सम्मिश्र संख्याओं के अध्ययन में हमें निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त होती हैं: i2 = – 1.
इस समानता का औचित्य आमतौर पर नकारात्मक वर्गमूल वाले 2 डिग्री समीकरणों को हल करने से जुड़ा होता है, जो एक त्रुटि है। अभिव्यक्ति की उत्पत्ति i2 = - 1 सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा में प्रकट होता है, एक और मुद्दा जो बहुत संदेह पैदा करता है। आइए हम इस तरह की समानता का कारण और यह कैसे उत्पन्न होता है, इसे समझते हैं।
सबसे पहले, आइए कुछ परिभाषाएँ बनाते हैं।
1. वास्तविक संख्याओं (x, y) के क्रमित युग्म को सम्मिश्र संख्या कहते हैं।
2. जटिल संख्याएं (x1आप1) और (एक्स2आप2) बराबर हैं अगर और केवल अगर x1 = एक्स2 और तुम1 = y2.
3. सम्मिश्र संख्याओं का जोड़ और गुणा किसके द्वारा परिभाषित किया जाता है:
(एक्स1आप1) + (एक्स2आप2) = (एक्स1 + एक्स2आप1 + y2)
(एक्स1आप1)*(एक्स2आप2) = (एक्स1*एक्स2 - आप1*y2, एक्स1*y2 + y1*एक्स2)
उदाहरण 1। z पर विचार करें1 = (3, 4) और z2 = (2, 5), z. की गणना करें1 + z2 और ज़ू1*ज़ू2.
समाधान:
जेड1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
जेड1*ज़ू2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
तीसरी परिभाषा का उपयोग करके यह दिखाना आसान है कि:
(एक्स1, 0) + (एक्स2, 0) = (एक्स1 + एक्स2, 0)
(एक्स1, 0)*(x2, 0) = (एक्स1*एक्स2, 0)
ये समानताएँ दर्शाती हैं कि योग और गुणन संक्रियाओं के संबंध में सम्मिश्र संख्याएँ (x, y) वास्तविक संख्याओं की तरह व्यवहार करती हैं। इस संदर्भ में, हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं: (x, 0) = x।
इस संबंध और प्रतीक i का उपयोग करके सम्मिश्र संख्या (0, 1) को निरूपित करने के लिए हम कोई भी सम्मिश्र संख्या (x, y) इस प्रकार लिख सकते हैं:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → जो एक सम्मिश्र संख्या का सामान्य रूप है।
इस प्रकार सम्मिश्र संख्या (3, 4) सामान्य रूप में 3 + 4i हो जाती है।
उदाहरण २। निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं को सामान्य रूप में लिखिए।
क) (5, - 3) = 5 - 3i
ख) (-7, 11) = - 7 + 11i
ग) (2, 0) = 2 + 0i = 2
डी) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
अब ध्यान दें कि हम सम्मिश्र संख्या (0, 1) कहते हैं। आइए देखें कि i2 बनाते समय क्या होता है।
हम जानते हैं कि i = (0, 1) और वह i2 = मैं * मैं। उसका पालन करें:
मैं2 = मैं*i = (0, 1)*(0, 1)
परिभाषा 3 का उपयोग करते हुए, हमारे पास होगा:
मैं2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 - 1, 0 + 0) = (-1, 0 )
जैसा कि हमने पहले देखा, रूप की प्रत्येक सम्मिश्र संख्या (x, 0) = x. इस प्रकार,
मैं2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 - 1, 0 + 0) = (-1, 0 ) = - १।
हम प्रसिद्ध समानता पर पहुंचे i2 = – 1.
मार्सेलो रिगोनाट्टो द्वारा
सांख्यिकी और गणितीय मॉडलिंग में विशेषज्ञ
ब्राजील स्कूल टीम
जटिल आंकड़े - गणित - ब्राजील स्कूल
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm