Sinus, cosinus et tangente sont les noms donnés à rapports trigonométriques. La plupart des problèmes impliquant des calculs de distance sont résolus en utilisant le trigonométrie. Et pour cela, il est très important d'en comprendre les fondamentaux, à commencer par le triangle rectangle.
Les rapports trigonométriques sont également très importants, car ils relient les mesures des deux côtés de la Triangle avec l'un des angles aigus, en associant cette relation à un nombre réel.
Voir plus: Identifier les quadrants du cycle trigonométrique
Caractéristiques du triangle rectangle
Le triangle rectangle est formé par un angle 90° (angle droit). Les autres angles sont inférieurs à 90º, c'est-à-dire qu'ils sont aigus, et, en plus, nous savons que les plus grands côtés sont toujours opposés aux plus grands angles. Dans le triangle rectangle, le plus grand côté s'appelle le hypoténuse et est "devant" l'angle droit, les autres côtés sont appelés pécaris.
Dans le triangle ci-dessus, nous avons que les côtés qui mesurent c et b sont les jambes, et le côté qui mesure a est l'hypoténuse. Dans chaque triangle rectangle, la relation s'appelait théorème de Pythagore est valable.
le2 = b2 + c2
Le pécari à collier, désormais, recevra également des noms spéciaux. Les nomenclatures des pattes dépendront de l'angle de référence. Compte tenu de l'angle en bleu dans l'image ci-dessus, nous avons que le côté qui mesure b est le jambe opposée, et le côté qui est à côté de l'angle, c'est-à-dire qui mesure c est le jambe adjacente.
Sinus
Avant de définir une formule pour le sinus d'un angle, comprenons l'idée de sinus. Imaginez une rampe sur laquelle on peut déterminer la raison entre hauteur et cap, non? Ce rapport sera appelé le sinus de l'angle .
Ainsi,
péché = la taille
route
cosinus
Analogue à l'idée de sinus, nous avons le sens de cosinus, cependant, dans une rampe, le cosinus est le rapport entre la distance au sol et le chemin le long de la rampe.
Ainsi:
cos = suppression
route
Tangente
Également similaire aux idées de sinus et de cosinus, la tangente est le rapport entre la hauteur et la distance d'une rampe.
Ainsi:
tg = la taille
suppression
La tangente nous donne taux de montée.
A lire aussi: Trigonométrie dans n'importe quel triangle
Relation entre sinus, cosinus et tangente
En général, nous pouvons alors définir le sinus, le cosinus et la tangente dans n'importe quel triangle rectangle en utilisant les idées précédentes. Voir ci-dessous:
Prenant d'abord le angle comme référence, nous avons :
péché = le côté opposé = ç
hypoténuse à
cos = catet adjacent = B
hypoténuse à
tg = le côté opposé = ç
Catet adjacent b
En prenant maintenant l'angle comme référence, on a :
péché = le côté opposé = B
hypoténuse à
cos = catet adjacent = ç
hypoténuse à
tg = le côté opposé = B
cathetus adjacent c
Tables trigonométriques
Il y a trois valeurs d'angle que nous devons connaître. Sont-ils:
Les autres valeurs sont données dans les énoncés des exercices ou peuvent être vérifiées dans le tableau suivant, mais ne vous inquiétez pas, il n'est pas nécessaire de les mémoriser (sauf celles du tableau précédent).
Angle (°) |
sinus |
cosinus |
tangente |
Angle (°) |
sinus |
cosinus |
tangente |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Sachez également: Sécante, cosécante et cotangente
exercices résolus
question 1 - Déterminer la valeur de x et y dans le triangle suivant.
Solution:
Voyez dans le triangle que l'angle donné était de 30°. En regardant toujours le triangle, on a le côté qui mesure X C'est le jambe opposée à l'angle de 30°, et le côté qui mesure oui C'est le jambe adjacente à un angle de 30°. Ainsi, il faut chercher un rapport trigonométrique qui relie ce que l'on cherche à ce qui est donné (hypoténuse). Bientôt:
péché 30° = le côté opposé
Hypoténuse
cos 30° = catet adjacent
Hypoténuse
Détermination de la valeur de x :
péché 30° = le côté opposé
Hypoténuse
péché 30° = X
2
En regardant le tableau, nous devons :
péché 30° = 1
2
En le substituant dans l'équation, nous aurons :
1 = X
2 2
x = 1
De même, nous considérerons
Ainsi:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = catet adjacent
Hypoténuse
cos 30° = Oui
2
√3 = Oui
2 2
y = 3
question 2 – (PUC-SP) Quelle est la valeur de x dans la figure suivante ?
Solution:
En regardant le plus grand triangle, notez que y est opposé à l'angle de 30° et que 40 est l'hypoténuse, c'est-à-dire que nous pouvons utiliser le rapport sinus trigonométrique.
péché 30° = Oui
40
1 = Oui
2 40
2 ans = 40
y = 20
En regardant maintenant le plus petit triangle, voyons que nous avons la valeur du côté opposé et nous cherchons la valeur de x, qui est le côté adjacent. La relation trigonométrique impliquant ces deux jambes est la tangente. Ainsi:
tg 60° = 20
X
√3= 20
X
3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm