Exercices sur les inégalités du 1er et du 2e degré

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Étude avec les 11 questions d'inégalités du 1er et du 2e degré. Éliminez vos doutes avec les exercices résolus et préparez-vous aux examens d'entrée à l'université.

question 1

Un magasin d'articles ménagers propose un ensemble de couverts pour un prix qui dépend de la quantité achetée. Voici les options :

Option A: 94,80 R$ plus 2,90 R$ par unité.
Option B: 113,40 BRL plus 2,75 BRL par unité.

A partir du nombre de couverts achetés, l'option A est moins avantageuse que l'option B.

a) 112
b) 84
c) 124
d) 135
e) 142

Voir la réponse

Bonne réponse: c) 124.

Idée 1: écrire les fonctions de prix final par rapport à la quantité de couverts achetés.

Option A: PA(n) = 94,8 + 2,90n

Où PA est le prix final de l'option A et n est le nombre de couverts individuels.

Option B: PB(n) = 113,40 + 2,75n

Où, PB est le prix final de l'option B et n est le nombre de couverts individuels.

Idée 2: écrire l'inégalité en comparant les deux options.

Comme la condition est que A soit moins avantageux, écrivons l'inégalité en utilisant le signe "supérieur à", qui représentera le nombre de couverts au-delà duquel cette option devient plus chère.

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espace p r e c Un espace supérieur à l'espace p r e c espace B 94 virgule 8 espace plus espace 2 virgule 90 n espace supérieur à l'espace 113 virgule 40 espace plus espace 2 virgule 75 n

Isoler n du côté gauche de l'inégalité et les valeurs numériques du côté droit.

$94 virgule 8 espace plus espace 2 virgule 90 n espace supérieur à l'espace 113 virgule 40 espace plus espace 2 virgule 75 n 2 virgule 90 n espace moins espace 2 virgule 75 n espace supérieur à l'espace 113 virgule 40 espace moins espace 94 virgule 80 0 virgule 15 n espace plus cet espace 18 virgule 60 n espace supérieur au numérateur 18 virgule 60 au-dessus du dénominateur 0 virgule 15 fin de la fraction n espace supérieur à 124$

Ainsi, à partir de 124 couverts, l'option A devient moins avantageuse.

question 2

Carlos négocie un terrain avec un agent immobilier. Le terrain A, est sur un coin et a la forme d'un triangle. La société immobilière négocie également une bande de terrain en forme de rectangle déterminé par le condition suivante: le client peut choisir la largeur, mais la longueur doit être cinq fois celle-ci mesure.

La mesure de la largeur du terrain B pour qu'il ait une superficie supérieure à celle du terrain A est

à 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Voir la réponse

Bonne réponse: d) 4

Idée 1: Zone de terrain triangulaire.

L'aire du triangle est égale à la mesure de la base multipliée par la hauteur, divisée par deux.

$Un espace est égal à l'espace du numérateur b. h au-dessus du dénominateur 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur 10 espace signe de multiplication espace 16 sur le dénominateur 2 fin de la fraction espace égal à l'espace 160 sur 2 espace égal à l'espace 80 espace m ao carré$

Idée 2: surface de terrain rectangulaire en fonction de la mesure de la largeur.

B parenthèse gauche L parenthèse droite espace est égal à l'espace L espace signe de multiplication espace 5 L espace est égal à l'espace 5 L au carré

Idée 3: inégalité comparant les mesures des terrains A et B.

Superficie B > Superficie A

5 L à la puissance 2 espace extrémité de l'exponentielle supérieure à l'espace 80 L carré espace supérieur à l'espace 80 sur Espace carré de 5 L supérieur à l'espace Espace de 16 L supérieur à l'espace Espace de racine carrée de 16 L supérieur à l'espace 4

Conclusion
Le terrain A, rectangulaire, a une superficie plus grande que le terrain B, triangulaire, pour des largeurs supérieures à 4 mètres.

question 3

Un concessionnaire automobile a décidé de modifier la politique de paiement de ses vendeurs. Ceux-ci percevaient un salaire mensuel fixe et l'entreprise propose désormais deux modes de rémunération. L'option 1 offre un paiement fixe de 1000,00 $ plus une commission de 185 $ par voiture vendue. L'option 2 offre un salaire de 2 045,00 $ plus une commission de 90 $ par voiture vendue. Après combien de voitures sont vendues, l'option 1 devient plus rentable que l'option 2 ?

a) 25
b) 7
c) 9
d) 13
e) 11

Voir la réponse

Bonne réponse: e) 11

Idée 1: rédiger des formules de salaire en fonction du nombre de voitures vendues pour les options 1 et 2.

Option salaire 1: 1 000 + 185n
Salaire option 2: 2 045 + 90n

Où n est le nombre de voitures vendues.

Idée 2: écrire l'inégalité en comparant les options, en utilisant le signe d'inégalité "supérieur à".

espace d'option 1 espace supérieur à l'espace d'option espace 2

1000 espace plus d'espace 185 n espace plus grand que l'espace 2045 espace plus d'espace 90 n 185 n espace moins d'espace 90 n espace plus grand cet espace 2045 espace moins d'espace 1000 95 n espace supérieur à 1045 n espace supérieur à 1045 sur 95 n espace supérieur à l'espace 11

Conclusion
L'option 1 devient plus rentable pour le vendeur à partir de 11 voitures vendues.

question 4

l'inégalité moins d'espace t espace carré plus 3 t espace plus grand que l'espace 0 représente, en heures, l'intervalle de temps d'action d'un médicament donné en fonction du temps, à partir du moment où un patient l'ingère. Le médicament reste efficace pour des valeurs de fonction positives.
Quel est l'intervalle de temps pendant lequel le médicament réagit dans le corps du patient ?

Voir la réponse

Pour déterminer l'intervalle de temps, nous traçons la fonction f parenthèse gauche x parenthèse droite l'espace est égal à l'espace moins t l'espace au carré plus l'espace 3 t .

C'est une fonction du second degré et sa courbe est une parabole.

Identifier les coefficients
a = -1
b = 3
c = 0

Comme a est négatif, la concavité est tournée vers le bas.

Déterminer les racines de l'équation :

Les racines sont les points où la fonction est nulle et sont donc les points où la courbe coupe l'axe des x.

moins t espace carré plus espace 3 t espace est égal à l'espace 0 t parenthèse gauche moins t espace plus espace 3 parenthèse droite l'espace est égal à l'espace 0 t l'espace est égal à l'espace 0 l'espace ou l'espace moins t plus 3 est égal à 0 moins l'espace t espace. parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite équivaut à un espace moins 3 espaces. parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite t espace est égal à l'espace 3

La fonction prend des valeurs positives entre 0 et 3.
Par conséquent, le médicament maintient son effet pendant trois heures.

question 5

Dans un magasin de vêtements, une promotion dit que si un client achète un article, il peut en obtenir un deuxième, tout comme le premier, pour un tiers du prix. Si un client a 125,00 BRL et souhaite profiter de la promotion, le prix maximum de la première pièce qu'il peut acheter, afin qu'il puisse également prendre la seconde, est

a) 103,00 BRL
b) 93,75 BRL
c) 81,25 BRL
d) 95,35 BRL
e) 112,00 BRL

Voir la réponse

Bonne réponse: b) 93,75 BRL

Appelant le prix de la première pièce x, la seconde sort par x/3. Étant donné que les deux ensemble devraient coûter au maximum 125 R$, nous écrivons une inégalité en utilisant le signe « inférieur ou égal à ».

$espace x plus espace x plus de 3 espace inférieur ou égal à l'espace incliné 125 espace espace R e so l v e n d espace un espace dans l'espace espace numérateur 3 x plus dénominateur 3 espace de fin de fraction plus espace x sur 3 espace inférieur ou égal à l'espace oblique 125 espace espace numérateur 4 x au-dessus du dénominateur 3 espace de fin de fraction inférieur ou égal à l'espace incliné 125 espace espace 4 x espace inférieur ou égal à l'espace incliné 125 espace signe de multiplication espace 3 espace espace 4 x espace inférieur ou égal à espace incliné 375 espace espace x espace inférieur ou égal au numérateur incliné espace 375 espace au-dessus du dénominateur 4 fin de fraction x espace inférieur ou égal à l'espace incliné 93 virgule 75$

Par conséquent, le prix maximum qu'elle peut payer pour la première pièce est de 93,75 R$.

En effet, si x prend sa valeur maximale de 93,75, la deuxième pièce sortira pour un tiers de cette valeur, soit :

93,75 / 3 = 31,25

Ainsi, la deuxième pièce coûterait 31,25 R$.

Pour vérifier les calculs, additionnons les prix de la première et de la deuxième partie.

93,75 + 31,25 = 125,00

question 6

(ENEM 2020 numérique). Lors de la dernière élection à la présidence d'un club, deux listes se sont inscrites (I et II). Il existe deux types de partenaires: les capitaux propres et les contribuables. Les votes des associés ont un poids de 0,6 et ceux des associés contributeurs ont un poids de 0,4. L'ardoise I a reçu 850 votes des partenaires financiers et 4 300 des partenaires contributeurs; l'ardoise II a reçu 1 300 voix des partenaires financiers et 2 120 des partenaires contributeurs. Il n'y a pas eu d'abstentions, de votes blancs ou nuls, et le ticket I était le gagnant. Il y aura une nouvelle élection pour la présidence du club, avec le même nombre et les mêmes types de membres, et les mêmes listes que l'élection précédente. Une consultation faite par l'ardoise II a montré que les partenaires du capital ne changeront pas leurs votes, et qu'ils peuvent compter sur les votes des partenaires contributeurs de la dernière élection. Ainsi, pour qu'il l'emporte, il faudra une campagne avec les partenaires contributeurs avec l'objectif de faire évoluer leurs votes vers l'ardoise II.

Le plus petit nombre de membres contributeurs qui doivent changer leur vote de l'ardoise I à l'ardoise II pour que ce soit le gagnant est

a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1 091

Voir la réponse

Bonne réponse: b) 753

Idée 1: la plaque 1 perd un certain nombre x de votes et l'ardoise 2 gagne ce même nombre x de votes.

Idée 2: assembler l'inégalité

Comme les voix des partenaires financiers resteront les mêmes, pour que la liste 2 remporte l'élection, elle doit gagner x voix des partenaires contributeurs. Dans le même temps, la liste 1 doit perdre ces mêmes votes x.

votes planche 2 > votes planche 1

1300. 0,6+ (2120+x). 0,4 > 850. 0,6 + (4300 - x). 0,4

780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x

1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x

0,4x + 0,4x > 2230 - 1628

0,8x > 602

x > 602 / 0,8

x > 752,5

Par conséquent, 753 est le plus petit nombre de partenaires contributeurs qui doivent changer leur vote de l'ardoise I à l'ardoise II pour que ce soit le gagnant.

question 7

(UERJ 2020). Un entier positif N, qui vérifie l'inégalité N espace au carré moins d'espace 17 N espace plus d'espace 16 espace supérieur à l'espace 0 é:

a) 2
b) 7
c) 16
d) 17

Voir la réponse

Bonne réponse: d) 17

Idée 1: déterminer les racines

Trouvons les racines de cette équation du 2ème degré en utilisant la formule de Bhaskara.

Identifier les coefficients

a = 1
b = -17
c = 16

Détermination du discriminant, delta.

l'espace delta majuscule est égal à l'espace b carré moins 4. Le. c majuscule delta espace est égal à espace parenthèse gauche moins 17 parenthèse droite carré moins 4.1.16 espace delta majuscule égal espace 289 espace moins espace 64 espace delta majuscule est égal espace 225

Déterminer les racines

$numérateur moins espace b espace plus ou moins espace racine carrée du delta capital sur le dénominateur 2. fin de fraction N avec 1 indice égal au numérateur moins parenthèse gauche moins 17 parenthèse droite espace plus espace racine carrée de 225 sur dénominateur 2.1 fin de la fraction espace égal à l'espace numérateur 17 espace plus espace 15 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction espace égal à l'espace 32 sur 2 égal à 16 N avec 2 espaces en indice égal à l'espace du numérateur moins la parenthèse gauche moins 17 l'espace de la parenthèse droite moins l'espace de la racine carrée de 225 sur le dénominateur 2.1 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur 17 espace moins l'espace 15 sur le dénominateur 2 fin de l'espace de fraction égal à 2 sur 2 l'espace est égal à l'espace 1$

Idée 2: esquisser le graphique

Comme le coefficient a est positif, la courbe de la fonction a une concavité ouverte vers le haut et coupe l'axe des x aux points N1 et N2.

Il est facile de voir que la fonction prend des valeurs supérieures à zéro pour N inférieur à 1 et supérieur à 16.

L'ensemble de solutions est: S ={N < 1 et N > 16}.

Comme le signe de l'inégalité est supérieur à ( > ), les valeurs de N = 1 et N = 16 sont égales à zéro, et nous ne pouvons pas les considérer.

Conclusion
L'entier parmi les options qui satisfait l'inégalité est 17.

question 8

(UNESP). Carlos travaille comme disc-jockey (dj) et facture un forfait de 100,00 R$, plus 20,00 R$ par heure, pour animer une fête. Daniel, dans le même rôle, facture un forfait de 55,00 R$, plus 35,00 R$ par heure. La durée maximale d'une soirée, pour que l'embauche de Daniel ne devienne pas plus chère que celle de Carlos, est de :

a) 6 heures
b) 5 heures
c) 4 heures
d) 3 heures
e) 2 heures

Voir la réponse

Bonne réponse: d) 3 heures

Fonction du prix du service de Carlos

100 + 20h

Fonction de prix du service Daniel

55 + 35h

Si nous voulions savoir en combien d'heures le prix de leur service équivaut, nous aurions besoin d'égaliser les équations.

Prix Daniel = Prix Carlos

Comment voulons-nous le prix du service de Daniel ne deviens pas plus cher que Carlos, nous échangeons le signe égal contre le signe inférieur ou égal à parenthèse gauche inférieure ou égale à la parenthèse droite inclinée .

Espace 55 plus espace 35 h espace inférieur ou égal à l'espace incliné 100 espace plus espace 20 h (inégalité du 1er degré)

Isoler le terme avec h d'un côté de l'inégalité :

Espace de 35 h moins espace 20 h inférieur ou égal à incliné 100 espace moins espace 55 espace 15 h moins de ou égal à incliné 45 h espace inférieur ou égal à incliné 45 sur 15 h inférieur ou égal à incliné 3

Pour les valeurs de h = 3, la valeur du prix du service est égale pour les deux.

Le prix de Daniel pour 3 heures de fête
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160

Prix de Carlos pour 3 heures de fête
100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160

Le communiqué dit: "pour que l'embauche de Daniel ne devienne pas plus chère que celle de Carlos". C'est pourquoi nous utilisons le signe inférieur ou égal à.

La durée maximale d'une soirée, pour que l'embauche de Daniel ne soit pas plus chère que celle de Carlos, est de 3 heures. A partir de 3 heures du matin, sa location devient plus chère.

question 9

(ENEM 2011). Une industrie fabrique un seul type de produit et vend toujours tout ce qu'elle produit. Le coût total de fabrication d'une quantité q de produits est donné par une fonction, symbolisée par CT, tandis que le revenu que l'entreprise tire de la vente de la quantité q est aussi une fonction, symbolisée par FT. Le profit total (LT) obtenu en vendant la quantité q de produits est donné par l'expression LT(q) = FT(q) – CT(q).

En considérant les fonctions FT(q) = 5q et CT(q) = 2q + 12 comme revenu et coût, quelle est la quantité minimale de produits que l'industrie devra fabriquer pour ne pas avoir de perte ?

a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5

Voir la réponse

Bonne réponse: d) 4

Idée 1: ne pas avoir de perte revient à avoir un chiffre d'affaires supérieur ou, au moins, égal à zéro.

Idée 2: écrire l'inégalité et calculer.

D'après l'énoncé LT(q) = FT(q) - CT(q). Substituer des fonctions et rendre supérieur ou égal à zéro.

F T parenthèse gauche q parenthèse droite espace moins espace C T parenthèse gauche q parenthèse droite supérieur ou égal à 0 5 q espace moins espace parenthèse gauche 2 q espace plus espace 12 droite parenthèse supérieure ou égale à incliné 0 5 q espace moins espace 2 q espace moins espace 12 supérieur ou égal à incliné 0 3 q espace moins espace 12 supérieur ou égal à incliné 0 3 q supérieur ou égal à incliné 12 q supérieur ou égal à incliné 12 sur 3 q supérieur ou égal à incliné 4

Par conséquent, la quantité minimale de produits que l'industrie devra fabriquer pour ne pas perdre est de 4.

question 10

(ENEM 2015). L'insuline est utilisée dans le traitement des patients diabétiques pour le contrôle de la glycémie. Pour faciliter son application, un "stylo" a été développé dans lequel une recharge contenant 3mL d'insuline peut être insérée. Pour contrôler les applications, l'unité d'insuline a été définie comme 0,01 ml. Avant chaque application, il est nécessaire de jeter 2 unités d'insuline, afin d'éliminer d'éventuelles bulles d'air. Un patient s'est vu prescrire deux applications quotidiennes: 10 unités d'insuline le matin et 10 le soir. Quel est le nombre maximum d'applications par recharge que le patient peut utiliser avec la posologie prescrite ?

a) 25
b) 15
c) 13
d) 12
e) 8

Voir la réponse

Bonne réponse: a) 25

Données

Capacité du stylo = 3 ml
1 unité d'insuline = 0,01 ml
Quantité jetée dans chaque application = 2 unités
Quantité par application = 10 unités
Montant total utilisé par application = 10u + 2u = 12u

Objectif: Déterminer le nombre maximum d'applications possibles avec la posologie prescrite.

Idée 1: écrire l'inégalité "supérieure à" zéro.

Total en mL moins, le montant total par application en unités, multiplié par 0,01 mL, multiplié par le nombre d'applications p.

3mL - (12u x 0,01mL)p > 0

3 - (12 x 0,01) p > 0
3 - 0,12p > 0
3 > 0,12p
3 / 0,12 > p
25 > p

Conclusion
Le nombre maximum d'applications par recharge que le patient peut utiliser avec la posologie prescrite est de 25.

question 11

(UECE 2010). L'âge de Paul, en années, est un entier pair qui satisfait l'inégalité x espace au carré moins d'espace 32 x espace plus d'espace 252 espace moins que l'espace 0 . Le nombre représentant l'âge de Paul appartient à l'ensemble

a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.

Voir la réponse

Bonne réponse: b) {15, 16, 17}.

Idée 1: esquisser la courbe graphique de la fonction f (x) = .

Pour cela, déterminons les racines de la fonction en utilisant la formule de Bhaskara.

Les coefficients sont :
a = 1
b = -32
c = 252

calcul du discriminant

incrément égal à b au carré moins 4. Le. c incrément égal à la parenthèse gauche moins 32 parenthèse droite au carré moins 4.1.252 incrément égal à 1024 espace moins espace 1008 incrément égal à 16

Calcul racine

$numérateur moins b plus ou moins la racine carrée de l'incrément sur le dénominateur 2. fin de fraction x avec 1 indice égal au numérateur moins parenthèse gauche moins 32 parenthèse droite espace plus racine carrée de 16 sur le dénominateur 2.1 fin de fraction égale à numérateur 32 espace plus espace 4 sur dénominateur 2 fin de fraction égale à 36 sur 2 égale à 18 x avec 2 indice égal au numérateur moins parenthèse gauche moins 32 parenthèse espace droit moins espace racine carrée de 16 sur le dénominateur 2.1 fin de fraction égale numérateur 32 espace moins espace 4 sur dénominateur 2 fin de fraction égale 28 sur 2 égal à 14$

Le graphique d'une fonction du 2e degré est une parabole, car a est positif, la concavité est tournée vers le haut et la courbe coupe l'axe des x aux points 14 et 18.

Idée 2: Identifiez les valeurs sur le graphique.

Comme l'inégalité de la question est une inégalité avec un signe "inférieur à", avec une valeur de zéro à droite, on s'intéresse aux valeurs de l'axe des x pour que la fonction soit négative.

Conclusion
Par conséquent, le nombre représentant l'âge de Paul appartient à l'ensemble {15, 16, 17}.

en savoir plus sur inégalités.

Voir aussi
Équation du second degré
Équation du premier degré

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