलीकृत होता है। बिंदु P(a, b) को जटिल संख्या Z = a + bi के ज्यामितीय निरूपण के रूप में मानते हुए, बिंदु P और बिंदु (0,0) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:

|जेड| = √(द² + बी²)

सम्मिश्र संख्याओं को निरूपित करने का दूसरा तरीका है ध्रुवीय या त्रिकोणमितीय रूप। यह प्रपत्र अपने संविधान में एक सम्मिश्र संख्या के मापांक का उपयोग करता है। सम्मिश्र संख्या Z, बीजगणितीय रूप से Z = a + bi, को ध्रुवीय रूप से निरूपित किया जा सकता है:

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कार्टेशियन विमान को दो ऑर्थोगोनल लाइनों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिन्हें x और y अक्ष के रूप में जाना जाता है। हम जानते हैं कि वास्तविक संख्याओं को एक रेखा द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जिस पर सभी परिमेय संख्याएँ रखी जाती हैं। शेष रिक्त स्थान अपरिमेय संख्याओं से भरे हुए हैं। जबकि वास्तविक संख्याएं सभी रेखा पर होती हैं जिन्हें के रूप में जाना जाता है एक्स अक्ष कार्तीय तल से, उस तल के अन्य सभी बिंदु सम्मिश्र संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच का अंतर होंगे। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में समाहित होता है।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm