Nombres naturels: apprenez-en plus sur cet ensemble !

Toi nombres naturels ont été le premier ensemble numérique à être pris en compte, historiquement. Ils sont sortis de la besoin de compter de l'être humain. L'ensemble des nombres naturels a pour éléments les nombres positifs et entiers, tels que 1, 2, 3, 4, …. Cet ensemble a les opérations d'addition, soustraction, multiplication, division, potentialisation et radiation.

Que sont les nombres naturels ?

les nombres naturels sont des nombres strictement positif qui n'ont pas de virgule, c'est-à-dire qu'ils représentent des quantités ensemble. L'ensemble des nombres naturels peut être représenté comme suit :

L'ensemble des nombres naturels est un ensemble infini, c'est-à-dire que, étant donné tout nombre naturel, il y a au moins un nombre supérieur à lui. Voir quelques exemples d'éléments qui appartiennent et n'appartiennent pas à cet ensemble.

D'après l'exemple ci-dessus, nous avons que les nombres 10, 2 et 100 appartiennent à l'ensemble naturel, et les nombres 1,65, -2 et 0 n'appartiennent pas à l'ensemble naturel.

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Successeur d'un nombre naturel

L'ensemble des nombres naturels est le premier que nous avons appris à l'école.

Comme nous l'avons dit plus haut, l'ensemble des nombres naturels est un ensemble infini, c'est-à-dire étant donné n'importe quel nombre non naturel, il y a toujours n+1, aussi naturel. Le nombre n+1 est appelé le successeur de n.m. Pour déterminer le successeur d'un nombre naturel, il suffit de ajouter 1 à ce nombre. A titre d'exemple, déterminons les successeurs des nombres 3, 1, 5 et 2p + 1.

Le successeur du nombre 3 est donné par 3+1, c'est-à-dire le nombre 4. De même, les successeurs de 1 et 5 sont respectivement 2 et 6. Suivant la définition du successeur, supposons que le successeur de 2p + 1 soit 2p + 1 + 1, c'est-à-dire 2p + 2.

Avec la définition de successeur, l'idée que l'ensemble des nombres naturels est infini devient plus claire, puisqu'il est toujours possible de trouver n'importe quel successeur d'un nombre naturel.

Ancêtre d'un nombre naturel

Le prédécesseur d'un nombre naturel non est celui qui précède ce nombre non. On peut écrire le prédécesseur de non aimer n - 1. A titre d'exemple, déterminons les prédécesseurs des nombres 2, 5, 1000 et 2p + 1.

Le prédécesseur de 2 est donné par 2 - 1, c'est donc le nombre 1. De même, les prédécesseurs de 5 et 1000 sont respectivement les nombres 4 et 999. Le prédécesseur du nombre 2p + 1 est 2p + 1 – 1, c'est-à-dire que le prédécesseur de 2p +1 est le nombre 2p.

Il est important de dire que tous les nombres naturels n'ont pas de prédécesseur, est le cas du numéro 1. En appliquant la définition d'ancêtre, nous avons que le prédécesseur du nombre 1 est 1 - 1 = 0, mais le nombre zéro n'appartient pas aux nombres naturels. Par conséquent, chaque nombre naturel a un prédécesseur, à l'exception du nombre 1. Pour cette raison, le nombre 1 est appelé l'élément minimum des naturels, c'est-à-dire le plus petit nombre naturel. Nous pouvons écrire ces informations comme ceci :

Sous-ensemble de nombres naturels

On sait que l'ensemble des nombres naturels est constitué de nombres strictement positifs, c'est-à-dire de nombres supérieurs à zéro. De la théorie de ensembles, on a que, étant donné les ensembles A et B, on dit que B est un sous-ensemble de A si chaque élément de B est un élément de A, c'est-à-dire que B est contenu dans A (B A).

Ainsi, tout ensemble formé par des nombres naturels sera un sous-ensemble des nombres naturels. Voir quelques exemples :

Considérez les ensembles :

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Les ensembles A, B et C sont des sous-ensembles des nombres naturels, car tous les éléments de ces ensembles sont également des éléments des naturels, c'est-à-dire que nous pouvons dire que :

Regardez maintenant l'ensemble D. Notez que, dans cet ensemble, tous les éléments n'appartiennent pas à l'ensemble des nombres naturels. C'est le cas du nombre 0. Par conséquent, D ce n'est pas un sous-ensemble des nombres naturels, c'est-à-dire que D n'est pas contenu dans l'ensemble des nombres naturels. On note ce fait de la manière suivante :

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nombres naturels pairs

On dit qu'un nombre est pair s'il est multiple du nombre 2, ce qui revient à dire que ce nombre est divisible par 2. Voir:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}

Parce que l'ensemble des nombres naturels est un ensemble infini, l'ensemble des nombres pairs l'est aussi. Notez également que chaque élément de l'ensemble des nombres pairs est également un élément des nombres naturels et donc l'ensemble des les nombres pairs sont un sous-ensemble des naturels..

Regarde ça:

2 = 2 · 1

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 4

10 = 2 ·5

12 = 2 · 6

L'ensemble des nombres pairs peut être obtenu en multipliant tous les nombres naturels par le nombre 2. Donc en considérant un nombre naturel non, on peut écrire un nombre pair en utilisant l'expression 2n, donc l'ensemble des nombres pairs peut s'écrire en général par :

A titre d'exemple, découvrons si les nombres 1000, 2098 et 55 sont pairs.

Puisque 1000 = 2 · 500 et 2098 = 2 · 1049, ils sont pairs car il existe un nombre naturel qui, multiplié par 2, leur donne. Maintenant, 55 n'est pas pair, car il n'y a pas de nombre naturel qui, multiplié par 2, donne 55. Voir:

54 = 2 · 27

56 = 2 · 28

Comme nous le savons bien, il n'y a pas d'entier naturel entre 27 et 28, donc 55 n'est pas pair.

Nombres naturels impairs

Un nombre est impair s'il n'est pas pair, c'est-à-dire lorsqu'il n'est ni multiple ni divisible par 2. Ainsi, l'ensemble de les nombres naturels impairs sont des nombres naturels qui ne sont pas des multiples de 2. Cet ensemble peut s'écrire comme suit :

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}

De manière analogue à ce que nous avons fait dans l'ensemble des nombres pairs, nous avons :

3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1

L'ensemble des nombres impairs peut être obtenu en multipliant tous les nombres naturels par 2 et en ajoutant 1. en considérant un nombre naturel non any, nous pouvons écrire n'importe quel nombre impair en utilisant l'expression 2n + 1. D'une manière générale, nous représentons l'ensemble des nombres impairs par :

Notez que l'ensemble des nombres impairs est également un ensemble infini, car pour obtenir les nombres impairs, nous multiplions les nombres naturels par 2 puis ajoutons 1. Pour cette raison, le ensemble de nombres impairs est également un sous-ensemble de naturels., car chaque élément de cet ensemble est aussi un élément des naturels.

Voir aussi: Propriétés des nombres pairs et impairs

exercices résolus

question 1 – Indiquez uniquement les nombres naturels des nombres énumérés ci-dessous :

0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 et 98 765

Solution

Nous savons que l'ensemble des nombres naturels est constitué de nombres strictement positifs qui n'ont pas de virgule, donc les nombres naturels de la liste sont: 1, 2 et 98 765.

question 2 – Considérant la forme générale d'un nombre pair, est-il vrai qu'en additionnant deux nombres pairs, le résultat est toujours pair? Idem pour les nombres impairs ?

Solution

Nous savons qu'un nombre pair peut s'écrire en général en multipliant n'importe quel nombre naturel par 2. Considérons deux nombres naturels distincts, 2n et 2m, où m et non tout entier naturel, la somme des deux est déterminée par :

2n + 2m

En mettant le chiffre 2 en évidence, on a :

2 ·(n+m)

Comme non et m sont deux nombres naturels, leur somme est aussi, donc n + m = k, où k un nombre naturel.

2 ·(n+m)

2 · k

Par conséquent, la somme de deux nombres naturels pairs est également un nombre pair, car la somme a donné un multiple de 2.

Maintenant, nous savons qu'un nombre impair est donné en multipliant un nombre naturel par 2 ajouté au nombre 1. Considérons maintenant deux nombres impairs distincts, 2n +1 et 2m + 1, avec m et non Naturel. En additionnant ces nombres, nous avons :

2n+1 + 2m +1

2n + 2m +2

En mettant à nouveau le chiffre 2 en évidence, nous avons :

2 (n+m+1)

Notez que n + m + 1 est un nombre naturel et nous pouvons le représenter par p, c'est-à-dire, n + m + 1 = p, bientôt:

2 ·(n+m+1)

2 · P

Notez que le résultat de l'addition de deux nombres impairs a donné un multiple de 2, c'est-à-dire pair. Par conséquent, la somme de deux nombres impairs est un nombre pair.

Question 3 - (Offre / Préf. d'Itaboraí) Le quotient entre deux nombres naturels est 10. En multipliant le dividende par 5 et en réduisant le diviseur de moitié, le quotient de la nouvelle division sera :

a) 2

b) 5

c) 25

d) 50

e) 100

Solution

Selon l'énoncé, le quotient (division) entre deux nombres naturels est 10. Puisque nous ne savons toujours pas quels sont ces nombres, nommons-les par m et non, ensuite: