परवलय के गुणांकों और अवतलता पर अभ्यास

हे दूसरी डिग्री के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़, f (x) = ax² + bx + c, एक परवलय और गुणांक है , बी यह है डब्ल्यू दृष्टांत की महत्वपूर्ण विशेषताओं से संबंधित हैं, जैसे कि अवतलता.

इसके साथ में शीर्ष निर्देशांक एक परवलय की गणना गुणांकों और मान वाले सूत्रों से की जाती है भेदभाव डेल्टा.

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बदले में, विवेचक भी गुणांकों का एक कार्य है और इससे हम यह पहचान सकते हैं कि द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन की जड़ें हैं या नहीं और वे क्या हैं, यदि कोई हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणांकों से हम परवलय के आकार को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं। अधिक समझने के लिए, देखें a परवलय की समतलता और द्वितीय डिग्री फलन के गुणांकों पर हल किए गए अभ्यासों की सूची.

परवलय के गुणांकों और अवतलता पर अभ्यासों की सूची

प्रश्न 1। द्वितीय डिग्री के निम्नलिखित कार्यों में से प्रत्येक के गुणांक निर्धारित करें और परवलय की अवतलता बताएं।

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

बी) एफ (एक्स) = 2x² + 3x + 5

सी) एफ (एक्स) = 4x² – 5

ई) एफ (एक्स) = -5x²

एफ) एफ (एक्स) = एक्स² – 1

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प्रश्न 2। नीचे दिए गए द्विघात फलनों के गुणांकों से, कोटि अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन का बिंदु निर्धारित करें:

ए) एफ (एक्स) = एक्स² – 2x + 3

बी) एफ (एक्स) = -2x² + 5x

सी) एफ (एक्स) = -x² + 2

d) f (x) = 0.5x² + 3x – 1

प्रश्न 3। विवेचक के मूल्य की गणना करें $\dpi{120} \bg_white \डेल्टा$ और पहचानें कि क्या परवलय भुज की धुरी को काटते हैं।

ए) y = -3x² – 2x + 5

बी) y = 8x² – 2x + 2

ग) y = 4x² – 4x + 1

प्रश्न 4. निम्नलिखित प्रत्येक परवलय की अवतलता और शीर्ष निर्धारित करें:

a) y = x² + 2x + 1

बी) वाई = एक्स² - 1

ग) y = -0.8x² -x + 1

प्रश्न 5. परवलय, शीर्ष, अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं की समतलता निर्धारित करें और निम्नलिखित द्विघात फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं:

f(x) = 2x² – 4x + 2

प्रश्न का समाधान 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

गुणांक: a = 8, b = -4 और c = 1

अवतलता: ऊपर की ओर, चूँकि a > 0.

बी) एफ (एक्स) = 2x² + 3x + 5

गुणांक: ए = 2, बी = 3 और सी = 5

अवतलता: ऊपर की ओर, चूँकि a > 0.

सी) एफ (एक्स) = -4x² – 5

गुणांक: ए = -4, बी = 0 और सी = -5

अवतलता: नीचे, क्योंकि a < 0.

ई) एफ (एक्स) = -5x²

गुणांक: ए = -5, बी = 0 और सी = 0

अवतलता: नीचे, क्योंकि a < 0.

एफ) एफ (एक्स) = एक्स² – 1

गुणांक: ए = 1, बी = 0 और सी = -1

अवतलता: ऊपर की ओर, चूँकि a > 0.

प्रश्न 2 का समाधान

ए) एफ (एक्स) = एक्स² – 2x + 3

गुणांक: a= 1, b = -2 और c = 3

y-अक्ष के साथ अंतःखंड बिंदु f (0) द्वारा दिया गया है। यह बिंदु द्विघात फलन के गुणांक c से बिल्कुल मेल खाता है।

अवरोधन बिंदु = c = 3

बी) एफ (एक्स) = -2x² + 5x

गुणांक: a= -2, b = 5 और c = 0

अवरोधन बिंदु = c = 0

सी) एफ (एक्स) = -x² + 2

गुणांक: a= -1, b = 0 और c = 2

अवरोधन बिंदु = c = 2

d) f (x) = 0.5x² + 3x – 1

गुणांक: a= 0.5, b = 3 और c = -1

अवरोधन बिंदु = c = -1

प्रश्न 3 का समाधान

ए) y = -3x² – 2x + 5

गुणांक: ए = -3, बी = -2 और सी = 5

भेदभाव करना:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \Delta b^2 - 4. द. सी (-2)^2 - 4.(-3).5 64$

चूँकि विवेचक का मान 0 से अधिक है, तो परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

बी) y = 8x² – 2x + 2

गुणांक: ए = 8, बी = -2 और सी = 2

भेदभाव करना:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \Delta b^2 - 4. द. सी (-2)^2 - 4.8.2 -60$

चूँकि विवेचक का मान 0 से कम है, तो परवलय x-अक्ष को नहीं काटता है।

ग) y = 4x² – 4x + 1

गुणांक: ए = 4, बी = -4 और सी = 1

भेदभाव करना:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \Delta b^2 - 4. द. सी (-4)^2 - 4.4.1 0$

चूँकि विवेचक 0 के बराबर है, तो परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है।

प्रश्न 4 का समाधान

a) y = x² + 2x + 1

गुणांक: a= 1, b = 2 और c= 1

अवतलता: ऊपर, क्योंकि a > 0

भेदभाव करना:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \डेल्टा 2^2 - 4. 1. 1 4 - 4 0$

शीर्ष:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{-2}{2} -1$

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

वी(-1.0)

बी) वाई = एक्स² - 1

गुणांक: a= 1, b = 0 और c= -1

अवतलता: ऊपर, क्योंकि a > 0

भेदभाव करना:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \डेल्टा 0^2 - 4. 1. (-1) 4$

शीर्ष:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white x_v \frac{-b}{2a} 0$

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4}{4} -1$

वी(0,-1)

ग) y = -0.8x² -x + 1

गुणांक: a= -0.8, b = -1 और c= 1

अवतलता: नीचे, क्योंकि a < 0

भेदभाव करना:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \Delta (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 4,2$

शीर्ष:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{1}{-1.6} -0.63$

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4.2}{-3.2} 1.31$

वी(-0.63; 1,31)

प्रश्न 5 का समाधान

f(x) = 2x² – 4x + 2

गुणांक: ए = 2, बी = -4 और सी = 2

अवतलता: ऊपर, क्योंकि a > 0

शीर्ष:

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white x_v \frac{-b}{2a}\frac{4}{4} 1$

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white \डेल्टा (-4)^2 -4. 2. 2 0$

$\dpi{100} \बड़ा \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

वी(1.0)

y-अक्ष के साथ अवरोधन:

सी = 2 ⇒ बिंदु (0, 2)

एक्स-अक्ष के साथ अवरोधन:

जैसा $\dpi{120} \bg_white \डेल्टा 0$ , तो परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है। यह बिंदु समीकरण 2x² – 4x + 2 की (बराबर) जड़ों से मेल खाता है, जिसे इसके द्वारा निर्धारित किया जा सकता है भास्कर का सूत्र: