LES mathématiques financières est l'un des domaines des mathématiques chargés d'étudier phénomènes liés au monde financier. De plus, étudier leurs concepts est très important, car, dans notre vie quotidienne, ils sont de plus en plus plus de cadeaux, par exemple, lorsque nous recevons un rabais lors de l'achat de quelque chose en espèces ou un supplément lors de l'achat de quelque chose versements.
L'étude des mathématiques financières nécessite une connaissance préalable de pourcentage, nous verrons que tous les concepts sont basés sur ce thème.
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A quoi servent les mathématiques financières ?
Les mathématiques financières sont utilisées quotidiennement, par exemple, lorsque nous allons effectuer un achat au comptant et que le vendeur propose un remise 5% sur la valeur du produit, ou lorsque nous choisissons d'acheter un produit en plusieurs fois et, dans ce processus, un taux d'intérêt il est facturé à l'acheteur au fur et à mesure.
Un exemple de l'importance de comprendre les concepts des mathématiques financières est appelé limite de découvert. Lors de l'ouverture d'un compte dans une certaine banque, de l'argent « supplémentaire » est proposé, en cas d'urgence par exemple. Cependant, lors de l'utilisation de cette limite ou d'une partie de celle-ci, des frais à payer ultérieurement sont facturés, en plus de l'argent prélevé. Ce taux est appelé intérêt, et en comprenant mieux ces concepts, nous pouvons concevoir une meilleure stratégie pour gérer nos finances.
Exemple 1
Une personne a besoin de 100 reais pour finir de payer ses factures mensuelles, mais la totalité de son salaire a déjà été dépensée pour les autres factures. En analyse, cette personne a trouvé qu'il avait deux options.
Option 1 – Utiliser la limite de découvert proposée par la banque, au taux de 0,2% par jour, à régler en un mois.
Option 2 – Obtenez les 100 reais d'un ami, à raison de 2% par mois, à payer pendant deux mois.
En utilisant uniquement le pourcentage de connaissance, analysons la meilleure option.
analyser le Option 1, notez que le taux de 0,2% est facturé par jour, c'est-à-dire que 0,2% du montant du prêt est ajouté chaque jour, comme ceci :
Comment le prêt doit être payé en un mois, et compte tenu du mois avec 30 jours, le montant des intérêts à payer est :
0,2 ·30
6
Ainsi, nous pouvons conclure que le montant à payer à la fin d'un mois est :
100 + 6= 106 reais
100 → Montant prêté par la banque
6 → Montant des intérêts
Analysant maintenant le Option 2, les frais facturés sont de 2% par mois et doivent être payés dans les deux mois, c'est-à-dire que chaque mois, 2% du montant emprunté s'ajoutent à la dette, comme ceci :
A noter que 2 reais par mois doivent être ajoutés au montant de la dette :
2 · 2 = 4
Par conséquent, le montant à payer à la fin de la période est :
100+ 4 = 104 réaux
100 → Montant emprunté par l'ami
4 → Montant des intérêts
Ainsi, nous pouvons conclure que la meilleure option est de prendre l'argent avec l'ami. C'est un simple et important application des mathématiques financièresBien sûr, il existe des problèmes, des outils et des concepts plus sophistiqués, mais comme tout le reste dans la vie, avant de comprendre la partie complexe, il est nécessaire de comprendre les bases.
Notions de base en mathématiques financières
Les principaux concepts des mathématiques financières impliquent des connaissances préalables sur les pourcentages. Ensuite, nous verrons des concepts tels que l'addition, l'escompte, l'intérêt simple et l'intérêt composé.
une addition
L'idée de l'addition est associée à ajouter ou ajouter une partie de la valeur à sa valeur d'origine, c'est-à-dire que nous ajoutons un pourcentage d'une certaine valeur à lui-même. Voir l'exemple :
Exemple 2
Un produit coûtait 35 reais, avec l'augmentation du dollar, il a augmenté de 30%. Déterminez la nouvelle valeur de ce produit.
Souvent, quand on va faire les calculs liés aux additions, ils sont mal effectués en écrivant :
35 + 30%
Le pourcentage représente une partie de quelque chose, donc pour que ce compte soit correct, nous devons d'abord calculer 30% de la valeur initiale, dans ce cas 35. Ainsi:
35 + 30% de 35
En résolvant d'abord le pourcentage puis en additionnant les valeurs, nous devrons :
Par conséquent, avec l'ajout, la valeur du produit sera de 45,5 reais (quarante-cinq reais et cinquante cents).
D'une manière générale, on peut en déduire une formule d'addition. Considérons une valeur x et qu'elle subit une augmentation de p%. D'après ce que nous venons de définir, nous pouvons écrire cette addition comme suit :
x + p% de x
En développant cette expression, nous devrons :
Reprenons l'exemple 2 en utilisant la formule ci-dessus. Notez que x = 35 et l'augmentation était de 30 %, c'est-à-dire p = 30 %.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Notez que la même valeur a été obtenue, et c'est une option d'utiliser une telle formule.
Voir aussi: Quantités inversement proportionnelles
Rabais
L'idée de remise est similaire à l'idée d'ajouter, la seule différence est qu'au lieu d'ajouter, nous devrions soustraire un pourcentage du montant initial.
Exemple 3 – Un produit qui coûte 60 reais, lorsqu'il est acheté en espèces, bénéficie d'une remise de 30 %. Déterminez la nouvelle valeur de ce produit.
Semblable à l'ajout, nous devrons:
De manière analogue à l'addition, on peut en déduire une formule de remise. Considérons une valeur x et qu'elle subit une remise de p%. D'après ce que nous avons défini, nous pouvons écrire cette addition comme suit :
x - p% de x
En développant cette expression, nous devrons :
Reprenons l'exemple 3 en utilisant la formule ci-dessus, notons que x = 60 et l'augmentation était de 30%, c'est-à-dire p = 30%.
x · (1 - 0,01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Voyez que, en utilisant la formule, nous avons obtenu le même résultat, donc dans la remise, nous avons également deux options pour le déterminer.
intérêt simple
L'idée derrière le intérêt simple c'est aussi similaire à l'idée d'addition, la différence entre eux est donnée par la période au cours de laquelle ils sont calculés. Alors que le taux de majoration est appliqué une seule fois, le taux d'intérêt simple est calculé dans un intervalle de temps. On peut calculer l'intérêt simple d'un capital donné C, appliqué à un taux donné à un régime d'intérêt simple (i), dans une période de temps t donnée, par formule:
J = C · i · t
Le montant payé à la fin de cet investissement doit être donné par l'argent appliqué plus le montant des intérêts et est appelé montant (M). Le montant est donné par l'expression :
M = C + J
M = C + C·i·t
M = C (1 + lui)
La seule préoccupation que nous devrions avoir en ce qui concerne les problèmes d'intérêt simple est la unités de mesure de taux et de temps, ils doivent toujours être en unités égales.
Exemple 4
Marta veut investir 6 000 R$ dans une entreprise qui promet de générer des bénéfices de 20 % par an sous un régime d'intérêt simple. Le contrat conclu par Marta stipule qu'elle ne peut retirer l'argent qu'après six mois, déterminer quel était le retour sur son argent à la fin de cette période.
En observant l'énoncé, voyez que le capital est égal à 6000, nous avons donc C = 6000. Le taux d'intérêt est de 20 % par an et l'argent sera investi pendant six mois. Notez que le taux a été donné dans l'année, et le temps en mois, et nous savons que l'unité de mesure pour les deux doit être la même. Trouvons les frais mensuels, voir:
On sait que le taux est de 20% par an, comme une année a 12 mois, donc le taux mensuel sera :
20%: 12
1,66% par mois
0,016 par mois
En remplaçant ces données dans la formule, nous devons :
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reais
Par conséquent, le montant à retirer à la fin des six mois est de 576 reais, et le montant est de :
M = 6000 + 576
M = 6576 reais
Lire la suite: Comprendre l'utilisation d'un çcalculateur Ffinancier
Intérêts composés
En intérêt simple, la valeur du taux d'intérêt est toujours calculée en plus du capital initial, la différence entre ces deux systèmes (intérêt simple et intérêt composé) est précisément à ce point, c'est-à-dire dans la façon dont le taux est calculé. En intérêts composés, le taux d'intérêt est toujours calculé en plus du principal du mois précédent, cela fait que l'intérêt augmente sa valeur de façon exponentielle. LES formule pour calculer les intérêts dans le système d'amortissement des intérêts composés est donnée par :
M = C · (1 + i)t
Sur quoi M est le montant accumulé, Ç est la valeur du capital initial, je est le taux d'intérêt donné en pourcentage, et t est la période pendant laquelle le capital a été investi dans le système. Comme pour l'intérêt simple, dans le système d'intérêt composé, le taux et le temps doivent être dans la même unité.
Exemple 5
Calculez le montant du montant que Marta percevrait à la fin des six mois en appliquant ses 6000 reais à un taux d'intérêt de 20% par an dans le système d'intérêt composé.
(Donné: 1.20,5 ≈ 1,095)
Notez que les données sont les mêmes que dans l'exemple 4, nous devons donc :
C = 6000
i = 0,2 p.a.
t = 0,5 ans
En remplaçant les données dans la formule des intérêts composés, nous devons :
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1 095
M = 6572,67 reais
Par conséquent, le montant à retirer par Marta dans le système d'intérêt simple est de 6572, 67 reais. Notez que le montant dans le système d'intérêt composé est plus élevé que dans le système d'intérêt simple, et cela se produit dans tous les cas. Pour mieux comprendre comment ce taux est calculé, visitez: Frais çopposétoi.
exercices résolus
question 1 – (FGV – SP) Un capital appliqué aux intérêts simples, au taux de 2,5% par mois, triple par :
a) 75 mois
b) 80 mois
c) 85 mois
d) 90 mois
e) 95 mois
Résolution
Variante B.
Il faut trouver le moment où l'intérêt est égal à 2C, car, avec l'intérêt ainsi additionné au capital initialement appliqué de C, on aura le montant de 3C (le triple du capital). Ainsi:
J = 2C; C=C; i = 2,5 % par mois; t = ?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Ainsi, le temps de triplement de ce capital est de 80 mois.
Remarque: 80 mois équivaut à 6,6 ans.
question 2 – Une matière première, après avoir subi une hausse de 24%, a vu son prix passer à 1041,60 reais. Déterminez la quantité avant d'ajouter.
Résolution
Nous pouvons utiliser la formule d'addition générale pour déterminer la valeur de la marchandise avant l'addition.
x · (1 + 0.01p)
Dans la formule, la valeur x est ce que nous recherchons et p est la valeur de l'addition, et cette expression nous donne la valeur du produit après l'addition, d'où :
1041.60 = x · (1 + 0.01p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Voir que nous avons une équation du premier degré, pour la résoudre, nous devons isoler l'inconnu x, en divisant les deux côtés de l'égalité par 1,24, ou, simplement, passer la division de 1,24. Ainsi:
Par conséquent, la valeur de la marchandise avant l'ajout était de 840 reais.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm
