À fractions algébriques sont des expressions algébriques fractionnaires qui ont au moins une inconnue au dénominateur. Souvent, il y a des facteurs qui apparaissent à la fois dans le numérateur et le dénominateur de ces fractions, laissant la possibilité de les simplifier. Ce que beaucoup ignorent, c'est qu'il existe certaines règles, étudiées depuis le début de l'école primaire, qui guident ce processus de simplification. Par conséquent, tout simplification qui enfreint ces règles a un grand potentiel de se tromper. Par conséquent, nous listons ci-dessous les trois erreurs les plus fréquentes dans la simplification des fractions algébriques et la manière correcte d'effectuer ces procédures.
Avant de continuer, nous vous recommandons de lire l'article Simplification des fractions algébriques pour ceux qui ont encore des doutes à ce sujet.
1 – Couper éléments égal au numérateur et au dénominateur
C'est l'erreur la plus courante. En début d'apprentissage, l'élève veut « découper » tous les mêmes éléments au numérateur et au dénominateur d'un
fraction algébrique. Cependant, ce ne sont pas des éléments égaux qui doivent être "coupés", mais, oui, les facteurs équivaut à.La règle est la suivante : S'il y a facteurs égaux au numérateur et au dénominateur, ces facteurs peuvent être coupés. Se souvenir du division entre eux donnera 1, ce qui n'influence pas une division ou multiplication. Comme ces facteurs disparaissent tout simplement, ce processus est devenu connu sous le nom de «coupe». N'oubliez pas non plus que les nombres dans une multiplication sont appelés facteurs.
Éléments ajoutés ou soustraits vous ne pouvez pas être coupé, car sa division ne donne pas 1. Ainsi, en prenant l'exemple ci-dessous qui implique une somme, nous verrons la manière correcte et incorrecte d'effectuer le simplification.
Exemple: Simplifiez la fraction algébrique suivante.
4x + 4 ans
x + y
Incorrect:
4X + 4oui = 4 + 4 = 8
X + oui
Notez que les nombres inconnus qui ont été coupés (surlignés en rouge) ne sont pas des facteurs d'une multiplication, mais plutôt des parties d'une addition. Par conséquent, la coupe faite ci-dessus est fausse.
Droite:
4x + 4 ans
x + y
faire le processus de factorisation polynomiale par facteur commun, on aura :
4(x + y) = 4
x + y
Au numérateur de la fraction algébrique, on trouve une multiplication où les facteurs sont 4 et x + y. Au dénominateur, on ne trouve que x + y. Notez que x + y est un facteur car il n'est pas ajouté ou soustrait par un autre nombre ou inconnu. Pour une meilleure vue, il suffit de mettre des parenthèses :
4(x + y) = 4
(x + y)
Si, au lieu de x + y, il n'y avait que le chiffre 4 au dénominateur, il serait également possible de simplifier, en coupant le chiffre 4 uniquement.
Maintenant, regardez un cas où il ne pourrait pas y avoir simplification:
4(x + y)
x + y + k
*k est un nombre quelconque, inconnu ou monôme.
2 – Factorisation du trinôme carré parfait en utilisant le processus de facteur commun en évidence
Presque chaque fois qu'un polynôme dans un fraction algébrique, il doit être factorisé. Après cela, les facteurs présents dans le numérateur et le dénominateur doivent être comparés à la recherche de ceux qui peuvent être simplifié (un autre mot pour "couper").
Ce qui se passe, c'est que les étudiants sont confrontés à un trinôme carré parfait et oublier que c'est le résultat d'un produit remarquable, il suffit de revenir à ce produit pour effectuer le factorisation. On essaie donc de mettre en évidence des facteurs communs.
Les personnes qui font ce genre de tentative font souvent l'erreur ci-dessus.
Notez l'exemple suivant, qui montre également la forme correcte et la forme de résolution incorrecte la plus fréquente.
Exemple: Simplifiez la fraction algébrique suivante.
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
Incorrect:
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
4(x2 + 2xy + y2)
x + y
ou alors
4(x + 2 ans) + 4 ans2
x + y
A noter qu'il n'est même pas possible de simplifier, précisément parce que le processus d'affacturage n'a pas été effectué correctement.
Droite:
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
(2x + 2 ans)2
x + y
(2x + 2 ans)(2x + 2 ans)
x + y
Dans cette étape, notez que le chiffre 2 est commun à tous les éléments des deux facteurs du numérateur. Dans cette situation, il est nécessaire de factoriser par facteur commun aux deux facteurs. Nous aurons comme résultat :
2·(x + y)·2·(x + y)
x + y
2·2·(x + y)(x + y)
x + y
4·(x + y)(x + y)
x + y
Maintenant, oui, nous pouvons couper le facteur qui se répète à la fois au numérateur et au dénominateur.
4·(x + y)(X + y)= 4·(x + y)
x + y
3 – Confondre les produits remarquables
Notez la liste des produits notables ci-dessous qui implique des carrés ou produit de la somme pour la différence.
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(x - y)2 = x2 –2xy + y2
(x+ y)(x – y) = x2 - oui2
Chaque fois qu'un polynôme prend la forme d'un trinôme carré parfait ou d'une différence de deux carrés - trouvé dans côté droit des égalités ci-dessus -, il est possible de les remplacer par le produit remarquable qui les a générées (côté gauche correspondant).
À simplification des fractions algébriques, oublier que le produit remarquable correspond au trinôme carré parfait est une erreur très récurrente - surtout quand il s'agit de la différence de deux carrés. Lorsqu'il apparaît, il est courant d'imaginer qu'il est déjà factorisé ou que l'exposant 2 peut être mis « en évidence » (et, bien sûr, il n'est pas possible de le faire).
Notez l'exemple suivant impliquant deux différences carrées :
Exemple: Simplifiez la fraction algébrique suivante.
4x2 – 4 ans2
x + y
Corriger:
N'oubliez pas que le numérateur est une différence de deux carrés et peut être remplacé par :
(2x - 2 ans)(2x + 2y)
x + y
La simplification se fera en mettant le 2 en évidence, encore une fois, dans les deux facteurs.
2·(x - y)·2·(x + y)
x + y
2·2·(x – y)·(x + y)
x + y
4·(x - y)·(x + y) = 4·(x – y)
x + y
Notez que, dans la différence de deux carrés, dans l'un des facteurs il y a une addition et, dans l'autre, une soustraction.
Incorrect:
Utilisez l'un des deux autres cas de produits notables :
4x2 – 4 ans2
x + y
(2x + 2 ans)(2x + 2y)
x + y
Ou "mettre l'exposant 2 en évidence":
4x2 – 4 ans2
x + y
4(x-y)2
x + y
Pour éviter ces deux dernières erreurs, nous vous suggérons de lire le texte somme carré, Facteur commun de preuve et potentialisation.
Bonnes études !
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-erros-comuns-na-simplificacao-fracao-algebrica.htm
