Angle entre deux vecteurs

Vecteurs sont des objets mathématiques chargés de décrire la trajectoire des points. Plusieurs fois, ces points représentent des objets concrets en mouvement, qui sont étudiés en détail par la physique. Lorsqu'elle considère les forces impliquées dans le déplacement (en fait ou potentiel) d'un objet, la physique utilise des vecteurs pour les représenter. L'angle que forment ces vecteurs est une partie cruciale des calculs, car une petite variation de l'angle peut nécessiter plus de force pour être appliquée à un objet pour qu'il démarre ou reste dans mouvement.

Les vecteurs sont représentés géométriquement par des flèches, qui sont des lignes droites orientées. Ainsi, une extrémité du segment indique la position finale du point déplacé, et l'autre extrémité est non marquée, indiquant que le mouvement a commencé là. Le point d'emplacement de l'extrémité est généralement utilisé pour identifier un vecteur qui commence à l'origine d'un système de coordonnées. Considérant le plan cartésien comme système de coordonnées, un vecteur v, commençant au point (0,0) et se terminant au point (a, b), est représenté uniquement par

vecteur v = (a, b). Si le vecteur commence à un autre point, déplacez-le simplement à l'endroit approprié.

Vecteur dans le plan cartésien

Comme il s'agit de droites orientées, il est possible de calculer leur longueur, que l'on appelle la norme vectorielle. Le calcul de la norme d'un vecteur est donné de la même manière que le distance entre deux points et équivaut à calculer le module d'un nombre réel. Ainsi, la norme du vecteur v = (a, b) est notée |v| et peut être calculé comme suit :

Ne vous arrêtez pas maintenant... Y'a plus après la pub ;)

Considérant deux vecteurs v = (a, b) et u = (a',b'), le produit domestique parmi eux est désigné par et est donné par l'expression suivante :

= a·a' + b·b'

Le produit scalaire entre deux vecteurs est également défini par l'angle entre eux. Cette définition permet de calculer l'angle entre deux vecteurs.

Angle entre deux vecteurs

Ainsi, en prenant les mêmes vecteurs v et u, le cosinus de l'angle qui les sépare est donné par l'expression suivante :

cosθ =
|v|·|u|

Avec ces données, définitions et, en quelque sorte, formules, il est possible de tracer une stratégie pour calculer l'angle entre deux vecteurs.

Étant donné les vecteurs v = (2,2) et u = (0,2), nous allons calculer l'angle entre eux. Pour cela, calculez d'abord la norme de chaque vecteur et le produit entre ces normes :

|v| = (2² + 2²)
|v| = (4 + 4)
|v| = 8

|u| = (0² + 2²)
|u| = (0 + 4)
|u| = 4

|v|·|u| = √8·√4
|v|·|u| = 4√2

Ensuite, calculez le produit scalaire entre v et u :

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Enfin, utilisez la formule d'angle entre les vecteurs pour calculer cosθ et a table de valeurs de cosinus pour trouver la valeur de .

cosθ =
|v|·|u|

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques

Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. « Angle entre deux vecteurs »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Consulté le 27 juin 2021.