Théorème de décomposition polynomiale

Le théorème fondamental de l'algèbre pour équations polynomiales garantit que "polynôme à chaque degré n° 1 a au moins une racine complexe". La preuve de ce théorème a été faite par le mathématicien Friedrich Gauss en 1799. À partir de là, nous pouvons démontrer la théorème de décomposition polynomiale, ce qui garantit que tout polynôme peut être décomposé en facteurs du premier degré. Prenons le polynôme suivant p(x) de grade n 1 et le_non ≠ 0:

p(x) = un_non X^non + le_n-1 X^n-1 + … + le₁X¹ + le₀

Grâce au théorème fondamental de l'algèbre, nous pouvons affirmer que ce polynôme a au moins une racine complexe. vous₁, tel que p(u₁) = 0. O Le théorème de D'Alembert au division de polynômes déclare que si p(u₁) = 0, ensuite p(x) est divisible par (x - tu₁), ce qui donne un quotient quelle₁(X), qui est un polynôme de degré (n - 1), ce qui nous amène à dire :

p (x) = (x - u₁). quelle₁(X)

A partir de cette équation, il faut mettre en évidence deux possibilités :

Si u = 1 et quelle₁(X) est un polynôme de degré

(n - 1), ensuite quelle₁(X) a un diplôme 0. En tant que coefficient dominant de p(x) é le_non, quelle₁(X) est un polynôme constant de type quelle₁(X)=le_non. Donc nous avons:

p (x) = (x - u₁). quelle₁(X)
(x) = (x - u₁). le_non
p(x) = un_non . (x - tu₁)

Mais si tu 2, alors le polynôme quelle₁ a un diplôme n - 1 1 et le théorème fondamental de l'algèbre est vrai. On peut dire que le polynôme quelle₁ a au moins une racine non₂, ce qui nous amène à dire que quelle₁ peut s'écrire comme :

quelle₁(x) = (x - u₂). quelle₂(X)

Mais comment p (x) = (x - u₁). quelle₁(X), on peut le réécrire comme :

p (x) = (x - u₁). (x - tu₂). quelle₂(X)

En répétant successivement ce processus, nous aurons :

p(x) = un_non. (x - tu₁). (x - tu₂) … (x – u_non)

Ainsi, nous pouvons conclure que toute équation polynomiale ou polynomiale p(x) = 0 de grade n° 1 posséder exactement non racines complexes.​

Exemple: Être p(x) un polynôme de degré 5, de telle sorte que ses racines soient – 1, 2, 3, – 2 et 4. Écrivez ce polynôme décomposé en facteurs du 1er degré, en considérant le coefficient dominant égal à 1. Il doit être écrit sous forme étendue :

si – 1, 2, 3, – 2 et 4 sont les racines du polynôme, donc le produit des différences de X pour chacune de ces racines donne p(x):

p(x) = un_non.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

Si le coefficient dominant le_non = 1, on a:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x⁴ – 2x³ – 7x² + 8x + 12. (x – 4)
p(x) = x⁵ – 6x⁴ + x³ + 36x² – 20x – 48

Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm