Les permutations font partie des problèmes de comptage. Nous utilisons des permutations pour connaître le nombre d'ordres des éléments dans un ensemble. Mettez en pratique vos connaissances sur la permutation et résolvez vos doutes avec les exercices résolus.
Exercice 1
Deux amis jouaient avec des dés à six faces. On sait que les numéros 4, 1, 2 et 5 sont sortis, pas nécessairement dans cet ordre. Combien de séquences de résultats aurait-il pu y avoir ?
Réponse: 24
Un certain ordre des résultats pourrait être :
1, 2, 4 et 5 ou
5, 4, 5 et 1 ou
4, 5, 1 et 2
Pour déterminer le nombre total de commandes possibles, nous calculons une permutation avec quatre éléments distincts.
Exercice 2
Un groupe de six amis est allé voir un film au cinéma et a acheté ses billets pour la même rangée de sièges. Considérant qu’il y a un couple et qu’ils sont assis sur des chaises voisines, de combien de façons ces amis pourraient-ils s’intégrer dans la rangée de chaises ?
Réponse: 240
Comme tous les éléments de l’ensemble « amis » sont pris en compte dans le calcul, il s’agit d’un problème de permutation.
Pour calculer le nombre total de permutations possibles, nous avons considéré 5 éléments, car le couple doit toujours être ensemble.
De plus, sur ces 120 possibilités, il faut multiplier par deux, car les couples peuvent échanger leurs places.
Ainsi, le nombre de façons possibles pour les amis de s'organiser dans la rangée de chaises est de :
120. 2 = 240
Exercice 3
Une classe de 7 élèves joue dans la cour profitant de leur temps de récréation. En entendant le signal annonçant le retour en classe, les élèves se déplacent pour former une file. De combien de manières différentes les élèves peuvent-ils former la séquence de file d’attente ?
Réponse: 5040
Le nombre total de façons possibles d’organiser la file d’attente est une permutation de 7 éléments distincts.
Exercice 4
Un photographe règle son appareil photo pour photographier 5 enfants disposés sur un banc. Dans ce groupe il y a 3 filles et 2 garçons. Une disposition possible des enfants pour la photo serait :
Compte tenu des positions dans lesquelles les enfants peuvent s'asseoir sur le banc, de combien de manières le photographe peut-il organiser les garçons et les filles, obtenant des photos différentes ?
Réponse: 10
Il s'agit d'un cas de permutation avec des éléments répétés. Il faut diviser le nombre total de permutations par le produit entre les permutations des éléments répétés.
Exercice 5
Combien d’anagrammes peut-on faire avec les lettres du mot PREFEITURA ?
Réponse: 907 200
Le mot CITY HALL comporte 10 lettres, dont certaines sont répétées. La lettre E apparaît deux fois, tout comme le R.
Nous calculons la division entre la permutation de 10 éléments et divisons par le produit des permutations d'éléments répétés.
Exercice 6
(UEMG 2019) De l'ensemble de toutes les permutations des lettres du mot PONTA, une est retirée au hasard. Quelle est la probabilité de supprimer un mot qui commence et se termine par une voyelle ?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Étape 1: nombre de toutes les permutations avec les lettres du mot PONTA.
Comme il y a cinq lettres distinctes, nous avons :
Étape 2: nombre de permutations qui commencent et se terminent par une voyelle.
Pour la première lettre, il y a deux options de voyelles, pour la dernière lettre, il n'y en aura qu'une.
Pour les consonnes il y en a 3! possibilités.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Étape 3: déterminer le rapport de probabilité.
Exercice 7
(EsPCex 2012) La probabilité d'obtenir un nombre divisible par 2 en choisissant au hasard une des permutations des chiffres 1, 2, 3, 4, 5 est
une) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Étape 1: permutations totales.
Comme il y a cinq éléments distincts, on a que le nombre de permutations de 5 éléments est égal à factorielle 5.
Étape 2: permutations de nombres divisibles par deux avec les cinq chiffres.
Pour être divisible par 2, il faut qu'il soit pair. Ainsi, il existe deux options pour le dernier chiffre, 2 et 4.
Pour les autres postes il y en a 4! possibilités.
Étape 3: calcul de probabilité.
Exercice 8
(EsFCEx 2022) Soit P l'ensemble des permutations de la séquence 1, 3, 6, 9, 12 dont le premier terme est différent de 1. Si l'une de ces séquences est tirée au hasard, la probabilité que le deuxième terme soit 3 est égale à p/q, avec p, q ∈ IN* et pgcd (p, q) = 1. Par conséquent, q – p est égal à
une) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Étape 1: déterminer le nombre total de cas possibles dans l’espace échantillon.
De droite à gauche, le premier chiffre ne peut pas être un, il y a donc 4 possibilités pour occuper la première position.
Ils sont 4 à occuper les autres postes! possibilités.
Les permutations sont :
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Étape 2: déterminer les possibilités que l'événement se produise, la seconde étant trois, la première étant différente d'un.
Les permutations sont :
3.1.3.2.1 = 18
Étape 3: rapport de probabilité.
Le rapport de probabilité est :
Avec p = 18 et q = 96.
Cependant, il existe toujours la condition selon laquelle le plus grand diviseur commun entre p et q est 1, ce qui ne se produit pas avec 18 et 96.
Il faut simplifier et tester des fractions équivalentes à 18/96.
Étape 4: simplification de la fraction de probabilité et détermination de p et q.
Comme pgcd (3, 16) = 1, p = 3 et q = 16.
Étape 5: conclusion.
q - p = 16 - 3 = 13
En savoir plus sur permutation.
Pour plus d'exercices, voir :
Exercices d'analyse combinatoire
ASTH, Rafael. Exercices de permutation résolus et expliqués.Tout compte, [s.d.]. Disponible en: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Accès à:
Voir aussi
- Analyse combinatoire
- Exercices d'analyse combinatoire
- Permutation: simple et avec répétition
- Arrangement en mathématiques: qu'est-ce que c'est, comment calculer, exemples
- 27 exercices de mathématiques de base
- Combinaison en mathématiques: comment calculer et exemples
- Exercices de probabilités
- Probabilité
