UN tangente (en abrégé tg ou tan) est un fonction trigonométrique. Pour déterminer la tangente d'un angle, on peut utiliser différentes stratégies: calculer le rapport entre le sinus et le cosinus de l'angle, s'ils sont connus; utiliser une table tangente ou une calculatrice; calculer le rapport entre la jambe opposée et la jambe adjacente, si l'angle en question est interne (aigu) d'un triangle rectangle, entre autres.
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résumé sur la tangente
La tangente est une fonction trigonométrique.
La tangente d'un angle intérieur à un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
La tangente d'un angle est le rapport du sinus et du cosinus de cet angle.
La fonction \(f (x)=tg\ x\) est défini pour les angles X exprimé en radians, tel que cos \(cos\x≠0\).
Le graphique de la fonction tangente montre des asymptotes verticales pour les valeurs, où \(x= \frac{π}2+kπ\), avec k entier, comme \(x=-\frac{π}2\).
La loi des tangentes est une expression qui associe, dans tout triangle, les tangentes de deux angles et les côtés opposés à ces angles.
Tangente d'un angle
Si α est un angle interne d'un triangle rectangle, la tangente de α est le rapport entre la longueur de la jambe opposée et la longueur de la jambe adjacente:
Pour tout angle α, la tangente est le rapport entre le sin α et le cosinus de α, où \(cos\α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
A noter que si α est un angle dans le 1er ou le 3ème quadrant, la tangente sera de signe positif; mais si α est un angle du 2ème ou 4ème quadrant, la tangente aura un signe négatif. Cette relation résulte directement de la règle de signe entre les signes du sinus et du cosinus pour chaque α.
Important: A noter que la tangente n'existe pas pour les valeurs de α où \(cos\α=0\). Cela se produit pour des angles de 90°, 270°, 450°, 630° et ainsi de suite. Pour représenter ces angles de façon générale, on utilise la notation en radian: \(\frac{π}2+kπ\), avec k ensemble.
Tangente des angles notables
En utilisant l'expression \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), on peut trouver les tangentes de angles remarquables, qui sont les angles de 30°, 45° et 60° :
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Intéressant: En plus de ceux-ci, nous pouvons analyser les valeurs de tangente pour les angles de 0° et 90°, qui sont également largement utilisés. Puisque sin 0° = 0, nous concluons que tan 0° = 0. Pour l'angle à 90°, puisque cos90° = 0, la tangente n'existe pas.
Comment calculer la tangente ?
Pour calculer la tangente, on utilise la formule tg α=sin αcos α, utilisée pour calculer la tangente de n'importe quel angle. Regardons quelques exemples ci-dessous.
Exemple 1
Trouvez la tangente de l'angle α dans le triangle rectangle ci-dessous.
Résolution:
Concernant l'angle α, le côté de mesure 6 est le côté opposé et le côté de mesure 8 est le côté adjacent. Comme ça:
\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)
Exemple 2
Sachant que \(sin\ 35°≈0.573\) et cos\(35°≈0,819\), trouvez la valeur approximative de la tangente de 35°.
Résolution:
Comme la tangente d'un angle est le rapport entre le sinus et le cosinus de cet angle, on a :
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0.700\)
fonction tangente
La fonction fx=tg x est définie pour les angles X exprimée en radians, de sorte que \(cos\x≠0\). Cela signifie que le domaine de la fonction tangente s'exprime par :
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
De plus, tout nombres réels sont l'image de la fonction tangente.
→ Graphe de la fonction tangente
Notez que le graphique de la fonction tangente a des asymptotes verticales pour les valeurs où \(x= \frac{π}2+kπ\), avec k entier, comme \(x=-\frac{π}2\). Pour ces valeurs de X, la tangente n'est pas définie (c'est-à-dire que la tangente n'existe pas).
Voir aussi: Qu'est-ce que le domaine, la plage et l'image ?
loi des tangentes
La loi des tangentes est une expression qui associe, dans un Triangle quelconque, les tangentes de deux angles et les côtés opposés à ces angles. Par exemple, considérons les angles α et β du triangle ABC ci-dessous. Remarquons que le côté CB = a est opposé à l'angle α et que le côté AC = b est opposé à l'angle β.
La loi des tangentes stipule que :
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
rapports trigonométriques
Au rapports trigonométriques sont les fonctions trigonométriques travaillées sur le triangle rectangle. Nous interprétons ces rapports comme des relations entre les côtés et les angles de ce type de triangle.
Exercices résolus sur la tangente
question 1
Soit θ un angle du deuxième quadrant tel que sin\(sin\ θ≈0,978\), donc tgθ vaut approximativement :
A) -4 688
B) 4 688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Résolution
Variante A
si \(sin\ θ≈0,978\), puis, en utilisant l'identité fondamentale de la trigonométrie :
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Puisque θ est un angle du second quadrant, alors cosθ est négatif, donc :
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Bientôt:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)
question 2
Considérons un triangle rectangle ABC dont les côtés AB = 3 cm et AC = 4 cm. La tangente de l'angle B est :
UN) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
ET) \(\frac{5}3\)
Résolution:
Variante C
Par l'énoncé, la jambe opposée à l'angle \(\hat{B}\) est le CA mesurant 4 cm et la jambe adjacente à l'angle \(\hat{B}\) est AB avec une mesure de 3 cm. Comme ça:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
