Dans chaque division, nous avons dividende, diviseur, quotient et reste, comme nous parlons de diviser polynôme par polynôme, nous aurons :
À dividende un polynôme G(x)
À diviseur un polynôme D(x)
À quotient un polynôme Q(x)
À du repos (peut être zéro) un polynôme R(x)
Preuve réelle :
Il y a quelques observations à faire, telles que:
- à la fin de la division, le reste doit toujours être inférieur au diviseur: R(x) < D(x).
- lorsque le reste est égal à zéro, la division est considérée comme exacte, c'est-à-dire que le dividende est divisible par le diviseur. R(x) = 0.
Notez la division de polynôme par polynôme ci-dessous, commençons par un exemple, chaque étape franchie dans le développement de la division sera expliquée.
étant donné la division
(12x3 + 9 - 4x): (x + 2x2 + 3)
Avant de commencer l'opération, nous devons faire quelques vérifications:
- si tous les polynômes sont dans l'ordre selon les puissances de x.
Dans le cas de notre division, nous devons ordonner, ainsi :
(12x3 - 4x + 9): (2x2 + X + 3)
- observer si le polynôme G(x) ne manque aucun terme, si c'est le cas, il faut compléter.
Dans le polynôme 12x3 - 4x + 9 le terme x est manquant2, le compléter ressemblera à ceci:
12x3 + 0x2 - 4x + 9
Nous pouvons maintenant commencer la division :
- G(x) a 3 termes et D(x) a 3 termes. On prend le 1er terme de G(x) et on le divise par le 1er terme de D(x): 12x3: 2x2 = 6x, le résultat va se multiplier le polynôme 2x2 + x + 3 et le résultat de cette multiplication nous soustrairons par le polynôme 12x3 + 0x2 - 4x + 9. On aura donc :
- R(x) > D(x), nous pouvons continuer la division en répétant le même processus que précédemment. Trouver maintenant le second terme de Q(x).
R(x) < D(x), on ne continue pas la division, en concluant que :
Le quotient est 6x – 3 et le reste est –19x + 18.
par Danielle de Miranda
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-polinomio-por-polinomio.htm