संभावना। प्रायिकता: संकल्पना और गणना

संभावना यह गणित की एक शाखा है जिसमें प्रयोग होने की संभावना की गणना की जाती है। यह a. के माध्यम से है संभावना, उदाहरण के लिए, हम यह जान सकते हैं कि सिक्के के पलटने पर चित या पट आने की संभावना से चुनाव में त्रुटि की संभावना तक।

इस शाखा को समझने के लिए, इसकी सबसे बुनियादी परिभाषाओं को जानना बेहद जरूरी है, जैसे कि सूत्र संभाव्यता गणना समरूप नमूना रिक्त स्थान में, दो घटनाओं के मिलन की प्रायिकता, पूरक घटना की संभावना आदि।

यादृच्छिक प्रयोग

क्या किसी अनुभव जिसका परिणाम ज्ञात नहीं है। उदाहरण के लिए: जब एक सिक्के को उछाला जाता है और ऊपर की तरफ देखा जाता है, तो यह जानना असंभव है कि सिक्के का कौन सा पक्ष होगा सामना करना पड़ रहा है, उस मामले को छोड़कर जहां सिक्का पक्षपाती है (अधिक होने के लिए संशोधित) अक्सर)।

मान लीजिए कि एक किराने की थैली में हरे और लाल सेब हैं। बिना देखे बैग से सेब निकालना भी एक प्रयोगबिना सोचे समझे.

नमूना बिंदु

एक स्कोरनमूना क्या a. में कोई संभावित परिणाम है प्रयोगबिना सोचे समझे. उदाहरण के लिए: एक पासे के रोल पर, परिणाम (शीर्ष चेहरे पर दिखाई देने वाली संख्या) 1, 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकता है। तो इनमें से प्रत्येक संख्या इस प्रयोग के लिए एक नमूना बिंदु है।

नमूना जगह

हे नमूना जगह यह है सेट सभी द्वारा गठित नमूना बिंदु एक पर यादृच्छिक प्रयोग, अर्थात्, इसके सभी संभावित परिणामों के लिए। इस तरह, एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम, भले ही वह पूर्वानुमेय न हो, हमेशा उसके संदर्भ में नमूना स्थान के भीतर पाया जा सकता है।

की तरह खाली स्थाननमूना संभावित परिणामों के सेट हैं, हम इन रिक्त स्थान के लिए सेट अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए: नमूना स्थान का जिक्र करते हुए प्रयोग "रोलिंग ए डाई" सेट है, जैसे कि:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

उस सेट द्वारा भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है वेन आरेख या, प्रयोग के आधार पर, कुछ गठन कानून द्वारा।

हे संख्यामेंतत्वों नमूना रिक्त स्थान का प्रतिनिधित्व n (Ω) द्वारा किया जाता है। पिछले उदाहरण के मामले में, n (Ω) = 6. याद रखें कि एक नमूना स्थान के तत्व हैं अंकनमूना, अर्थात्, एक यादृच्छिक प्रयोग के संभावित परिणाम।

प्रतिस्पर्धा

घटनाएँ a. के उपसमुच्चय हैं अंतरिक्षनमूना. एक प्रतिस्पर्धा इसमें शून्य से लेकर यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणाम शामिल हो सकते हैं, यानी घटना एक खाली सेट या नमूना स्थान ही हो सकती है। पहले मामले में, इसे कहा जाता है असंभव घटना. दूसरे में, इसे कहा जाता है सही घटना.

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अभी नहीं प्रयोगबिना सोचे समझे पासे को पलटने के लिए, निम्नलिखित पर ध्यान दें आयोजन:

ए = एक सम संख्या प्राप्त करें:

ए = {2, 4, 6} और एन (ए) = 3

बी = एक अभाज्य संख्या छोड़ें:

बी = {2, 3, 5} और एन (बी) = 3

सी = 5 से बड़ी या उसके बराबर संख्या से बाहर निकलें:

सी = {5, 6} और एन (सी) = 2

डी = एक प्राकृतिक संख्या छोड़ दो:

डी = {1, 2, 3, 4, 5, 6} और एन (डी) = 6

समसंभाव्य स्थान

एक नमूना स्थान कहलाता है सुसज्जित करने योग्य जब सब अंकनमूना उसके भीतर घटित होने की समान संभावना है। यह अनडिक्टेड पासा रोल या सिक्कों का मामला है, समान आकार और वजन की गिने गेंदों को चुनना आदि।

का एक उदाहरण अंतरिक्षनमूना जिस पर विचार किया जा सकता है सुसज्जित नहीं निम्नलिखित द्वारा गठित किया गया है प्रयोग: आइसक्रीम खाने या टहलने जाने में से चुनें।

संभाव्यता गणना

पर अंतर संभावित परिणामों की संख्या से अनुकूल परिणामों की संख्या को विभाजित करके गणना की जाती है, अर्थात:

पी = हुह)
एन (Ω)

इस मामले में, E एक ऐसी घटना है जिसे कोई जानना चाहता है संभावना, और है अंतरिक्षनमूना जिसमें यह है।

उदाहरण के लिए, पासे के रोल पर, नंबर एक के निकलने की प्रायिकता क्या है?

इस उदाहरण में, नंबर एक से बाहर निकलना घटना ई है। इस प्रकार, एन (ई) = 1। इस प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि में छह तत्व हैं: 1, 2, 3, 4, 5 और 6। इसलिए, n (Ω) = 6. इस प्रकार:

पी = हुह)
एन (Ω)

पी = 1
6

पी = ०.१६६६…

पी = 16.6%

एक और उदाहरण: क्या है what संभावना पासे को घुमाते समय सम संख्या प्राप्त करने के लिए?

पासे पर संभावित सम संख्याएं 2, 4 और 6 हैं। इसलिए, n (ई) = ३।

पी = हुह)
एन (Ω)

पी = 3
6

पी = 0.5

पी = 50%

ध्यान दें कि अंतर हमेशा 0 ≤ x ≤ 1 की सीमा के भीतर एक संख्या का परिणाम होगा। इसका कारण यह है कि E, का उपसमुच्चय है। इस प्रकार, E में शून्य से लेकर तक के तत्वों की अधिकतम संख्या समान हो सकती है।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

मान लीजिए कि आंखों का रंग जीन के जोड़े द्वारा स्थापित किया जाता है, जहां सी डार्क आई के लिए प्रमुख है और सी लाइट आई के लिए रिसेसिव है। एक आदमी जिसकी आंखें काली हैं लेकिन एक हल्की आंखों वाली मां ने एक हल्की आंखों वाली महिला से शादी की है जिसके पिता की आंखें काली हैं। हल्की आँखों वाली लड़की के पैदा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक दंपत्ति के एक पुरुष संतान होने की प्रायिकता 0.25 है। इस संभावना का निर्धारण करें कि दंपति के अलग-अलग लिंगों के दो बच्चे होंगे।