étudier le signe d'une fonction est de déterminer à quelles valeurs réelles de x la fonction est destinée. positif, négatif ou alors nul. La meilleure façon d'analyser le signal d'une fonction est de graphique, car cela nous permet une évaluation plus large de la situation. Analysons les graphes des fonctions ci-dessous, selon leur loi de formation.
Remarque: Pour construire un graphique d'un fonction 2ème degré, il faut déterminer le nombre de racines de la fonction, et si le parabole il a une concavité tournée vers le haut ou vers le bas.
∆ = 0, une racine réelle.
∆ > 0, deux racines réelles et distinctes
∆ < 0, pas de racine réelle.
Pour déterminer la valeur de et les valeurs des racines, utilisez la méthode de Bhaskara :
Coefficient a > 0, parabole avec concavité vers le haut
Coefficient a < 0, parabole avec la concavité tournée vers le bas
1er exemple :
y = x² - 3x + 2
x² - 3x + 2 = 0
Appliquer Bhaskara :
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
La parabole a une concavité ascendante car a > 0 et a deux racines réelles distinctes.
Analyse graphique
x < 1 ou x > 2, y > 0
Valeurs entre 1 et 2, y < 0
x = 1 et x = 2, y = 0
2e exemple :
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Appliquer Bhaskara :
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
La parabole a une concavité ascendante car a > 0 et une seule racine réelle.
Analyse graphique :
x = –4, y = 0
x ≠ –4, y > 0
3ème exemple :
y = 3x² - 2x + 1
3x² - 2x + 1 = 0
Appliquer Bhaskara :
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
La parabole a une concavité vers le haut à cause de a > 0, mais elle n'a pas de racines réelles parce que ∆ < 0.
Analyse graphique
La fonction sera positive pour toute valeur réelle de x.
4ème exemple :
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Appliquer Bhaskara :
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
La parabole a une concavité orientée vers le bas face à a< 0 et deux racines réelles distinctes.
Analyse graphique :
x < –3 ou x > 1/2, y < 0
Valeurs comprises entre – 3 et 1/2, y > 0
x = –3 et x = 1/2, y = 0
5e exemple :
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Appliquer Bhaskara :
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
La parabole a une concavité orientée vers le bas en raison d'un < 0 et d'une seule racine réelle.
Analyse graphique :
x = 6, y = 0
x 6, y < 0
par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
Fonction lycée - Les rôles - Math - École du Brésil