केप्लर के नियम: परिचय और हल किए गए व्यायाम

केप्लर के नियम जर्मन खगोलशास्त्री और गणितज्ञ द्वारा १६०९ और १६१९ के बीच ग्रहों की गति पर विकसित किए गए थे जोहान्स केप्लर. केप्लर के तीन नियम, का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है कक्षाओं के ग्रहों की सौर परिवार, डेनिश खगोलशास्त्री द्वारा प्राप्त सटीक खगोलीय माप के आधार पर बनाए गए थे। टाइको ब्राहे।

केप्लर के नियमों का परिचय

द्वारा छोड़ा गया योगदान निकोलस कोपरनिकस के क्षेत्र में खगोल दृष्टि के साथ टूट गया भूकेंद्रवादी ब्रह्मांड के, के ग्रहीय मॉडल से व्युत्पन्न क्लाउडियो टॉलेमी. कोपरनिकस द्वारा सुझाए गए मॉडल, हालांकि जटिल, ने अनुमति दी पूर्वानुमान और यह व्याख्या कई ग्रहों की कक्षाओं में, हालांकि, इसमें कुछ खामियां थीं, जिनमें से सबसे नाटकीय वर्ष की कुछ अवधि के दौरान मंगल की वक्री कक्षा के लिए एक संतोषजनक स्पष्टीकरण था।

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कोपर्निकस के ग्रहीय मॉडल द्वारा अकथनीय समस्याओं का समाधान 17वीं शताब्दी में किसके हाथों हुआ था? जोहान्स केप्लर। इसके लिए, केप्लर ने स्वीकार किया कि ग्रहों की कक्षाएँ पूरी तरह से गोलाकार नहीं थीं, बल्कि but दीर्घ वृत्ताकार. ब्राहे द्वारा किए गए अत्यंत सटीक खगोलीय डेटा के कब्जे में, केप्लर ने दो कानूनों की स्थापना की जो ग्रहों की गति को नियंत्रित करते हैं, 10 साल बाद, इसने एक तीसरा नियम प्रकाशित किया, जो परिक्रमा अवधि या यहां तक ​​कि परिक्रमा करने वाले ग्रहों की कक्षा त्रिज्या का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। का

रवि.

केप्लर के नियमों के माध्यम से ग्रहों की कक्षाओं के आकार का निर्धारण करना संभव है

केप्लर के नियम

ग्रहों की गति के केप्लर के नियम कहलाते हैं: अण्डाकार कक्षाओं का नियम,क्षेत्रों के कानून और अवधि के कानून। ये सभी मिलकर बताते हैं कि किसी बड़े तारे की परिक्रमा करने वाले किसी पिंड की गति कैसे काम करती है, जैसे ग्रहों या सितारे. आइए देखें कि केप्लर के नियमों में क्या कहा गया है:

केप्लर का पहला नियम: कक्षाओं का नियम

केप्लर का प्रथम नियम बताता है कि सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रहों की कक्षा गोलाकार नहीं बल्कि अण्डाकार है। इसके अलावा, सूर्य हमेशा इस दीर्घवृत्त के फोकस में से एक पर कब्जा करता है। हालांकि अण्डाकार, कुछ कक्षाएँ, जैसे पृथ्वी की, हैं एक सर्कल के बहुत करीब close, क्योंकि वे दीर्घवृत्त हैं जिनमें a. है सनकबहुतथोड़ा। उत्केंद्रता, बदले में, वह माप है जो दर्शाता है कि एक ज्यामितीय आकृति a. से कितनी भिन्न है वृत्त और इसकी गणना दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों के बीच संबंध द्वारा की जा सकती है।

"ग्रहों की कक्षा एक अंडाकार है जिसमें सूर्य फोकस में से एक पर कब्जा कर लेता है।"

आंकड़ा (पैमाने पर नहीं) दर्शाता है कि पृथ्वी की कक्षा अंडाकार है और सूर्य फोकस में से एक पर है।

केप्लर का दूसरा नियम: क्षेत्रों का नियम

केप्लर का दूसरा नियम कहता है कि सूर्य को उसकी परिक्रमा करने वाले ग्रहों से जोड़ने वाली काल्पनिक रेखा समान समय अंतराल पर क्षेत्रों को पार करती है। दूसरे शब्दों में, यह कानून कहता है कि जिस गति से क्षेत्र बहते हैं वह समान हैअर्थात् कक्षाओं का प्रभामंडल वेग स्थिर है।

"सूर्य को उसकी परिक्रमा करने वाले ग्रहों से जोड़ने वाली काल्पनिक रेखा समान समय अंतराल पर समान क्षेत्रों में घूमती है।"

क्षेत्रफल के नियम के अनुसार, समान समय अंतराल के लिए क्षेत्रफल A₁ और यह₂ वे एक ही हैं।

केप्लर का तीसरा नियम: अवधियों का नियम या सद्भाव का नियम

केप्लर का तीसरा नियम कहता है कि किसी ग्रह की कक्षीय अवधि (T () का वर्ग सूर्य से उसकी औसत दूरी (R³) के घन के समानुपाती होता है। इसके अलावा, T² और R³ के बीच का अनुपात इस तारे की परिक्रमा करने वाले सभी सितारों के लिए बिल्कुल समान है।

"आवर्त के वर्ग और ग्रह की कक्षा की औसत त्रिज्या के घन के बीच का अनुपात स्थिर है।"

केप्लर के तीसरे नियम की गणना के लिए प्रयुक्त व्यंजक नीचे दिखाया गया है, इसे देखें:

टी - कक्षीय काल

आर - कक्षा की औसत त्रिज्या

अगली आकृति को देखें, इसमें हम सूर्य के चारों ओर एक ग्रह की कक्षा के प्रमुख और लघु अक्षों को दिखाते हैं:

केपलर के तीसरे नियम की गणना में प्रयुक्त कक्षा की औसत त्रिज्या, अधिकतम और न्यूनतम त्रिज्या के बीच के औसत द्वारा दी जाती है। चित्र में दिखाई गई स्थितियाँ, जो सूर्य से पृथ्वी की सबसे बड़ी और सबसे छोटी दूरी को दर्शाती हैं, क्रमशः अपस्फीति और पेरीहेलियन कहलाती हैं।

औसत त्रिज्या की गणना पेरिहेलियन और एपेलियन रेडी के औसत से की जाती है।

जब पृथ्वी निकट आती है सूर्य समीपक, तो आप का कक्षीय गति बढ़ जाता है, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण सूर्य का तेज होता है। इस प्रकार पृथ्वी का अधिकतम गतिज ऊर्जा जब के पास पेरीहेलियन उदासीनता के निकट, यह गतिज ऊर्जा खो देता है, इस प्रकार इसकी कक्षीय वेग अपने सबसे छोटे माप तक कम हो जाती है।

अधिक जानते हैं: गुरुत्वाकर्षण त्वरण - सूत्र और अभ्यास

केप्लर के तीसरे नियम का अधिक विस्तृत सूत्र नीचे दिखाया गया है। ध्यान दें कि T² और R³ के बीच का अनुपात विशेष रूप से दो स्थिरांक, संख्या pi और सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के स्थिरांक द्वारा निर्धारित किया जाता है, और साथ ही पास्ता सूरज की:

जी - सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का स्थिरांक (6.67.10 .)^-11 एनएम²/किग्रा²)

म - सूर्य का द्रव्यमान (1,989.10 .)³⁰ किलोग्राम)

यह नियम केप्लर द्वारा नहीं, बल्कि किसके द्वारा प्राप्त किया गया था? आइजैक न्यूटन, के माध्यम से सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम. इसे करने के लिए, न्यूटन पहचान की कि पृथ्वी और सूर्य के बीच आकर्षण का गुरुत्वाकर्षण बल है a केन्द्राभिमुख शक्ति. निम्नलिखित गणना का निरीक्षण करें, यह दिखाता है कि सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के आधार पर, केप्लर के तीसरे नियम की सामान्य अभिव्यक्ति कैसे प्राप्त करना संभव है:

अभिकेन्द्र बल और गुरुत्वाकर्षण के नियम के आधार पर केप्लर का तीसरा नियम प्राप्त करना संभव है।

यह भी पता है:अभिकेन्द्र त्वरण क्या है?

निम्न तालिका की जाँच करें, इसमें हम दिखाते हैं कि सौर मंडल के प्रत्येक ग्रह के लिए T² और R³ के माप उनके अनुपात के अलावा कैसे भिन्न होते हैं:

ग्रह	AU. में कक्षा (R) की माध्य त्रिज्या	स्थलीय वर्षों में अवधि (टी)	टी²/आर³
बुध	0,387	0,241	1,002
शुक्र	0,723	0,615	1,001
धरती	1,00	1,00	1,000
मंगल ग्रह	1,524	1,881	1,000
बृहस्पति	5,203	11,860	0,999
शनि ग्रह	9,539	29,460	1,000
अरुण ग्रह	19,190	84,010	0,999
नेपच्यून	30,060	164,800	1,000

तालिका में कक्षाओं की औसत त्रिज्या. में मापी जाती है खगोलीय इकाइयाँ (यू)। एक खगोलीय इकाई से मेल खाती है दूरीऔसत पृथ्वी और सूर्य के बीच, लगभग 1,496.10¹¹ म। इसके अलावा, टी³ से अधिक आर³ अनुपात में छोटे बदलाव कक्षीय त्रिज्या के माप में सटीक सीमाओं और की अवधि के कारण हैं अनुवाद प्रत्येक ग्रह का।

नज़रभी: अभिकेंद्री बल अनुप्रयोग - रीढ़ और अवसाद

केप्लर के नियमों पर अभ्यास

प्रश्न 1) (इटा 2019) एक अंतरिक्ष स्टेशन, केप्लर, एक एक्सोप्लैनेट का अध्ययन करता है, जिसके प्राकृतिक उपग्रह में अर्ध-प्रमुख की अण्डाकार कक्षा होती है।₀ और अवधि टी₀, जहां d = 32a₀ स्टेशन और एक्सोप्लैनेट के बीच की दूरी। एक वस्तु जो केप्लर से अलग हो जाती है, गुरुत्वाकर्षण रूप से एक्सोप्लैनेट की ओर आकर्षित होती है और इसके संबंध में आराम से मुक्त रूप से गिरने की गति शुरू करती है। एक्सोप्लैनेट के रोटेशन की उपेक्षा, उपग्रह और वस्तु के बीच गुरुत्वाकर्षण संपर्क, साथ ही साथ शामिल सभी निकायों के आयाम, टी के एक समारोह के रूप में गणना करते हैं₀ वस्तु के गिरने का समय।

टेम्पलेट: टी = 32T₀

संकल्प:

यदि हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि अण्डाकार प्रक्षेपवक्र की विलक्षणता जो वस्तु का वर्णन करेगी वह लगभग 1 के बराबर है, हम मान सकते हैं कि वस्तु की कक्षा की त्रिज्या केपलर अंतरिक्ष स्टेशन और के बीच की आधी दूरी के बराबर होगी ग्रह। इस तरह, हम गणना करेंगे कि वस्तु को अपनी प्रारंभिक स्थिति से कितनी देर तक ग्रह के पास जाना चाहिए। उसके लिए, हमें कक्षा की अवधि का पता लगाना होगा, और गिरने का समय, उस समय के आधे के बराबर होगा:

केप्लर के तीसरे नियम को लागू करने के बाद, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि हम जो गणना करते हैं कक्षीय काल था, जिसमें आधे समय में, वस्तु ग्रह की ओर गिरती है, और दूसरे आधे समय में, दुर हटता है। इस प्रकार, गिरावट का समय, T. के संदर्भ में₀, यह वैसा ही है जैसे 32टी₀.

प्रश्न 2) (उडेस्क 2018) ग्रहों की गति पर केपलर के नियमों के बारे में प्रस्तावों का विश्लेषण करें।

मैं। किसी ग्रह की गति पेरिहेलियन में सबसे अधिक होती है।

द्वितीय. ग्रह वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं, जबकि सूर्य कक्षा के केंद्र में है।

III. एक ग्रह की कक्षा की अवधि उसकी कक्षा की औसत त्रिज्या के साथ बढ़ती है।

चतुर्थ। ग्रह अण्डाकार कक्षाओं में घूमते हैं, जिनमें से एक पर सूर्य होता है।

वी उदासीनता में ग्रह की गति अधिक होती है।

विकल्प पर टिक करें सही बात.

a) केवल कथन I, II और III सत्य हैं।

b) केवल कथन II, III और V सत्य हैं।

c) केवल कथन I, III और IV सत्य हैं।

d) केवल कथन III, IV और V सत्य हैं।

e) केवल कथन I, III और V सत्य हैं।

टेम्पलेट: पत्र सी

संकल्प:

आइए विकल्पों को देखें:

मैं - असली। जब ग्रह पेरिहेलियन के पास पहुंचता है, तो गतिज ऊर्जा में वृद्धि के कारण इसकी अनुवाद गति बढ़ जाती है।

द्वितीय - असत्य। ग्रहों की कक्षाएँ अण्डाकार होती हैं, जिनमें सूर्य उनके एक फोकस पर होता है।

तृतीय - असली। कक्षीय अवधि कक्षा की त्रिज्या के समानुपाती होती है।

चतुर्थ - असली। इस कथन की पुष्टि केप्लर के प्रथम नियम के कथन से होती है।

वी - असत्य। किसी ग्रह की गति पेरिहेलियन के पास सबसे बड़ी होती है।

प्रश्न 3) (ओह) सौर मंडल के बारे में कई सिद्धांतों का पालन किया गया, जब तक कि १६वीं शताब्दी में, पोलिश निकोलस कोपरनिकस ने एक क्रांतिकारी संस्करण प्रस्तुत नहीं किया। कॉपरनिकस के लिए, सूर्य, पृथ्वी नहीं, प्रणाली का केंद्र था। वर्तमान में, सौर मंडल के लिए स्वीकृत मॉडल मूल रूप से कोपरनिकस का है, जिसमें जर्मन जोहान्स केपलर और बाद के वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तावित सुधार शामिल हैं।

गुरुत्वाकर्षण और केप्लर के नियमों पर, निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: सच (मे लूँगा उल्लू बनाना (एफ)।

मैं। सूर्य को एक संदर्भ के रूप में अपनाते हुए, सभी ग्रह अण्डाकार कक्षाओं में घूमते हैं, जिसमें सूर्य दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में होता है।

द्वितीय. सौर मंडल में किसी ग्रह के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति वेक्टर, के द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष सूर्य, समान समय अंतराल पर समान क्षेत्रों में चक्कर लगाता है, चाहे आपके ग्रह की स्थिति कोई भी हो की परिक्रमा।

III. सौर मंडल में किसी ग्रह के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति वेक्टर, सूर्य के द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष, समान समय अंतराल पर आनुपातिक क्षेत्रों को स्वीप करता है, चाहे ग्रह की स्थिति कुछ भी हो की परिक्रमा।

चतुर्थ। सौर मंडल के किसी भी ग्रह के लिए, कक्षा की औसत त्रिज्या के घन का भागफल और सूर्य के चारों ओर परिक्रमण काल ​​का वर्ग स्थिर होता है।

विकल्प पर टिक करें सही बात.

क) सभी कथन सत्य हैं।

b) केवल कथन I, II और III सत्य हैं।

c) केवल कथन I, II और IV सत्य हैं।

d) केवल कथन II, III और IV सत्य हैं।

e) केवल कथन I और II सत्य हैं।

खाका: पत्र सी

संकल्प:

मैं। सच। यह कथन केप्लर के प्रथम नियम का ही कथन है।

द्वितीय. सच। यह कथन केप्लर के द्वितीय नियम की परिभाषा से मेल खाता है।

III. असत्य। केप्लर के दूसरे नियम का निर्धारण, जो कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का अनुसरण करता है, का तात्पर्य है कि बह क्षेत्र समान समय अंतराल के लिए समान हैं।

चतुर्थ। सच। यह कथन केप्लर के तीसरे नियम के कथन को पुन: प्रस्तुत करता है, जिसे अवधियों के नियम के रूप में भी जाना जाता है।

मेरे द्वारा राफेल हेलरब्रॉक