Pyramides ce sont des figures géométriques qui apparaissent fréquemment, notamment en architecture. les pyramides sont Solides géométriques construit dans l'espace sur la base d'un polygone dans le plan et un point en dehors de ce plan. Comme il s'agit d'une figure en trois dimensions, il est possible de calculer son volume, en plus, on peut le planifier et ainsi trouver son aire.
Lire la suite: Point, ligne, plan, espace: concepts de base de la géométrie spatiale
Qu'est-ce que la Pyramide ?
Considérez un polygone avecvexo contenu dans un plan et un point H qui n'appartient pas au plan. Nous définissons le pyramide comme étant la réunion de tous les sommets du polygone convexe au point H.
Éléments d'une pyramide
Considérez la pyramide ci-dessous.
• Base de la pyramide : Polygone ABCDEF.
• Sommet de la pyramide: point H.
• Faces latérales: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF et FHA, qui sont les Triangles formé par l'union du sommet de la pyramide avec les sommets du polygone.
• Bords de base: AB, BC, CD, DE, EF et FA, qui sont les côtés de la base.
• Bords latéraux: AH, BH, CH, DH, EH et FH, qui sont les segments des faces latérales.
• Hauteur de la pyramide: h, qui est la distance entre le sommet de la pyramide et la base.
Établissons les notations de certains éléments :
• UNE surface de base sera noté AB.
• La zone de une face latérale sera représenté par AF.
• La somme des aires du visage est appelée zone latérale, et ceci est noté AL.
Ainsi, l'aire totale de la pyramide est donnée par la somme de l'aire de base (AB) avec la zone latérale (AL) et est noté AT, c'est à dire:
LEST = UnB + UnL
Savoir plus: Tronc de la pyramide: savoir ce que c'est et comment calculer votre superficie
Types de pyramides
De la même manière que nous nommons le prismes selon le polygone de base, on nomme aussi les pyramides suivant cette idée. Par exemple, si une pyramide a un Triangle, Elle s'appelle pyramide à base triangulaire, maintenant, si une pyramide est basée sur un quadrilatère, est appelé pyramide à base quadrangulaire, etc.
Les pyramides sont également divisées en deux groupes: droites et obliques. À pyramidesdroit sont appelés ainsi lorsque la projection de la sommet coïncide avec le centre de la base, sinon ils sont dits obliques. Voir les exemples ci-dessous :
Si dans une pyramide droite la base est un polygone régulier, alors la pyramide sera ordinaire. Dans ce type, la distance du sommet au centre de la base est la hauteur de la pyramide.
Le segment qui joint le sommet de la pyramide au milieu d'un bord de la base s'appelle un apothème de la pyramide, dans ce cas GI. Le segment qui relie le centre de la base au milieu d'une arête de la base est appelé apothème de la base, dans ce cas HI.
Notez les triangles GHI et GHF et notez qu'ils sont triangles rectangles, par conséquent, dans celui-ci le théorème de Pythagore c'est valable. Ainsi:
(IG)2 = (GH)2 + (SALUT)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Zone de la pyramide
LES zone de la pyramide est donnée par la somme des aires latérales et de l'aire de base, c'est-à-dire :
LEST = UnB + UnL
L'inexistence d'une formule spécifique est due au fait que les pyramides ont des bases différentes. Dans l'expression précédente, notez que l'aire totale AT dépend de la valeur de la surface de base. Voir quelques exemples.
• Exemple
Calculez l'aire totale d'une pyramide droite, dont la base est un carré de 10 m de côté et la hauteur d'une face latérale est égale à 13 m.
Solution
Initialement, nous allons dessiner la pyramide en fonction des données de l'exercice.
Notez que nous pouvons calculer la surface du visage avec les données fournies en utilisant la formule de la surface triangulaire.
Puisque nous avons quatre faces, l'aire latérale est égale à 65 · 4 = 260 m2.
Maintenant, il faut calculer l'aire de la base qui est un carré, donc :
Par conséquent, la surface de la pyramide est la somme de la surface latérale et de la surface de base.
LEST = UnB + UnL
LEST = 100+ 260
LEST = 360 m2
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volume de la pyramide
Considérons une pyramide de hauteur h.
Le volume de la pyramide est donné par le tiers du produit de l'aire de base (AB) et hauteur (h):
• Exemple
(Enem) Artur et Bernardo sont allés camper et ont chacun pris une tente. Les deux ont la forme d'une pyramide à base carrée, avec des bords latéraux congrus. La tente de Bernardo est 10 % plus haute en hauteur et en bords latéraux que celle d'Arthur. Ainsi, le rapport entre les volumes des tentes de Bernardo et d'Arthur, dans cet ordre, est :
Le) 1,1
B) 1,21
ç) 1,331
ré) 1,4641
et) 1,5
Solution
Dans un premier temps, nous allons calculer le volume de la tente d'Arthur, noté ici VLES. Puisque la base de la pyramide est un carré, son aire est la mesure du côté carré, représentons-la par L2.
Déterminons maintenant le volume de la tente de Bernardo, représenté par VB. Tout d'abord, notez que la hauteur et les bords sont 10% plus élevés par rapport à la tente d'Arthur, il faut donc :
HB = h + 10 % de h
HB = h + 0,1 · h
HB = 1,1 · h
De même pour la surface de base :
LESB = (1,1)2 · L2
Par conséquent, la zone de tente de Bernardo est :
Comme l'objectif de l'exercice est de trouver le rapport entre les volumes des tentes de Bernardo et d'Arthur, il faut :
Réalisez qu'on peut "couper" la fraction L2 · h sur 3, car il représente le même nombre.
Variante C
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
