Produit interne entre deux vecteurs

O produit scalaire entre deux vecteurs est un nombre réel qui relie la magnitude de ces vecteurs, c'est-à-dire leur longueur, et l'angle entre eux. Pour la calculer, il faut donc connaître leurs longueurs et l'angle qu'elles forment.

En utilisant le plan comme base, un vecteur indique un emplacement, une intensité, une direction et une direction. Par conséquent, il est utilisé dans les études de mécanique (physique) en tant que représentant d'une force appliquée à un objet.

La représentation habituelle du vecteur est une flèche qui se termine en un point. Les coordonnées de ce point sont dites les coordonnées du vecteur partant du point O (0,0). On écrit v = (a, b) pour le représenter. Ainsi, le vecteur v = (1,2) est tracé comme suit :

Exemple de vecteur à partir de l'origine

Pour calculer la longueur de ce vecteur, considérons le triangle rectangle formé par celui-ci et sa projection sur l'axe des x (ou axe des y), comme le montre la figure suivante :

Longueur du vecteur v

La longueur d'un vecteur v est appelée

v norme vectorielle ou alors module vectoriel v et est représenté par |v|. Notons que la norme du vecteur v = (a, b) est précisément la mesure de l'hypoténuse du triangle représenté sur la figure ci-dessus. Pour calculer cette mesure, nous utilisons le théorème de Pythagore :

|v|² = le² + b²

|v| = (a² + b² )

Produit scalaire à deux vecteurs

Étant donné deux vecteurs u et v, le produit scalaire entre eux est représenté par et est défini comme :

= |u||v|·cosθ

C'est une sorte de multiplication entre deux vecteurs, cependant, on ne l'appelle pas un produit car ce n'est pas une multiplication commune, car elle implique l'angle formé par ces deux vecteurs.

Angle entre deux vecteurs

Le premier résultat résultant de la définition ci-dessus est l'angle entre deux vecteurs. Avec les nombres réels « produit scalaire », « norme vectorielle u » et « norme vectorielle v », il est possible de calculer l'angle entre les vecteurs u et v. Pour cela, il suffit d'effectuer les calculs :

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= |u||v|·cosθ

= cosθ
|u||v|

Par conséquent, en divisant le produit scalaire par les normes des vecteurs u et v, nous trouvons le nombre réel se référant au cosinus entre ces deux vecteurs et, par conséquent, l'angle entre eux.

Notez que si l'angle entre deux vecteurs est droit, cosθ est égal à zéro. Par conséquent, le produit ci-dessus aura le résultat suivant :

= 0

De là, on peut conclure que, étant donné deux vecteurs u et v, ils seront orthogonaux si = 0.

Produit interne calculé à partir des coordonnées vectorielles

En considérant les deux vecteurs u = (a, b) et v = (c, d), le produit scalaire entre u et v est donné par :

= = a·c + b·d

Propriétés internes du produit

Etant donnés les vecteurs u, v et w et le nombre réel α, notons :

je) =

Cela signifie que le produit interne des vecteurs est «commutatif».

ii) = +

Cette propriété est comparable à la distributivité de la multiplication sur l'addition.

iii) = = α

Calculer le produit scalaire entre u et v multiplié par le nombre réel α revient à calculer le produit scalaire entre αv et u ou entre v et αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Le produit scalaire de v avec v n'est nul que si v est le vecteur nul.

v) ≥ 0 pour tout v.

Le produit scalaire de v avec v sera toujours supérieur ou égal à zéro.

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques