Plan Argand-Gauss (plan complexe)

O Plan Argand-Gauss il est composé de deux axes: un vertical (dit axe imaginaire) et un horizontal (dit axe réel). C'est possible représenter géométriquement nombres complexesqui sont sous forme algébrique.

Grâce à cette représentation géométrique, il est possible développer certains concepts, tels que le module et l'argument d'un nombre complexe. Les nombres complexes sont représentés algébriquement par z = a + bi, ils sont donc représentés par des points (a, b), ce qu'on appelle un affixe.

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Représentation géométrique des nombres complexes

Représentation des nombres complexes dans le plan d'Argand-Gauss

Le plan complexe, également connu sous le nom de plan d'Argand-Gauss, n'est rien de plus qu'unplan cartesien pour les nombres complexes. Dans le plan d'Argand-Gauss, il est possible de représenter un nombre complexe sous la forme d'un point, appelé affixe. Avec l'élaboration du plan complexe, il y a le développement de

Géométrie analytique pour les nombres complexes, ce qui permet de développer des concepts importants tels que module et argument.

Un nombre complexe représenté sous sa forme algébrique est z = a+bi, sur quoi le est la vraie partie et B est la partie imaginaire. Par conséquent, les nombres complexes sont représentés par un point (a, b). Dans le plan d'Argand-Gauss, l'axe horizontal est l'axe de la partie réelle et l'axe vertical est l'axe de la partie imaginaire.

Affixe

O point du plan représentant un nombre complexe il est aussi appelé affixe. Il existe trois cas de représentation possibles: les affixes imaginaires, les affixes réels et les affixes imaginaires purs.

• affixes imaginaires

Un affixe est dit imaginaire lorsque le nombre complexe possède à la fois un partie réelle et partie imaginaire non nulle. Dans ce cas, l'affixe est un point dans l'un des quatre quadrants, en fonction des valeurs de a, b et de leurs signes respectifs.

Exemple:

Voir la représentation des nombres complexes z₁ = 2 +3i, z₂ = -3 - 4i, z₃ = -2 + 2i et z₄= 1 - 4i.

Voir aussi: Propriétés impliquant des nombres complexes

• affixes imaginaires purs

Un nombre complexe est connu comme un imaginaire pur, quand ta partie réelle est égale à zéro, c'est-à-dire z = bi. Notez que dans ce cas la première coordonnée est toujours zéro, donc travaillons avec des points de type (0, b). Lors du marquage dans le plan Argand-Gauss, un affixe imaginaire pur toujours sera un point appartenant à l'axe imaginaire, c'est-à-dire à l'axe vertical.

Exemple:

Voir la représentation des nombres complexes z₁ = 2i et z₂= -3i.

• de vrais affixes

Un nombre complexe est classé comme un nombre réelquand ton la partie imaginaire est égale à zéro, c'est-à-dire z = a. Dans ce cas, la deuxième coordonnée est toujours nulle, on va donc travailler avec des points de type (a, 0), donc la partie imaginaire est nulle et les affixes sont contenus dans l'axe réel du plan complexe.

Exemple:

Voir la représentation des nombres complexes z₁ = 2 et z₂ = -4.

Module de nombres complexes

Lors de la représentation d'un nombre complexe, soit P (a, b) l'affixe du nombre complexe z = a + bi. On connaît le module du nombre complexe a distance du point P à l'origine. Le module d'un nombre complexe z est représenté par |z|. Pour trouver la valeur de |z|, nous utilisons le théorème de Pythagore.

|z|² =a²+b²

On peut aussi représenter par :

Exemple:

Trouvez le module du nombre complexe z = 12 -5i.

|z|² = 12² + (-5)²

|z|² 144 + 25

|z|²= 169

|z|=√169

|z| =13

Accédez également à: Que sont les nombres rationnels ?

argument de nombre complexe

Nous savons comment argument d'un nombre complexe O angle formé par le vecteur OP et l'axe réel. L'argument d'un nombre est représenté par arg(z) = .

Pour trouver l'angle, on utilise le rapports trigonométriques sinus et cosinus.

Pour trouver la valeur de l'argument, connaissant le sinus et le cosinus, il suffit de consulter le tableau des valeurs de ces rapports trigonométriques. Habituellement, dans les examens d'entrée au collège sur ce sujet, l'argument est un angle remarquable.

Exemple:

Trouvez l'argument du nombre complexe z = 1 + i.

Calculons d'abord le module de z.

|z|² = 1² + 1²

|z|² = 1+1

|z|² = 2

|z| = 2

Connaissant |z|, on peut calculer le sinus et cosinus de l'angle.

L'angle qui a un sinus et un cosinus avec les valeurs trouvées est de 45º.

exercices résolus

Question 1 - Quel est l'argument du nombre complexe z = √3+ i ?

A) 30

B) 45e

C) 60e

D) 90º

E) 120e

Résolution

Variante C.

On sait que a = √3 et b = 1, donc :

Question 2 - Dans le plan complexe suivant, certains nombres ont été représentés. En analysant le plan, on peut dire que les points sont des représentations de nombres imaginaires purs :

A) M, N et moi.

B) P et moi.

C) L et G.

D) O, je, G.

E) K, J et L.

Résolution

Variante B.

Pour identifier un nombre imaginaire pur dans le plan complexe, il faut qu'il soit au-dessus de l'axe vertical, qui, dans ce cas, sont les points P et I.

Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm