एक मैट्रिक्स त्रिकोणीय है जब मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्व या मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्व सभी शून्य हों। इस प्रकार के मैट्रिक्स के लिए दो संभावित वर्गीकरण हैं: पहला तब होता है जब मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्व शून्य होते हैं, जो एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स सेट करता है; दूसरा तब होता है जब मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य होते हैं, ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स की स्थापना करते हैं।
सरस के नियम द्वारा त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए, बस मुख्य विकर्ण गुणन करें, क्योंकि अन्य गुणन सभी शून्य के बराबर होंगे।
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त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्रकार
यह समझने के लिए कि त्रिकोणीय मैट्रिक्स क्या है, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि एक वर्ग मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण क्या है, वह मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण शब्द है a.आईजेयू, जहाँ i = j, अर्थात् वे पद हैं जिनमें पंक्ति संख्या स्तंभ संख्या के बराबर है।
उदाहरण:
यह समझना कि वर्ग मैट्रिक्स क्या है और इसका मुख्य विकर्ण क्या है, आइए जानते हैं कि त्रिकोणीय मैट्रिक्स क्या है और इसका वर्गीकरण क्या है। त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए दो संभावित वर्गीकरण हैं: निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स और ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स.
- निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स: तब होता है जब मुख्य विकर्ण के ऊपर के सभी पद शून्य के बराबर होते हैं और मुख्य विकर्ण के नीचे के पद हैं वास्तविक संख्याये.
संख्यात्मक उदाहरण:
- ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स: तब होता है जब मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी पद शून्य के बराबर हों और मुख्य विकर्ण के ऊपर के पद वास्तविक संख्याएँ हों।
संख्यात्मक उदाहरण:
विकर्ण मैट्रिक्स
विकर्ण मैट्रिक्स है a त्रिकोणीय मैट्रिक्स का विशेष मामला. इसमें, केवल वे शब्द जो अशून्य हैं, वे हैं जो मुख्य विकर्ण में निहित हैं। मुख्य विकर्ण के ऊपर या नीचे के सभी पद शून्य के बराबर हैं।
विकर्ण मैट्रिक्स के संख्यात्मक उदाहरण:
एक त्रिभुजाकार आव्यूह का सारणिक
त्रिकोणीय मैट्रिक्स को देखते हुए, इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते समय सरस का नियम, आप देख सकते हैं कि मुख्य विकर्ण के पद के गुणन को छोड़कर, सभी गुणन शून्य के बराबर हैं।
det (ए) = ए11 · ए22· ए33 + द12 · ए23 · 0 + द13 · 0 · 0 - (द13 ·द23 ·0 + द11 · ए23 · 0 + द12 · 0· ए33)
ध्यान दें कि पहले को छोड़कर सभी शब्दों में, शून्य कारकों में से एक है, और सभी गुणा शून्य से शून्य के बराबर है, इसलिए:
det (ए) = ए11 · ए22· ए33
ध्यान दें कि यह मुख्य विकर्ण के पदों के बीच का गुणनफल है।
त्रिकोणीय मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या के बावजूद, इसका सारणिक हमेशा मुख्य विकर्ण के पदों के गुणनफल के बराबर होगा.
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त्रिकोणीय मैट्रिक्स गुण
त्रिकोणीय मैट्रिक्स में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं।
- पहली संपत्ति: त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण की शर्तों के उत्पाद के बराबर है।
- दूसरी संपत्ति: दो त्रिभुजाकार आव्यूहों के बीच का गुणनफल एक त्रिभुजाकार आव्यूह होता है।
- तीसरी संपत्ति: यदि त्रिकोणीय मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की शर्तों में से एक शून्य के बराबर है, तो इसका सारणिक शून्य के बराबर होगा और इसके परिणामस्वरूप, यह उलटा नहीं होगा।
- चौथी संपत्ति: त्रिकोणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।
- 5वीं संपत्ति: दो ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूहों का योग एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह होता है; इसी तरह, दो निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का योग एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।
हल किए गए अभ्यास
1) मैट्रिक्स A को देखते हुए, A के सारणिक का मान है:
ए) 2
बी) 0
सी) 9
घ) 45
ई) 25
संकल्प
वैकल्पिक डी.
यह मैट्रिक्स कम त्रिकोणीय है, इसलिए इसका निर्धारक मुख्य विकर्ण पर पदों का गुणन है।
det (ए) = १·३·३·१·५ = ४५
2) निम्नलिखित कथनों का न्याय करें।
I → प्रत्येक वर्ग आव्यूह त्रिभुजाकार होता है।
II → निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का योग हमेशा त्रिकोणीय मैट्रिक्स होता है।
III → प्रत्येक विकर्ण पहचान मैट्रिक्स एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।
सही क्रम है:
ए) वी, वी, वी।
बी) एफ, एफ, एफ।
सी) एफ, वी, एफ।
डी) एफ, एफ, वी।
ई) वी, वी, एफ।
संकल्प
वैकल्पिक डी.
I → असत्य, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुजाकार आव्यूह वर्गाकार है, परन्तु प्रत्येक वर्ग आव्यूह त्रिभुज नहीं है।
II → असत्य, क्योंकि ऊपरी और निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बीच का योग हमेशा त्रिकोणीय मैट्रिक्स में नहीं होता है।
III → सत्य, क्योंकि विकर्ण से भिन्न पद शून्य के बराबर हैं।
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm
