Le théorème fondamental de l'algèbre pour équations polynomiales garantit que "polynôme à chaque degré n° 1 a au moins une racine complexe". La preuve de ce théorème a été faite par le mathématicien Friedrich Gauss en 1799. À partir de là, nous pouvons démontrer la théorème de décomposition polynomiale, ce qui garantit que tout polynôme peut être décomposé en facteurs du premier degré. Prenons le polynôme suivant p(x) de grade n 1 et lenon ≠ 0:
p(x) = unnon Xnon + len-1 Xn-1 + … + le1X1 + le0
Grâce au théorème fondamental de l'algèbre, nous pouvons affirmer que ce polynôme a au moins une racine complexe. vous1, tel que p(u1) = 0. O Le théorème de D'Alembert au division de polynômes déclare que si p(u1) = 0, ensuite p(x) est divisible par (x - tu1), ce qui donne un quotient quelle1(X), qui est un polynôme de degré (n - 1), ce qui nous amène à dire :
p (x) = (x - u1). quelle1(X)
A partir de cette équation, il faut mettre en évidence deux possibilités :
Si u = 1 et quelle1(X) est un polynôme de degré
(n - 1), ensuite quelle1(X) a un diplôme 0. En tant que coefficient dominant de p(x) é lenon, quelle1(X) est un polynôme constant de type quelle1(X)=lenon. Donc nous avons:p (x) = (x - u1). quelle1(X)
(x) = (x - u1). lenon
p(x) = unnon . (x - tu1)
Mais si tu 2, alors le polynôme quelle1 a un diplôme n - 1 1 et le théorème fondamental de l'algèbre est vrai. On peut dire que le polynôme quelle1 a au moins une racine non2, ce qui nous amène à dire que quelle1 peut s'écrire comme :
quelle1(x) = (x - u2). quelle2(X)
Mais comment p (x) = (x - u1). quelle1(X), on peut le réécrire comme :
p (x) = (x - u1). (x - tu2). quelle2(X)
En répétant successivement ce processus, nous aurons :
p(x) = unnon. (x - tu1). (x - tu2) … (x – unon)
| Ainsi, nous pouvons conclure que toute équation polynomiale ou polynomiale p(x) = 0 de grade n° 1 posséder exactement non racines complexes. |
Exemple: Être p(x) un polynôme de degré 5, de telle sorte que ses racines soient – 1, 2, 3, – 2 et 4. Écrivez ce polynôme décomposé en facteurs du 1er degré, en considérant le coefficient dominant égal à 1. Il doit être écrit sous forme étendue :
si – 1, 2, 3, – 2 et 4 sont les racines du polynôme, donc le produit des différences de X pour chacune de ces racines donne p(x):
p(x) = unnon.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
Si le coefficient dominant lenon = 1, on a:
p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x4 – 2x³ – 7x² + 8x + 12. (x – 4)
p(x) = x5 – 6x4 + x³ + 36x² – 20x – 48
Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm
