somme et produit C'est une méthode utilisée pour trouver les solutions d'un équation. Nous utilisons la somme et le produit comme méthode pour calculer les racines d'un équation du 2ème degré, du type ax² + bx + c = 0.
C'est une méthode intéressante lorsque les solutions de l'équation sont nombres entiers. Dans les cas où les solutions ne sont pas des nombres entiers, il peut être assez compliqué d'utiliser la somme et le produit, avec d'autres méthodes plus simples pour trouver les solutions de l'équation.
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Résumé sur la somme et le produit
- La somme et le produit est l'une des méthodes utilisées pour trouver les solutions d'une équation quadratique complète.
- Par la somme et le produit, étant donné l'équation du 2ème degré ax² + bx + c = 0, on a :
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- X1 C'est X2 sont les solutions de l'équation quadratique.
- a, b et c sont les coefficients de l'équation du 2ème degré.
Qu'est-ce que la somme et le produit ?
La somme et le produit sont une des méthodes que nous pouvons utiliser pour trouver les solutions d'une équation. Utilisés dans les équations du 2ème degré, la somme et le produit peuvent être une méthode plus pratique pour trouver les solutions des équation, car elle consiste à rechercher les nombres qui satisfont la formule somme et produit pour une donnée équation.
Somme et formule du produit
Dans une équation quadratique, du type ax² + bx + c = 0, avec des solutions égales à x1 et x2, par somme et produit, on a :
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Comment calculer les racines en utilisant la somme et le produit?
Pour trouver les solutions, on cherche d'abord les nombres entiers dont le produit est égal à \(\frac{c}{a}\).
On sait que les solutions de l'équation peuvent être positives ou négatives :
- Produit positif et somme positive: les deux racines sont positives.
- Produit positif et somme négative: les deux racines sont négatives.
- Produit négatif et somme positive: une racine est positive et l'autre est négative, et celle avec le plus grand module est positive.
- Produit négatif et somme négative: une racine est positive et l'autre est négative, et celle avec le plus grand module est négative.
Plus tard, après avoir listé tous les produits qui satisfont l'équation, nous analysons lequel satisfait l'équation. équation de la somme, c'est-à-dire quels sont les deux nombres qui satisfont l'équation du produit et de la somme simultanément.
Exemple 1:
Trouver les solutions de l'équation :
\(x²-5x+6=0\)
Au début, nous substituerons dans la somme et la formule du produit. Nous avons que a = 1, b = -5 et c = 6 :
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Puisque la somme et le produit sont positifs, les racines sont positives. En analysant le produit, nous savons que :
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Maintenant, nous allons vérifier lequel de ces résultats a une somme égale à 5, qui dans ce cas est :
\(2+3=5\)
Ainsi, les solutions de cette équation sont \(x_1=2\ et\ x_2=3\).
Exemple 2 :
Trouver les solutions de l'équation :
\(x^2+2x-24=0\ \)
Tout d'abord, nous allons substituer dans la somme et la formule du produit. Nous avons a = 1, b = 2 et c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Puisque la somme et le produit sont négatifs, les racines sont de signes opposés et celle qui a le plus grand module est négative. En analysant le produit, nous savons que :
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)
\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)
\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)
Maintenant, vérifions lequel de ces résultats a une somme égale à -2, qui dans ce cas vaut :
\(4+\gauche(-6\droite)=-2\)
Ainsi, les solutions de cette équation sont \(x_1=4\ et\ x_2=-6\) .
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Exercices résolus sur la somme et le produit
question 1
être y C'est z les racines de l'équation 4X2-3X-1=0, la valeur de 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Résolution:
Variante A
Calcul par somme et produit :
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Donc, nous devons :
\(4\gauche (y+4\droite)\gauche (z+4\droite)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ droite)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)
\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\gauche (y+4\droite)\gauche (z+4\droite)=75\)
question 2
Considérant l'équation 2X2 + 8x + 6 = 0, soit S la somme des racines de cette équation et P le produit des racines de l'équation, alors la valeur de l'opération (S-P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Résolution:
Variante B
Calcul par somme et produit :
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Donc, nous devons :
\(\gauche(-4-3\droite)^2=\gauche(-7\droite)^2=49\)
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
