Une fonction s'appelle fonction polynomiale lorsque sa loi de formation est une polynôme. Les fonctions polynomiales sont classées selon le degré de leur polynôme. Par exemple, si le polynôme qui décrit la loi de formation des fonctions est de degré deux, on dit qu'il s'agit d'une fonction polynomiale du second degré.
Pour calculer la valeur numérique d'une fonction polynomiale, il suffit remplacer la variable par la valeur souhaitée, transformant le polynôme en une expression numérique. Dans l'étude des fonctions polynomiales, la représentation graphique est assez récurrente. La fonction polynomiale du 1er degré a un graphique toujours égal à une ligne droite. La fonction du 2e degré a un graphique égal à une parabole.
A lire aussi: Quelles sont les différences entre une équation et une fonction ?
Qu'est-ce qu'une fonction polynomiale ?
Une fonction F: R → R est dite fonction polynomiale lorsque sa loi de formation est un polynôme :
f(x) = unnonXnon + len-1Xn-1 + len-2Xn-2 + … + le2X2 + le1x + un0
Sur quoi:
x → est la variable.
n → est un entier naturel.
lenon, unen-1, unen-2, … Le2,Le1 et le0 → sont des coefficients.
Les coefficients sont nombres réels qui accompagnent la variable polynomiale.
Exemples:
F(x) = x5 + 3x4 – 3x3 + x² - x + 1
F(x) = -2x³ + x – 7
F(x) = x9
Comment déterminer le type de fonction polynomiale ?
Il existe plusieurs types de fonctions polynomiales. Elle est classés selon le degré du polynôme. Lorsque le degré est 1, alors la fonction est appelée fonction polynomiale de degré 1 ou fonction polynomiale du 1er degré, ou encore fonction affine. Voir ci-dessous pour des exemples de fonctions du degré 1 au degré 6.
Voir aussi: Qu'est-ce qu'une fonction d'injecteur ?
degré de fonction polynomiale
Ce qui définit le degré de la fonction polynomiale est le degré du polynôme, donc on peut avoir une fonction polynomiale de n'importe quel degré.
Fonction polynomiale de degré 1
Pour qu'une fonction polynomiale soit un polynôme de degré 1 ou de premier degré, la loi de formation de la fonction doit être F(x) = hache + b, avec a et b étant des nombres réels et a ≠ 0. LES fonction polynomiale de degré 1 elle est également connue sous le nom de fonction affine.
Exemples:
F(x) = 2x – 3
F(x) = -x + 4
F(x) = -3x
Fonction polynomiale de degré 2
Pour qu'une fonction polynomiale soit un polynôme du 2ème degré ou un polynôme du 2ème degré, le loi de formation des fonctions doit êtreF(x) = ax² + bx + c, avec a, b et c étant des nombres réels et a 0. Une fonction polynomiale du 2e degré elle peut également être appelée fonction quadratique.
Exemples:
F(x) = 2x² - 3x + 1
F(x) = – x² + 2x
F(x) = 3x² + 4
F(x) = x²
Fonction polynomiale de grade 3
Pour qu'une fonction polynomiale soit un polynôme du 3e degré ou du 3e degré, le loi de formation des fonctions doit êtreF(x) = ax³ + bx² + cx + d, avec a et b étant des nombres réels et a ≠ 0. La fonction de degré 3 peut aussi être appelée fonction cubique.
Exemples:
F(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
F(x) = -5x³ + 4x² + 2x
F(x) = 3x³ + 8x – 4
F(x) = -7x³
Fonction polynomiale de grade 4
Tant pour la fonction polynomiale de degré 4 que pour les autres, le raisonnement est le même.
Exemples:
F(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
F(x) = x4 + 2x³ - x
F(x) = x4
Fonction polynomiale de grade 5
Exemples:
F(x) = x5 – 2x4 + x3 – 3x² + x + 9
F(x) = 3x5 + x3 – 4
F(x) = -x5
Fonction polynomiale de degré 6
Exemples:
F(x) = 2x6 – 7x5 + x4 – 5x3 + x² + 2x – 1
F(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
F(x) = 3x6 + 2x² + 5x
F(x) = x6
Valeur numérique de la fonction
Connaître la loi de formation des rôles F(x), pour calculer la valeur numérique du Occupation pour une valeur non, il suffit de calculer la valeur de F(non). Par conséquent, nous avons remplacé la variable dans la loi de formation.
Exemple:
étant donné la fonction F(x) = x³ + 3x² – 5x + 4, on trouve la valeur numérique de la fonction pour x = 2.
Pour trouver la valeur de F(x) quand x = 2, on fera F(2).
F(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 12 – 10 + 4
F(2) = 20 – 10 + 4
F(2) = 10 + 4
F(2) = 14
On peut dire que l'image de la fonction ou la valeur numérique de la fonction, lorsque x = 2, est égale à 14.
Voir aussi: Fonction inverse - consiste en l'inverse de la fonction f (x)
Graphiques de fonctions polynomiales
Représenter dans le plan cartesien la fonction, on représente, en abscisse, les valeurs de x, et l'image de F(x), par des points dans le plan. Les points du plan cartésien sont du type (non, F(non)).
Exemple 1:
F(x) = 2x - 1
Le graphique d'une fonction du 1er degré est toujours un droit.
Exemple 2 :
F(x) = x² - 2x - 1
Le graphique de la fonction du 2e degré est toujours un parabole.
Exemple 3:
F(x) = x³ - x
Le graphique de la fonction du 3e degré est appelé cubique.
Égalité des polynômes
Pour que deux polynômes soient égaux, il faut que, lors de la Comparaison entre toi votre termes, les coefficients sont les mêmes.
Exemple:
Étant donné les polynômes suivants p(x) et g(x), et sachant que p(x) = g(x), trouvez la valeur de a, b, c et d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x – 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c – 2) x + d
Comme les polynômes sont les mêmes, on a que :
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c – 2)x = 3x
d = -4
Notez que nous avons déjà la valeur de d, puisque d = -4. Maintenant, en calculant chacun des coefficients, il faut :
ax³ = 2x³
a = 2
Connaissant la valeur de a, trouvons la valeur de b :
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Trouver la valeur de c :
(c – 2)x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Voir aussi: Équation polynomiale - Équation caractérisée par un polynôme égal à 0
Opérations polynomiales
Étant donné deux polynômes, il est possible d'effectuer les opérations de addition soustraction et la multiplication entre ces termes algébriques.
Une addition
L'addition de deux polynômes est calculée par somme de toirmains semblables. Pour que deux termes soient similaires, la partie littérale (lettre avec exposant) doit être la même.
Exemple:
Soit p (x) = 3x² + 4x + 5 et q (x) = 4x² – 3x + 2, calculer la valeur de p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Mise en évidence de termes similaires :
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
Ajoutons maintenant les coefficients de termes similaires :
(3 + 4)x² + (4 - 3)x + 7
7x² + x + 7
Soustraction polynomiale
La soustraction est très similaire à l'addition, cependant, avant d'effectuer l'opération, on écrit le polynôme opposé.
Exemple:
Données: p (x) = 2x² + 4x + 3 et q (x) = 5x² – 2x + 1, calculer p (x) – q (x).
Le polynôme opposé de q (x) est -q (x), qui n'est rien de plus que le polynôme q (x) avec l'opposé de chacun des termes.
q(x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x – 1
On va donc calculer :
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
En simplifiant des termes similaires, nous avons :
(2 - 5)x² + (4 + 2)x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Multiplication polynomiale
La multiplication d'un polynôme nécessite la application de la propriété distributive, c'est-à-dire que nous multiplions chaque terme du premier polynôme par chaque terme du deuxième terme.
Exemple:
(x + 1) · (x² + 2x – 2)
En appliquant la propriété distributive, nous devons :
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
X3 + 2x² + -2x – 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
division polynomiale
Pour calculer le division entre deux polynômes, nous utilisons la même méthode que nous utilisons pour calculer la division de deux nombres, la méthode des clés.
Exemple:
Calculer p (x): q (x), sachant que p (x) = 15x² + 11x + 2 et q (x) = 3x + 1.
A lire aussi: Briot-Ruffini Handy Device - Une autre méthode pour calculer la division des polynômes
exercices résolus
Question 1 - Le coût de production journalier d'une industrie de pièces automobiles pour produire une certaine quantité de pièces est donné par la loi de formation F(x) = 25x + 100, où x est le nombre de pièces produites ce jour-là. Sachant que, un jour donné, 80 pièces ont été produites, le coût de production de ces pièces était de :
A) 300 BRL
B) 2100 BRL
C) BRL 2000
D) 1800 BRL
E) 1250 BRL
Résolution
Variante B
F(80) = 25 · 80 + 100
F(80) = 2000 + 100
F(80) = 2100
Question 2 - Le degré de la fonction h(x) = F(X) · g(x), sachant que F (x) = 2x² + 5x et g(x) = 4x - 5, c'est :
À 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Résolution
Variante C
Nous allons d'abord trouver le polynôme qui est le résultat de la multiplication entre F(X et g(X):
F(X) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x – 5)
F(X) · g(x) = 8x³ – 10x² + 20x – 25x
Notez qu'il s'agit d'un polynôme de degré 3, donc le degré de la fonction h(x) est 3.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm
