Étude avec les 11 questions d'inégalités du 1er et du 2e degré. Éliminez vos doutes avec les exercices résolus et préparez-vous aux examens d'entrée à l'université.
question 1
Un magasin d'articles ménagers propose un ensemble de couverts pour un prix qui dépend de la quantité achetée. Voici les options :
Option A: 94,80 R$ plus 2,90 R$ par unité.
Option B: 113,40 BRL plus 2,75 BRL par unité.
A partir du nombre de couverts achetés, l'option A est moins avantageuse que l'option B.
a) 112
b) 84
c) 124
d) 135
e) 142
Bonne réponse: c) 124.
Idée 1: écrire les fonctions de prix final par rapport à la quantité de couverts achetés.
Option A: PA(n) = 94,8 + 2,90n
Où PA est le prix final de l'option A et n est le nombre de couverts individuels.
Option B: PB(n) = 113,40 + 2,75n
Où, PB est le prix final de l'option B et n est le nombre de couverts individuels.
Idée 2: écrire l'inégalité en comparant les deux options.
Comme la condition est que A soit moins avantageux, écrivons l'inégalité en utilisant le signe "supérieur à", qui représentera le nombre de couverts au-delà duquel cette option devient plus chère.
Isoler n du côté gauche de l'inégalité et les valeurs numériques du côté droit.
Ainsi, à partir de 124 couverts, l'option A devient moins avantageuse.
question 2
Carlos négocie un terrain avec un agent immobilier. Le terrain A, est sur un coin et a la forme d'un triangle. La société immobilière négocie également une bande de terrain en forme de rectangle déterminé par le condition suivante: le client peut choisir la largeur, mais la longueur doit être cinq fois celle-ci mesure.
La mesure de la largeur du terrain B pour qu'il ait une superficie supérieure à celle du terrain A est
à 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Bonne réponse: d) 4
Idée 1: Zone de terrain triangulaire.
L'aire du triangle est égale à la mesure de la base multipliée par la hauteur, divisée par deux.
Idée 2: surface de terrain rectangulaire en fonction de la mesure de la largeur.
Idée 3: inégalité comparant les mesures des terrains A et B.
Superficie B > Superficie A
Conclusion
Le terrain A, rectangulaire, a une superficie plus grande que le terrain B, triangulaire, pour des largeurs supérieures à 4 mètres.
question 3
Un concessionnaire automobile a décidé de modifier la politique de paiement de ses vendeurs. Ceux-ci percevaient un salaire mensuel fixe et l'entreprise propose désormais deux modes de rémunération. L'option 1 offre un paiement fixe de 1000,00 $ plus une commission de 185 $ par voiture vendue. L'option 2 offre un salaire de 2 045,00 $ plus une commission de 90 $ par voiture vendue. Après combien de voitures sont vendues, l'option 1 devient plus rentable que l'option 2 ?
a) 25
b) 7
c) 9
d) 13
e) 11
Bonne réponse: e) 11
Idée 1: rédiger des formules de salaire en fonction du nombre de voitures vendues pour les options 1 et 2.
Option salaire 1: 1 000 + 185n
Salaire option 2: 2 045 + 90n
Où n est le nombre de voitures vendues.
Idée 2: écrire l'inégalité en comparant les options, en utilisant le signe d'inégalité "supérieur à".
Conclusion
L'option 1 devient plus rentable pour le vendeur à partir de 11 voitures vendues.
question 4
l'inégalité représente, en heures, l'intervalle de temps d'action d'un médicament donné en fonction du temps, à partir du moment où un patient l'ingère. Le médicament reste efficace pour des valeurs de fonction positives.
Quel est l'intervalle de temps pendant lequel le médicament réagit dans le corps du patient ?
Pour déterminer l'intervalle de temps, nous traçons la fonction .
C'est une fonction du second degré et sa courbe est une parabole.
Identifier les coefficients
a = -1
b = 3
c = 0
Comme a est négatif, la concavité est tournée vers le bas.
Déterminer les racines de l'équation :
Les racines sont les points où la fonction est nulle et sont donc les points où la courbe coupe l'axe des x.
La fonction prend des valeurs positives entre 0 et 3.
Par conséquent, le médicament maintient son effet pendant trois heures.
question 5
Dans un magasin de vêtements, une promotion dit que si un client achète un article, il peut en obtenir un deuxième, tout comme le premier, pour un tiers du prix. Si un client a 125,00 BRL et souhaite profiter de la promotion, le prix maximum de la première pièce qu'il peut acheter, afin qu'il puisse également prendre la seconde, est
a) 103,00 BRL
b) 93,75 BRL
c) 81,25 BRL
d) 95,35 BRL
e) 112,00 BRL
Bonne réponse: b) 93,75 BRL
Appelant le prix de la première pièce x, la seconde sort par x/3. Étant donné que les deux ensemble devraient coûter au maximum 125 R$, nous écrivons une inégalité en utilisant le signe « inférieur ou égal à ».
Par conséquent, le prix maximum qu'elle peut payer pour la première pièce est de 93,75 R$.
En effet, si x prend sa valeur maximale de 93,75, la deuxième pièce sortira pour un tiers de cette valeur, soit :
93,75 / 3 = 31,25
Ainsi, la deuxième pièce coûterait 31,25 R$.
Pour vérifier les calculs, additionnons les prix de la première et de la deuxième partie.
93,75 + 31,25 = 125,00
question 6
(ENEM 2020 numérique). Lors de la dernière élection à la présidence d'un club, deux listes se sont inscrites (I et II). Il existe deux types de partenaires: les capitaux propres et les contribuables. Les votes des associés ont un poids de 0,6 et ceux des associés contributeurs ont un poids de 0,4. L'ardoise I a reçu 850 votes des partenaires financiers et 4 300 des partenaires contributeurs; l'ardoise II a reçu 1 300 voix des partenaires financiers et 2 120 des partenaires contributeurs. Il n'y a pas eu d'abstentions, de votes blancs ou nuls, et le ticket I était le gagnant. Il y aura une nouvelle élection pour la présidence du club, avec le même nombre et les mêmes types de membres, et les mêmes listes que l'élection précédente. Une consultation faite par l'ardoise II a montré que les partenaires du capital ne changeront pas leurs votes, et qu'ils peuvent compter sur les votes des partenaires contributeurs de la dernière élection. Ainsi, pour qu'il l'emporte, il faudra une campagne avec les partenaires contributeurs avec l'objectif de faire évoluer leurs votes vers l'ardoise II.
Le plus petit nombre de membres contributeurs qui doivent changer leur vote de l'ardoise I à l'ardoise II pour que ce soit le gagnant est
a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1 091
Bonne réponse: b) 753
Idée 1: la plaque 1 perd un certain nombre x de votes et l'ardoise 2 gagne ce même nombre x de votes.
Idée 2: assembler l'inégalité
Comme les voix des partenaires financiers resteront les mêmes, pour que la liste 2 remporte l'élection, elle doit gagner x voix des partenaires contributeurs. Dans le même temps, la liste 1 doit perdre ces mêmes votes x.
votes planche 2 > votes planche 1
1300. 0,6+ (2120+x). 0,4 > 850. 0,6 + (4300 - x). 0,4
780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x
1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x
0,4x + 0,4x > 2230 - 1628
0,8x > 602
x > 602 / 0,8
x > 752,5
Par conséquent, 753 est le plus petit nombre de partenaires contributeurs qui doivent changer leur vote de l'ardoise I à l'ardoise II pour que ce soit le gagnant.
question 7
(UERJ 2020). Un entier positif N, qui vérifie l'inégalité é:
a) 2
b) 7
c) 16
d) 17
Bonne réponse: d) 17
Idée 1: déterminer les racines
Trouvons les racines de cette équation du 2ème degré en utilisant la formule de Bhaskara.
Identifier les coefficients
a = 1
b = -17
c = 16
Détermination du discriminant, delta.
Déterminer les racines
Idée 2: esquisser le graphique
Comme le coefficient a est positif, la courbe de la fonction a une concavité ouverte vers le haut et coupe l'axe des x aux points N1 et N2.
Il est facile de voir que la fonction prend des valeurs supérieures à zéro pour N inférieur à 1 et supérieur à 16.
L'ensemble de solutions est: S ={N < 1 et N > 16}.
Comme le signe de l'inégalité est supérieur à ( > ), les valeurs de N = 1 et N = 16 sont égales à zéro, et nous ne pouvons pas les considérer.
Conclusion
L'entier parmi les options qui satisfait l'inégalité est 17.
question 8
(UNESP). Carlos travaille comme disc-jockey (dj) et facture un forfait de 100,00 R$, plus 20,00 R$ par heure, pour animer une fête. Daniel, dans le même rôle, facture un forfait de 55,00 R$, plus 35,00 R$ par heure. La durée maximale d'une soirée, pour que l'embauche de Daniel ne devienne pas plus chère que celle de Carlos, est de :
a) 6 heures
b) 5 heures
c) 4 heures
d) 3 heures
e) 2 heures
Bonne réponse: d) 3 heures
Fonction du prix du service de Carlos
100 + 20h
Fonction de prix du service Daniel
55 + 35h
Si nous voulions savoir en combien d'heures le prix de leur service équivaut, nous aurions besoin d'égaliser les équations.
Prix Daniel = Prix Carlos
Comment voulons-nous le prix du service de Daniel ne deviens pas plus cher que Carlos, nous échangeons le signe égal contre le signe inférieur ou égal à .
(inégalité du 1er degré)
Isoler le terme avec h d'un côté de l'inégalité :
Pour les valeurs de h = 3, la valeur du prix du service est égale pour les deux.
Le prix de Daniel pour 3 heures de fête
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160
Prix de Carlos pour 3 heures de fête
100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160
Le communiqué dit: "pour que l'embauche de Daniel ne devienne pas plus chère que celle de Carlos". C'est pourquoi nous utilisons le signe inférieur ou égal à.
La durée maximale d'une soirée, pour que l'embauche de Daniel ne soit pas plus chère que celle de Carlos, est de 3 heures. A partir de 3 heures du matin, sa location devient plus chère.
question 9
(ENEM 2011). Une industrie fabrique un seul type de produit et vend toujours tout ce qu'elle produit. Le coût total de fabrication d'une quantité q de produits est donné par une fonction, symbolisée par CT, tandis que le revenu que l'entreprise tire de la vente de la quantité q est aussi une fonction, symbolisée par FT. Le profit total (LT) obtenu en vendant la quantité q de produits est donné par l'expression LT(q) = FT(q) – CT(q).
En considérant les fonctions FT(q) = 5q et CT(q) = 2q + 12 comme revenu et coût, quelle est la quantité minimale de produits que l'industrie devra fabriquer pour ne pas avoir de perte ?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
Bonne réponse: d) 4
Idée 1: ne pas avoir de perte revient à avoir un chiffre d'affaires supérieur ou, au moins, égal à zéro.
Idée 2: écrire l'inégalité et calculer.
D'après l'énoncé LT(q) = FT(q) - CT(q). Substituer des fonctions et rendre supérieur ou égal à zéro.
Par conséquent, la quantité minimale de produits que l'industrie devra fabriquer pour ne pas perdre est de 4.
question 10
(ENEM 2015). L'insuline est utilisée dans le traitement des patients diabétiques pour le contrôle de la glycémie. Pour faciliter son application, un "stylo" a été développé dans lequel une recharge contenant 3mL d'insuline peut être insérée. Pour contrôler les applications, l'unité d'insuline a été définie comme 0,01 ml. Avant chaque application, il est nécessaire de jeter 2 unités d'insuline, afin d'éliminer d'éventuelles bulles d'air. Un patient s'est vu prescrire deux applications quotidiennes: 10 unités d'insuline le matin et 10 le soir. Quel est le nombre maximum d'applications par recharge que le patient peut utiliser avec la posologie prescrite ?
a) 25
b) 15
c) 13
d) 12
e) 8
Bonne réponse: a) 25
Données
Capacité du stylo = 3 ml
1 unité d'insuline = 0,01 ml
Quantité jetée dans chaque application = 2 unités
Quantité par application = 10 unités
Montant total utilisé par application = 10u + 2u = 12u
Objectif: Déterminer le nombre maximum d'applications possibles avec la posologie prescrite.
Idée 1: écrire l'inégalité "supérieure à" zéro.
Total en mL moins, le montant total par application en unités, multiplié par 0,01 mL, multiplié par le nombre d'applications p.
3mL - (12u x 0,01mL)p > 0
3 - (12 x 0,01) p > 0
3 - 0,12p > 0
3 > 0,12p
3 / 0,12 > p
25 > p
Conclusion
Le nombre maximum d'applications par recharge que le patient peut utiliser avec la posologie prescrite est de 25.
question 11
(UECE 2010). L'âge de Paul, en années, est un entier pair qui satisfait l'inégalité . Le nombre représentant l'âge de Paul appartient à l'ensemble
a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.
Bonne réponse: b) {15, 16, 17}.
Idée 1: esquisser la courbe graphique de la fonction f (x) = .
Pour cela, déterminons les racines de la fonction en utilisant la formule de Bhaskara.
Les coefficients sont :
a = 1
b = -32
c = 252
calcul du discriminant
Calcul racine
Le graphique d'une fonction du 2e degré est une parabole, car a est positif, la concavité est tournée vers le haut et la courbe coupe l'axe des x aux points 14 et 18.
Idée 2: Identifiez les valeurs sur le graphique.
Comme l'inégalité de la question est une inégalité avec un signe "inférieur à", avec une valeur de zéro à droite, on s'intéresse aux valeurs de l'axe des x pour que la fonction soit négative.
Conclusion
Par conséquent, le nombre représentant l'âge de Paul appartient à l'ensemble {15, 16, 17}.
en savoir plus sur inégalités.
Voir aussi
Équation du second degré
Équation du premier degré
