Exercices sur les systèmes linéaires résolus

Pratiquez vos connaissances des systèmes linéaires, un sujet mathématique important qui implique l'étude d'équations simultanées. Avec de nombreuses applications pratiques, ils sont utilisés pour résoudre des problèmes impliquant différentes variables.

Toutes les questions sont résolues étape par étape, où nous utiliserons différentes méthodes, telles que: substitution, addition, élimination, mise à l'échelle et règle de Cramer.

Question 1 (méthode de substitution)

Déterminez la paire ordonnée qui résout le système d'équations linéaires suivant.

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule avec 3 droits x moins 2 y droit est égal à 1 fin de cellule rangée avec cellule avec 6 x droits moins 4 y droit est égal à 7 fin de cellule fin de tableau fermer

Voir la réponse

Réponse: ouvrir les parenthèses 3 sur 4 virgule 5 sur 8 fermer les parenthèses

Isoler x dans la première équation :

$3 droite x moins 2 droite y égale 1 3 droite x égale 1 plus 2 droite y droite x droite égale numérateur 1 plus 2 droite y sur dénominateur 3 fin de fraction$

En remplaçant x dans la deuxième équation :

$6 parenthèses ouvrantes numérateur 1 plus 2 y droit au-dessus du dénominateur 3 fin de fraction fermer les parenthèses plus 4 y droit égal à 7 numérateur 6 plus 12 y droit au-dessus dénominateur 3 fin de fraction plus 4 y droit égal à 7 numérateur 6 plus 12 y droit sur dénominateur 3 fin de fraction plus numérateur 3,4 y droit sur dénominateur 3 fin de la fraction égale à 7 numérateur 6 plus 12 y droit plus 12 y droit sur le dénominateur 3 fin de la fraction égale à 7 numérateur 6 plus 24 y droit sur le dénominateur 3 fin de la fraction est égal à 7 6 plus 24 y droit égal à 7,3 6 plus 24 y droit égal à 21 24 y droit égal à 21 moins 6 24 y droit égal à 15 y droit égal à 15 sur 24 égal à 5 sur 8$

Remplacer la valeur de y dans la première équation.

$3 x moins 2 y est égal à 1 3 x moins 2 5 sur 8 est égal à 1 3 x moins 10 sur 8 est égal à 1 3 x est égal à 1 plus 10 sur 8 3 x est égal à 8 sur 8 plus 10 sur 8 3 x est égal à 18 sur 8 x est égal au numérateur 18 sur le dénominateur 8,3 fin de fraction x est égal à 18 sur 24 est égal à 3 sur 4$

Ainsi, la paire ordonnée qui résout le système est :
ouvrir les parenthèses 3 sur 4 virgule 5 sur 8 fermer les parenthèses

Question 2 (méthode de mise à l'échelle)

La solution du système d'équations linéaires suivant est :

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes extrémité gauche des attributs ligne avec cellule avec x droit moins y droit plus z droit égal à 6 fin de la cellule ligne avec cellule avec espace espace 2 y droit plus 3 z droit est égal à 8 fin de cellule ligne avec cellule avec espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace 4 z droit est égal à 8 fin de cellule fin de tableau fermer

Voir la réponse

Réponse: x = 5, y = 1, z = 2

Le système est déjà sous forme échelonnée. La troisième équation a deux coefficients nuls (y = 0 et x = 0), la deuxième équation a un coefficient nul (x = 0) et la troisième équation n'a pas de coefficients nuls.

instagram story viewer

Dans un système échelonné, on résout "de bas en haut", c'est-à-dire qu'on commence par la troisième équation.

4 z est égal à 8 z est égal à 8 sur 4 est égal à 2

En passant à l'équation du haut, nous substituons z = 2.

2 y droit plus 3 z droit est égal à 8 2 y droit plus 3,2 est égal à 8 2 y droit plus 6 est égal à 8 2 y droit est égal à 8 moins 6 2 y droit est égal à 2 y droit est égal à 2 sur 2 est égal à 1

Enfin, nous substituons z = 2 et y = 1 dans la première équation, afin d'obtenir x.

droite x moins droite y plus droite z égale 6 droite x moins 1 plus 2 égale 6 droite x plus 1 égale 6 droite x égale 6 moins 1 droite x égale 5

Solution

x = 5, y = 1, z = 2

Question 3 (règle ou méthode de Cramer)

Résolvez le système d'équations linéaires suivant :

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule avec x droit moins y droit égal à 4 espace étroit fin de la cellule ligne avec cellule avec 2 droits x y le plus droit égal à 8 fin de la cellule fin du tableau fermer

Voir la réponse

Réponse: x = 4, y = 0.

Utilisation de la règle de Cramer.

Étape 1: déterminer les déterminants D, Dx et Dy.

La matrice des coefficients est :

ouvrir parenthèses rangée de tableau avec 1 cellule moins 1 fin de rangée de cellules avec 2 1 fin de tableau fermer parenthèses

Son déterminant :
J = 1. 1 - 2. (-1)
J = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Pour le calcul de Dx, on remplace la colonne des termes de x par la colonne des termes indépendants.

ouvrir parenthèses rangée de tableau avec 4 cellules moins 1 cellule fin rangée avec 8 1 fin de tableau fermer parenthèses

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Pour le calcul de Dy, on remplace les termes de y par les termes indépendants.

ouvrir parenthèses rangée de tableau avec 1 4 rangée avec 2 8 fin de tableau fermer parenthèses

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

étape 2: déterminer x et y.

Pour déterminer x, on fait :

droite x égale Dx sur droite D égale 12 sur 3 égale 4

Pour déterminer y, on fait :

droite y égale Dy sur droite D égale 0 sur 3 égale 0

question 4

Un vendeur de t-shirts et de casquettes lors d'un événement sportif a vendu 3 t-shirts et 2 casquettes, récoltant un total de 220,00 R$. Le lendemain, il a vendu 2 chemises et 3 casquettes, récoltant 190,00 R$. Quel serait le prix d'un T-shirt et le prix d'une casquette ?

a) T-shirt: 60,00 BRL | Plafond: 40,00 BRL

b) T-shirt: 40,00 BRL | Plafond: 60,00 BRL

c) T-shirt: 56,00 BRL | Plafond: 26,00 BRL

d) T-shirt: 50,00 BRL | Plafond: 70,00 BRL

e) T-shirt: 80,00 BRL | Plafond: 30,00 BRL

Réponse expliquée

Étiquetons le prix des T-shirts c et le prix des chapeaux b.

Pour le premier jour nous avons :

3c + 2b = 220

Pour le deuxième jour nous avons :

2c + 3b = 190

On forme deux équations à deux inconnues chacune, c et b. Nous avons donc un système d'équations linéaires 2x2.

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule avec 3 c droit plus 2 b droit égal à 220 fin de cellule rangée avec cellule avec 2 c droits plus 3 b droits égal à 190 fin de cellule fin de tableau fermer

Résolution

En utilisant la règle de Cramer :

1ère étape: déterminant de la matrice des coefficients.

espace D droit parenthèses ouvertes rangée de tableau avec 3 2 rangées avec 2 3 fin de tableau parenthèses fermées égal à 3,3 moins 2,2 égal à 9 moins 4 égal à 5

2ème étape: déterminant Dc.

Nous remplaçons la colonne de c par la matrice des termes indépendants.

L'espace Dc ouvre la ligne de parenthèses du tableau avec 220 2 rangées avec 190 3 la fin du tableau ferme les parenthèses égales à 220,3 moins 2 190 égale 660 moins 380 égale 280

3ème étape: déterminant Db.

Db parenthèses ouvertes rangée de tableau avec 3 220 rangées avec 2 190 fin de table parenthèses fermées égales à 3 espaces. espace 190 espace moins espace 2 espace. l'espace 220 l'espace est égal à l'espace 570 moins 440 est égal à 130

4ème étape: déterminer la valeur de c et b.

la droite c est égale à Dc sur la droite D est égale à 280 sur 5 est égale à 56 la droite b est égale à Db sur la droite D est égale à 130 sur 5 est égale à 26

Réponse:

Le prix du T-shirt est de 56,00 R$ et celui de la casquette de 26,00 R$.

question 5

Un cinéma facture 10,00 R$ par billet pour les adultes et 6,00 R$ par billet pour les enfants. En une journée, 80 billets ont été vendus et la collection totale était de R$ 700,00. Combien de billets de chaque type ont été vendus ?

a) Adultes: 75 | Enfants: 25

b) Adultes: 40 | Enfants: 40

c) Adultes: 65 | Enfants: 25

d) Adultes: 30 | Enfants: 50

e) Adultes: 25 | Enfants: 75

Réponse expliquée

Nous le nommerons ainsi Le le prix du billet pour les adultes et w pour les enfants.

Par rapport au nombre total de billets, nous avons :

un + c = 80

Concernant la valeur obtenue nous avons :

10a + 6c = 700

Nous formons un système d'équations linéaires à deux équations et deux inconnues, c'est-à-dire un système 2x2.

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule du plus droit au plus droit c est égal à 80 fin de la ligne de cellules avec une cellule avec 10 droits plus 6 droits c est égal à 700 fin de la cellule fin du tableau fermer

Résolution

Nous utiliserons la méthode de substitution.

Isoler a dans la première équation :

un = 80 - c

En remplaçant a dans la seconde équation :

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

En remplaçant c dans la deuxième équation :

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6 ans + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

un = 450/6

un = 75

question 6

Un magasin vend des T-shirts, des shorts et des chaussures. Le premier jour, 2 T-shirts, 3 shorts et 4 paires de chaussures ont été vendus, pour un total de R$ 350,00. Le deuxième jour, 3 T-shirts, 2 shorts et 1 paire de chaussures ont été vendus, pour un total de R$ 200,00. Le troisième jour, 1 T-shirt, 4 shorts et 2 paires de chaussures ont été vendus, pour un total de R$ 320,00. Combien coûteraient un t-shirt, un short et une paire de chaussures ?

a) T-shirt: 56,00 BRL | Bermudes: R$ 24,00 | Chaussures: 74,00 BRL

b) T-shirt: 40,00 BRL | Bermudes: R$ 50,00 | Chaussures: 70,00 BRL

c) T-shirt: 16,00 BRL | Bermudes: R$ 58,00 | Chaussures: 36,00 BRL

d) T-shirt: 80,00 BRL | Bermudes: R$ 50,00 | Chaussures: 40,00 BRL

e) T-shirt: 12,00 BRL | Bermudes: R$ 26,00 | Chaussures: 56,00 BRL

Réponse expliquée

c est le prix des chemises ;
b est le prix du short ;
s est le prix des chaussures.

Pour le premier jour :

2c + 3b + 4s = 350

Pour le deuxième jour :

3c + 2b + s = 200

Pour le troisième jour :

c + 4b + 2s = 320

Nous avons trois équations et trois inconnues, formant un système 3x3 d'équations linéaires.

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs d'extrémité gauche rangée avec cellule com 2 c droit plus 3 b droit plus 4 s droit égal à 350 fin de cellule ligne avec cellule avec 3 c droits plus 2 b droits plus s droits équivaut à 200 fin de cellule ligne avec cellule avec c droit plus 4 b droits plus 2 s droits équivaut à 320 fin de cellule fin de tableau fermer

Utilisation de la règle de Cramer.

La matrice des coefficients est

ouvrir parenthèses rangée de tableau avec 2 3 4 rangée avec 3 2 1 rangée avec 1 4 2 fin de tableau fermer parenthèses

Son déterminant est D = 25.

La matrice des colonnes des réponses est :

parenthèses ouvertes rang de tableau avec 350 rang avec 200 rang avec 320 fin de tableau fermer les parenthèses

Pour calculer Dc, nous remplaçons la colonne de la matrice des réponses par la première colonne de la matrice des coefficients.

ouvrir parenthèses rangée de tableau avec 350 3 4 rangée avec 200 2 1 rangée avec 320 4 2 fin de tableau fermer parenthèses

dc = 400

Pour le calcul de Db :

ouvrir parenthèses rangée de tableau avec 2 350 4 rangées avec 3 200 1 rangée avec 1 320 2 fin de tableau fermer parenthèses

Db = 1450

Pour le calcul de Ds :

ouvrir parenthèses tableau rangée avec 2 3 350 rangée avec 3 2 200 rangée avec 1 4 320 fin de tableau fermer parenthèses

Ds = 900

Pour déterminer c, b et s, nous divisons les déterminants Dc, Db et Ds par le déterminant principal D.

c droit est égal à Dc sur D droit est égal à 400 sur 25 est égal à 16 b droit est égal à Db sur D droit est égal à 1450 sur 25 est égal à 58 s droit est égal à Ds sur D droit est égal à 900 sur 25 est égal à 36

question 7

Un restaurant propose trois options de plats: viande, salade et pizza. Le premier jour, 40 plats de viande, 30 plats de salade et 10 pizzas ont été vendus, totalisant 700,00 R$ de ventes. Le deuxième jour, 20 plats de viande, 40 plats de salade et 30 pizzas ont été vendus, totalisant 600,00 R$ de ventes. Le troisième jour, 10 plats de viande, 20 plats de salade et 40 pizzas ont été vendus, totalisant 500,00 R$ de ventes. Combien coûterait chaque plat ?

a) viande: 200,00 BRL | salade: R$ 15,00 | pizza: 10,00 BRL

b) viande: R$ 150,00 | salade: R$ 10,00 | pizza: 60,00 BRL

c) viande: 100,00 BRL | salade: R$ 15,00 | pizza: 70,00 BRL

d) viande: 200,00 BRL | salade: R$ 10,00 | pizza: 15,00 BRL

e) viande: 140,00 BRL | salade: R$ 20,00 | pizza: 80,00 BRL

Réponse expliquée

En utilisant:

c pour la viande ;
s pour salade;
p pour les pizzas.

Le premier jour:

40 c droit plus 30 s droit plus 10 p droit égal à 7000

Au deuxième jour :

20 c droit plus 40 s droit plus 30 p droit égal à 6000

Le troisième jour :

10 c droits plus 20 s droits plus 40 p droits égalent 5000

Le prix de chaque plat peut être obtenu en résolvant le système :

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes extrémité gauche des attributs ligne avec cellule avec 40 espace c droit plus espace 30 espace s droit plus espace 10 p droit égal à 7000 fin de la ligne cellulaire avec cellule avec 20 c droit espace plus espace 40 s droit espace plus espace 30 p droit égal 6000 fin de cellule ligne avec cellule avec 10 c droit espace plus espace 20 droit s espace plus espace 40 droit p équivaut à 5000 fin de cellule fin de table fermer

Résolution

Utilisation de la méthode d'élimination.

Multipliez 20c + 40s + 30p = 6000 par 2.

entre crochets ouverts rangée de tableau avec cellule avec 40 c droits plus 30 s droits plus 10 p droits égale 7000 fin de la rangée de cellules avec cellule avec 40 c droits plus 80 s droits plus 60 p droits équivaut à 12000 fin de cellule ligne avec cellule avec 10 c droits plus 20 s droits plus 40 p droits équivaut à 5000 fin de cellule fin de table se ferme crochets

Soustrayez la deuxième équation matricielle obtenue de la première.

50 s droits plus 50 p droits égalent 5000

Dans la matrice ci-dessus, nous remplaçons cette équation par la seconde.

entre crochets ouverts rangée de tableau avec cellule avec 40 c droits plus 30 s droits plus 10 p droits égal à 7000 fin de la rangée de cellules avec cellule avec 50 s droits plus 50 p droit est égal à 5000 fin de cellule rangée avec cellule avec 10 c droits plus 20 s droits plus 40 p droits est égal à 5000 fin de cellule fin de table se ferme crochets

Nous multiplions la troisième équation ci-dessus par 4.

En soustrayant le tiers de la première équation, on obtient :

50 s droits plus 150 p droits égalent 13000

En substituant l'équation obtenue par la troisième.

En soustrayant les équations deux et trois, nous avons :

entre crochets ouverts rangée de tableau avec cellule avec 40 c plus 30 s plus 10 p égal 7000 fin de cellule rangée avec cellule avec 50 s plus 50p équivaut à 5000 fin de ligne de cellule avec cellule avec 100p équivaut à 8000 fin de cellule fin de table se ferme crochets

De la troisième équation, nous obtenons p = 80.

En remplaçant p dans la deuxième équation :

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

En substituant les valeurs de s et p dans la première équation :

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Solution

p=80, s=20 et c=140

question 8

(UEMG) Dans le plan, le système accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule avec 2 droites x plus 3 droites y est égal à moins 2 fin de cellule ligne avec cellule avec 4 x droits moins 6 droits y est égal à 12 fin de cellule fin de tableau fermer représente une paire de lignes

a) coïncident.

b) distincts et parallèles.

c) lignes concurrentes au point ( 1, -4/3 )

d) lignes concurrentes au point ( 5/3, -16/9 )

Réponse expliquée

Multipliant la première équation par deux et additionnant les deux équations:

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule avec deux points droits 4 x droit plus 6 y droit égal à moins 4 fin de cellule ligne avec cellule avec droite B deux points 4 droite x moins 6 droite y égale 12 fin de cellule fin de tableau fermer espaceur A espace plus droite espace B égale 8 droite x égale 8 droite x égale 8 sur 8 égale 1

En remplaçant x dans l'équation A :

$4.1 espace plus espace 6 y espace est égal à espace moins 4 espace espace6 y espace est égal à espace moins 4 espace moins l'espace 46 y est égal à moins 8y est égal au numérateur moins 8 sur le dénominateur 6 la fin de la fraction est égale à moins 4 environ 3$

question 9

(PUC-MINAS) Un certain laboratoire a envoyé 108 commandes aux pharmacies A, B et C. On sait que le nombre de commandes envoyées à la pharmacie B était le double du nombre total de commandes envoyées aux deux autres pharmacies. De plus, trois commandes de plus de la moitié du montant expédié à la pharmacie A ont été expédiées à la pharmacie C.

Sur la base de ces informations, il est CORRECT d'affirmer que le nombre total de commandes envoyées aux pharmacies B et C était

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

Réponse expliquée

D'après l'énoncé nous avons :

A + B + C = 108.

Aussi, que la quantité de B était le double de celle de A + C.

B = 2(A + C)

Trois commandes ont été expédiées à la pharmacie C, plus de la moitié de la quantité expédiée à la pharmacie A.

C = A/2 + 3

Nous avons des équations et trois inconnues.

accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes extrémité gauche des attributs ligne avec cellule avec droit A droit B plus droit C égal à 108 fin de la cellule ligne avec cellule avec B droit est égal à 2 parenthèse gauche A droit plus C droit parenthèse droite fin de rangée de cellules avec cellule avec C droit égal A droit sur 2 plus 3 fin de cellule fin de tableau fermer

Utilisation de la méthode de remplacement.

Étape 1: remplacez le troisième par le second.

B droit est égal à 2 A droit espace plus espace 2 Creto B droit est égal à 2 A droit espace plus espace 2 ouvre les crochets A sur 2 plus 3 parenthèse fermante B est égal à 2 droit A espace plus espace A espace plus espace 6 carré B est égal à 3 carré A espace plus espace 6

Étape 2: Substituez le résultat obtenu et la troisième équation à la première.

$A droit plus B droit plus C droit égal à 108 A droit plus espace 3 A droit plus 6 espace plus espace droit A sur 2 plus 3 espace égal à espace 1084 A droit espace plus l'espace droit A sur 2 est égal à 108 l'espace moins l'espace 9numérateur 9 le A droit sur le dénominateur 2 la fin de la fraction est égal à 999 l'espace A droit est égal à l'espace 99 espace. espace 29 droit A espace égal espace 198droit A espace égal espace 198 sur 9droit A espace égal espace 22$

Étape 3: Remplacez la valeur de A pour déterminer les valeurs de B et C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

Pour C :

la ligne C est égale à 22 sur 2 plus 3 la ligne C est égale à 11 plus 3 est égale à 14

Étape 4: additionnez les valeurs de B et C.

72 + 14 = 86

questions 10

(UFRGS 2019) Pour que le système d'équations linéaires accolades ouvertes attributs du tableau alignement des colonnes attributs de l'extrémité gauche ligne avec cellule avec x droit plus y droit est égal à 7 fin de cellule ligne avec cellule avec hache plus 2 y droit est égal à 9 fin de cellule fin de tableau fermer possible et déterminé, il faut et il suffit que

a) une ∈ R.

b) un = 2.

c) un = 1.

d) un ≠ 1.

c) un ≠ 2.

Réponse expliquée

L'une des façons de classer un système comme possible et déterminé est la méthode de Cramer.

La condition pour cela est que les déterminants soient différents de zéro.

Rendre le déterminant D de la matrice principale égal à zéro :

ouvrir la rangée de parenthèses du tableau avec 1 1 rangée avec un 2 bout de tableau fermer les parenthèses non égales 01 espace. espace 2 espace moins espace par espace. espace 1 différent de 02 espace inférieur à différent de 02 différent de

Pour en savoir plus sur les systèmes linéaires :

Systèmes linéaires: qu'est-ce que c'est, quels types et comment les résoudre
Systèmes d'équations
Mise à l'échelle des systèmes linéaires
Règle de Cramer

Pour plus d'exercices :

Systèmes d'équations du 1er degré

ASTH, Raphaël. Exercices sur les systèmes linéaires résolus.Tout compte, [s.d.]. Disponible en: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Accès à:

Voir aussi