LA équation du 1er degré est une équation qui a une inconnue de degré 1. Les équations sont des phrases mathématiques qui ont des inconnues, qui sont des lettres qui représentent des valeurs inconnues, et l'égalité. La phrase mathématique de l'équation du 1er degré est Lax + B = 0, où La et B sont des nombres réels, et La est différent de 0. Le but d'écrire une équation du 1er degré est de trouver quelle est la valeur de l'inconnue qui satisfait l'équation. Cette valeur est appelée solution ou racine de l'équation.
A lire aussi: Équation exponentielle - l'équation qui a au moins une inconnue dans l'un de ses exposants
Sujets dans cet article
- 1 - Résumé de l'équation du 1er degré
- 2 - Qu'est-ce qu'une équation du 1er degré ?
-
3 - Comment calculer l'équation du premier degré ?
- → équation du 1er degré à inconnue
- ? Équation du 1er degré à deux inconnues
- 4 - Equation du 1er degré en Enem
- 5 - Exercices résolus sur l'équation du 1er degré
Résumé de l'équation du 1er degré
L'équation du 1er degré est une phrase mathématique qui a 1 degré d'inconnues.
L'équation du 1er degré à une inconnue a une solution unique.
La phrase mathématique qui décrit l'équation du 1er degré à une inconnue est Lax + B = 0.
Pour résoudre une équation du 1er degré à inconnue, on effectue des opérations de part et d'autre de l'égalité, afin d'isoler l'inconnue et de trouver sa valeur.
L'équation du 1er degré à deux inconnues a des solutions infinies.
La phrase mathématique qui décrit l'équation du 1er degré à deux inconnues est Lax + By + c = 0
L'équation du 1er degré est un terme récurrent dans Enem, qui vient généralement avec des questions qui nécessitent une interprétation du texte et l'assemblage de l'équation avant de la résoudre.
Qu'est-ce que l'équation du 1er degré ?
L'équation est une phrase mathématique qui a une égalité et une ou plusieurs inconnues.. Les inconnues sont des valeurs inconnues, et nous utilisons des lettres, telles que x, y, z, pour les représenter.
Ce qui détermine le degré d'une équation, c'est l'exposant de l'inconnue. Ainsi, quand l'exposant de l'inconnue est de degré 1, on a une équation du 1er degré. Voir les exemples ci-dessous :
2x + 5 = 9 (équation du 1er degré à une inconnue, x)
y – 3 = 0 (équation du 1er degré à une inconnue, y)
5x + 3y – 3 = 0 (équation du 1er degré à deux inconnues, x et y)
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Comment calculer l'équation du premier degré ?
On représente une situation donnée par une équation quand on cherche à trouver les valeurs que peut prendre l'inconnu qui rend l'équation vraie, c'est-à-dire trouver les solutions ou la solution de l'équation. Voyons ci-dessous comment trouver la solution d'une équation du 1er degré à une inconnue et les solutions d'une équation du 1er degré à deux inconnues.
→ équation du 1er degré à une inconnue
LA équation du 1er degré à une inconnue est l'équation du type :
\(ax+b=0\ \)
Dans cette phrase, La et B sont des nombres réels. Nous utilisons le symbole d'égalité comme référence. Avant, nous avons le 1er membre de l'équation et après le signe égal, nous avons le 2ème membre de l'équation.
Pour trouver la solution de cette équation, on cherche à isoler la variable x. soustrayons B des deux côtés de l'équation :
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Nous allons maintenant diviser par La sur les deux côtés:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Important:Ce processus d'exécution d'une action des deux côtés de l'équation est souvent décrit comme "passer de l'autre côté" ou "passer de l'autre côté en faisant l'opération inverse".
Exemple 1:
Trouver la solution de l'équation :
2x - 6 = 0
Résolution:
Pour isoler la variable x, ajoutons 6 aux deux membres de l'équation :
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Maintenant, nous allons diviser par 2 des deux côtés :
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
On trouve comme solution de l'équation x = 3. Cela signifie que si nous substituons 3 à la place de x, l'équation sera vraie :
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Exemple 2 :
Nous pouvons résoudre l'équation plus directement en utilisant la méthode pratique :
\(5x+1=-\ 9\)
Tout d'abord, définissons quel est le premier membre de l'équation et quel est le deuxième membre de l'équation :
Pour trouver la solution de l'équation, on va isoler l'inconnue sur le premier membre de l'équation. Pour cela, ce qui n'est pas inconnu sera passé au deuxième membre effectuant l'opération inverse, en commençant par + 1. Comme il s'additionne, il passera au second membre en soustrayant :
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Nous voulons la valeur de x, mais nous trouvons la valeur de 5x. Puisque 5 multiplie x, il passera au côté droit en faisant l'opération inverse de multiplication, c'est-à-dire diviser.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
La solution de cette équation est x = - 2.
Exemple 3 :
Résous l'équation:
\(5x+4=2x-6\)
Pour résoudre cette équation, on va d'abord mettre les termes qui ont une inconnue sur le premier membre, et les termes qui n'ont pas d'inconnue sur le second membre. Pour cela, identifions-les :
\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ –\ 6\)
En rouge sont les termes qui ont une inconnue, 5x et 2x, et en noir, les termes qui n'ont pas d'inconnue. Puisque + 4 n'a pas d'inconnue, passons-le au second membre en soustrayant.
\(\color{rouge}{5x}=\color{rouge}{2x}-6-4\)
Notez que 2x a une inconnue, mais est dans le second membre. Nous le passerons au premier membre, en soustrayant 5x :
\({\couleur{rouge}{5x}-\couleur{rouge}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Maintenant, en passant la division 3, nous avons cela :
\(x=-\frac{10}{3}\)
Important: La solution d'une équation peut être une fraction, comme dans l'exemple ci-dessus.
◆ Cours vidéo sur l'équation du 1er degré avec une inconnue
➝ Équation du 1er degré à deux inconnues
Lorsqu'il y a une équation du 1er degré qui a deux inconnues, il n'y a pas une solution unique, mais plutôt solutions infinies. Une équation du 1er degré à deux inconnues est une équation du type :
\(ax+by+c=0\)
Pour trouver certaines des solutions infinies de l'équation, nous attribuons une valeur à l'une de ses variables et trouvons la valeur de l'autre variable.
Exemple:
Trouvez 3 solutions possibles à l'équation :
\(2x+y+3=0\)
Résolution:
Pour trouver 3 solutions, nous allons choisir quelques valeurs pour la variable x, en commençant par x = 1 :
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+a+3=0\ \)
\(a+5=0\)
En isolant y du premier membre, on a :
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Donc une solution possible à l'équation est x = 1 et y = - 5.
Pour trouver une autre solution de l'équation, attribuons une nouvelle valeur à l'une des variables. Nous ferons y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Isoler x :
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
La deuxième solution de cette équation est x = - 2 et y = 1.
Enfin, pour trouver une troisième solution, nous choisirons une nouvelle valeur pour l'une de vos variables. Nous ferons x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+a+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
La troisième solution est x = 0 et y = -3.
On peut représenter ces trois solutions par des couples ordonnés, de la forme (x, y). Les solutions trouvées pour l'équation étaient :
\(\gauche (1,-5\droite);\ \gauche(-2,\ 1\droite);\gauche (0,-3\droite)\)
Important: Comme cette équation a deux inconnues, nous avons des solutions infinies. Les valeurs des variables ont été choisies au hasard, nous avons donc pu attribuer d'autres valeurs complètement différentes aux variables et trouver trois autres solutions à l'équation.
Savoir plus: Équation du 2ème degré — comment calculer ?
Équation du 1er degré en Enem
Les questions impliquant des équations du 1er degré dans Enem exigent que le candidat soit capable de transformer des situations problématiques en équation, en utilisant des données d'énoncé. Pour plus de clarté, voir la compétence Mathématiques domaine 5.
Domaine 5 Compétence : Modéliser et résoudre des problèmes impliquant des variables socio-économiques ou technico-scientifiques, en utilisant des représentations algébriques.
A noter alors qu'en Enem on s'attend à ce que le candidat puisse modéliser des situations problématiques de notre vie quotidienne et les résoudre à l'aide d'une équation. Au sein de cette compétence, il existe deux compétences spécifiques impliquant des équations que l'Enem cherche à évaluer: la compétence 19 et la compétence 21.
H19 : Identifier les représentations algébriques qui expriment la relation entre les quantités.
H21 : Résoudre une situation problème dont la modélisation fait appel à des connaissances algébriques.
Ainsi, si vous étudiez pour l'Enem, en plus de maîtriser la résolution des équations du 1er degré, il est important de vous former à l'interprétation des problèmes impliquant équations, car développer la capacité de modéliser des situations problématiques en les écrivant sous forme d'équation, pour l'Enem, est aussi important que de pouvoir résoudre les équation.
Exercices résolus sur l'équation du 1er degré
question 1
(Enem 2012) Les courbes d'offre et de demande d'un produit représentent respectivement les quantités que les vendeurs et les consommateurs sont prêts à vendre en fonction du prix du produit. Dans certains cas, ces courbes peuvent être représentées par des lignes droites. Supposons que les quantités d'offre et de demande d'un produit sont respectivement représentées par les équations :
QO = –20 + 4P
Qré = 46 - 2P
dans laquelle QO est la quantité d'approvisionnement, Qré est la quantité demandée et P est le prix du produit.
À partir de ces équations d'offre et de demande, les économistes trouvent le prix d'équilibre du marché, c'est-à-dire lorsque QO et Qré égal. Pour la situation décrite, quelle est la valeur du prix d'équilibre ?
un) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
Résolution:
Variante B
Pour trouver le prix d'équilibre, il suffit d'égaliser les deux équations :
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
question 2
(Enem 2010) Le triple saut est une modalité d'athlétisme dans laquelle l'athlète saute sur un pied, un pas et un saut, dans cet ordre. Le saut avec décollage sur un pied sera fait de manière à ce que l'athlète atterrisse en premier sur le même pied qui a donné le décollage; dans la foulée, il atterrira avec l'autre pied, à partir duquel le saut est effectué.
Disponible sur: www.cbat.org.br (adapté).
Un athlète de la modalité triple saut, après avoir étudié ses mouvements, s'est rendu compte que, de la seconde à la premier saut, la portée a diminué de 1,2 m, et du troisième au deuxième saut, la portée a diminué de 1,5 M. Voulant atteindre l'objectif de 17,4 m dans cette épreuve et compte tenu de vos études, la distance atteinte au premier saut devrait être comprise entre
A) 4,0 m et 5,0 m.
B) 5,0 m et 6,0 m.
C) 6,0 m et 7,0 m.
D) 7,0 m et 8,0 m.
E) 8,0 m et 9,0 m.
Résolution:
Variante D
Au premier saut, il atteint une distance de x mètres.
Au deuxième saut, la distance diminue de 1,2 m par rapport au premier saut, il atteint donc une distance de x – 1,2 mètre.
Au troisième saut, la distance diminue de 1,5 m à partir du deuxième saut, donc la distance parcourue au troisième saut est de x – 1,2 – 1,5 mètres, ce qui équivaut à x – 2,7 mètres.
On sait que la somme de ces distances doit être égale à 17,4 mètres, donc :
\(x+x-1.2+x-2.7=17.4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7.1\)
Ainsi, la distance atteinte lors du premier saut est comprise entre 7,0 et 8,0 mètres.
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
