LA racine cubique est l'opération d'enracinement qui a un indice égal à 3. Calculer la racine cubique d'un nombre non est de trouver quel nombre à la puissance 3 donne non, c'est, \(\sqrt[3]{a}=b\flèchedroite b^3=a\). Par conséquent, la racine cubique est un cas particulier de racine.
Savoir plus: Racine carrée - comment calculer?
Sujets dans cet article
- 1 - Représentation de la racine cubique d'un nombre
- 2 - Comment calculer la racine cubique ?
- 3 - Liste avec les racines cubiques exactes
- 4 - Calcul de la racine cubique par approximation
- 5 - Exercices résolus sur la racine cubique
Représentation de la racine cubique d'un nombre
On appelle racine cubique l'opération d'enracinement d'un nombre non lorsque l'indice est égal à 3. En général, la racine cubique de non est représenté par :
\(\sqrt[3]{n}=b\)
3→ indice racine cubique
non → enracinement
B → racine
Comment calculer la racine cubique ?
Nous savons que la racine cubique est une racine d'indice égal à 3, donc calculez la racine cubique d'un nombre
non est de trouver quel nombre multiplié par lui-même trois fois est égal à non. C'est-à-dire que nous recherchons un nombre B tel que B³ = non. Pour calculer la racine cubique d'un grand nombre, nous pouvons effectuer la factorisation du nombre et regrouper les factorisations comme puissances avec un exposant égal à 3 pour qu'il soit possible de simplifier la racine cubique.Exemple 1:
calculer \(\sqrt[3]{8}\).
Résolution:
Nous savons que \(\sqrt[3]{8}=2\), car 2³ = 8.
Exemple 2 :
Calculer: \(\sqrt[3]{1728}.\)
Résolution:
Pour calculer la racine cubique de 1728, nous allons d'abord factoriser 1728.
Nous devons donc :
\(\sqrt[3]{1728}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot3^3}\)
\(\sqrt[3]{1728}=2\cdot2\cdot3\)
\(\sqrt[3]{1728}=12\)
Exemple 3 :
Calculer la valeur de \(\sqrt[3]{42875}\).
Résolution:
Pour trouver la valeur de la racine cubique de 42875, vous devez factoriser ce nombre :
Nous devons donc :
\(\sqrt[3]{42875}=\sqrt[3]{5^3\cdot7^3}\)
\(\sqrt[3]{42875}=5\cdot7\)
\(\sqrt[3]{42875}=35\)
Liste des racines cubiques exactes
\( \sqrt[3]{0}=0\)
\( \sqrt[3]{1}=1\)
\(\sqrt[3]{8}=2\)
\( \sqrt[3]{27}=3\)
\( \sqrt[3]{64}=4\)
\( \sqrt[3]{125}=5\)
\( \sqrt[3]{216}=6\)
\( \sqrt[3]{343}=7\)
\( \sqrt[3]{512}=8\)
\(\sqrt[3]{729}=9\)
\( \sqrt[3]{1000}=10\)
\( \sqrt[3]{1331}=11\)
\( \sqrt[3]{1728}=12\)
\( \sqrt[3]{2197}=13\)
\(\sqrt[3]{2744}=14\)
\(\sqrt[3]{3375}=15\)
\( \sqrt[3]{4096}=16\)
\( \sqrt[3]{4913}=17\)
\(\sqrt[3]{5832}=18\)
\(\sqrt[3]{6859}=19\)
\(\sqrt[3]{8000}=20\)
\(\sqrt[3]{9281}=21\)
\(\sqrt[3]{10648}=22\)
\(\sqrt[3]{12167}=23\)
\(\sqrt[3]{13824}=24\)
\(\sqrt[3]{15625}=25\)
\(\sqrt[3]{125000}=50\)
\( \sqrt[3]{1000000}=100\)
\(\sqrt[3]{8000000}=200\)
\( \sqrt[3]{27000000}=300\)
\( \sqrt[3]{64000000}=400\)
\( \sqrt[3]{125000000}=500\)
\( \sqrt[3]{1000000000}=1000\)
Important: Le nombre qui a une racine cubique exacte est appelé cube parfait. Ainsi, les cubes parfaits sont 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, etc.
Calcul de la racine cubique par approximation
Lorsque la racine cubique n'est pas exacte, nous pouvons utiliser une approximation pour trouver la valeur décimale qui représente la racine. Pour ça, il faut savoir entre quels cubes parfaits se situe le nombre. Nous déterminons ensuite la plage dans laquelle se trouve la racine cubique, et enfin nous trouverons la partie décimale par essai en analysant la variabilité de la partie décimale.
Exemple:
calculer \(\sqrt[3]{50}\).
Résolution:
Dans un premier temps, nous trouverons entre quels cubes parfaits se situe le nombre 50 :
27 < 50 < 64
Calcul de la racine cubique des trois nombres :
\(\sqrt[3]{27}
\(3
La partie entière de la racine cubique de 50 est 3 et est comprise entre 3,1 et 3,9. Ensuite, nous analyserons le cube de chacun de ces nombres décimaux, jusqu'à ce qu'il dépasse 50.
3,1³ = 29,791
3,2³ = 32,768
3,3³ = 35,937
3,4³ = 39,304
3,5³ = 42,875
3,6³ = 46,656
3,7³ = 50,653
Nous devons donc :
\(\sqrt[3]{50}\approx3.6\) par manque.
\(\sqrt[3]{50}\environ3,7\) par excès.
Sachez aussi: Calcul des racines non exactes - comment faire?
Exercices résolus sur la racine cubique
(IBFC 2016) Le résultat de la racine cubique du nombre 4 au carré est un nombre compris entre :
A) 1 et 2
B) 3 et 4
C) 2 et 3
D) 1.5 et 2.3
Résolution:
Variante C
Nous savons que 4² = 16, nous voulons donc calculer \(\sqrt[3]{16}\). Les cubes parfaits que nous connaissons à côté de 16 sont 8 et 27 :
\(8<16<27\)
\(\sqrt[3]{8}
\(2
Donc la racine cubique de 4 au carré est comprise entre 2 et 3.
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question 2
La racine cubique de 17576 est égale à :
un) 8
B) 14
C) 16
D) 24
E) 26
Résolution:
Variante E
En factorisant 17576, nous avons :
Par conséquent:
\(\sqrt[3]{17576}=\sqrt[3]{2^3\cdot{13}^3}\)
\(\sqrt[3]{17576}=2\cdot13\)
\(\sqrt[3]{17576}=26\)
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou universitaire? Voir:
OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Racine cubique"; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-cubica.htm. Consulté le 04 juin 2022.
