Système d'équations: comment calculer, méthodes, exercices – école du brésil

Nous considérons un système d'équations lorsque nous allons résoudre des problèmes qui impliquent des quantités numériques et que, généralement, nous recourons à l'utilisation de équations pour représenter de telles situations. Dans la plupart des problèmes réels, nous devrions considérer plus d'un équation simultanément, ce qui dépend donc de la conception des systèmes.

Des problèmes tels que la mise en forme du trafic peuvent être résolus à l'aide de systèmes linéaires. nous devons comprendre les éléments d'un système linéaire, quelles méthodes utiliser et comment déterminer son solution.

Les systèmes d'équations sont ceux qui fonctionnent avec plus d'une quantité numérique.

Équations

Notre étude portera sur des systèmes d'équations linéaires, comprenons donc d'abord ce qu'est un équation linéaire.

Une équation sera dite linéaire lorsqu'elle peut s'écrire de cette façon :

le₁ ·X₁ + le₂ ·X₂ + le₃ ·X₃ +...+ à_non ·X_non = k

Dans laquelle le_1, le_2, le_3,..., le_non) Ils sont les coefficients de l'équation, (x

_1, X_2, X_3,..., X_non) sont les incognitos et doit être linéaire et k est le termeindépendant.

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• Exemples

• -2x + 1 = -8 ® Équation linéaire à une inconnue
• 5p + 2r =5 ® Équation linéaire à deux inconnues
• 9x – y - z = 0 ® Équation linéaire à trois inconnues
• 8un B +c – d = -9 ® Équation non linéaire

Savoir plus: Différences entre fonction et équation

Comment calculer un système d'équations ?

La solution d'un système linéaire est tout ensemble ordonné et fini qui satisfait toutes les équations du système en même temps.. Le nombre d'éléments de l'ensemble solution est toujours égal au nombre d'inconnues dans le système.

• Exemple

Considérez le système :

La paire ordonnée (6; -2) satisfait les deux équations, c'est donc la solution du système. L'ensemble formé par les solutions du système est appelé ensemble de solutions. De l'exemple ci-dessus, nous avons :

S = {(6; -2)}

La façon d'écrire avec accolades et parenthèses indique un ensemble solution (toujours entre accolades) formé par une paire ordonnée (toujours entre parenthèses).

Observation: Si deux systèmes ou plus ont le même solution d'ensemble, ces systèmes sont appelés systèmes équivalents.

Méthode de remplacement

La méthode de remplacement se résume à suivre trois étapes. Pour cela, considérons le système

• Étape 1

La première étape consiste à choisissez l'une des équations (le plus simple) et isoler l'une des inconnues (le plus simple). Ainsi,

x – 2y = -7

x = -7 + 2y

• Étape 2

Dans la deuxième étape, il suffit remplacer, dans l'équation non choisie, l'inconnue isolé dans la première étape. Bientôt,

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2 ans) + 2 ans = - 5

-21 +6 ans + 2 ans =-5

8y = -5 +21

8 ans = 16

y = 2

• Étape 3

La troisième étape consiste à remplacer la valeur trouvée dans la deuxième étape dans l'une des équations. Ainsi,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 +4

x = -3

Par conséquent, la solution du système est S {(-3, 2)}.

méthode d'addition

Pour effectuer la méthode d'addition, nous devons nous rappeler que le les coefficients de l'une des inconnues doivent être opposés, c'est-à-dire ayant des nombres égaux avec des signes opposés. Considérons le même système de méthode de substitution.

Voir que les coefficients inconnus oui remplissent notre condition, il suffit donc d'ajouter chacune des colonnes du système, obtenant l'équation :

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

Et en substituant la valeur de x dans l'une des équations que nous avons :

x - 2y = -7

-3 - 2 ans = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2 ans) = -4 (-1)

2 ans = 4

y = 2

Par conséquent, la solution du système est S {(-3, 2)}

A lire aussi: Résolution de problèmes par des systèmes d'équations

Classification des systèmes linéaires

On peut classer un système linéaire par le nombre de solutions. Un système linéaire peut être classé en possible et déterminé, possibles etindéterminé et impossible.

→ Le système est possible et déterminé (SPD): solution unique

→ Système possible et indéterminé (SPI): plus d'une solution

→ Système impossible: pas de solution

Voir le schéma :

Exercice résolu

Question 1 - (Vunesp) Un porte-mine, trois cahiers et un stylo coûtent 33 reais ensemble. Deux crayons mécaniques, sept cahiers et deux stylos coûtent 76 reais ensemble. Le coût d'un porte-mine, d'un cahier et d'un stylo, ensemble, en reais est de :

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 38

Solution

Attribuons l'inconnu X au prix de chaque porte-mine, oui au prix de chaque carnet et z au prix de chaque stylo. A partir de l'énoncé, il faut :

En multipliant l'équation du haut par -2, nous devons :

En ajoutant terme à terme, nous devrons :

y = 10

Remplacer la valeur de oui trouvé dans la première équation, nous devrons :

x + 3y + z = 33

x + 30 + z = 33

x + z = 3

Ainsi, le prix d'un crayon, d'un cahier et d'un stylo est de :

x + y + z = 13 reais.

Variante C

par Robson Luiz
Professeur de mathématiques